CIE
ong du demi-cercle, deviendra de la forme + 7
le même polynôme que tout à l'heure.
Le dénominateur VZ ne change pas de signe pendant que z varie de tr àI1+7r ou que p varie de 7 à o. Son signe sera + si l’on suppose, comme nous pouvons le faire, que l’autre facteur
ÿ1i— 3 soit parti de O avec la valeur + 1. Dans ce cas, Pour
= Era [a ” ® D S A - Vi ms À V— 10 Vr £ cos 7 in 2) doit être réel et positif, ce qui exige que l’on prenne le radical avec le signe —. Dès lors,
LS 4 nr ner ë cos À — sin ?)
prendra; \pour &="4r-7rt ou p— 0 Mlalwaleure= iVr, c’est-à-dire une valeur imaginaire négative de la forme —:h?. Le radical
\ & A I R(z) sera donc aussi de la même forme entre + 1 et + 7 ei, par ;
dz
suite, RG) sera dans cet intervalle de la forme +- 142. Il en sera donc Z
de même de l'intégrale
INTEGRALE ELLIPTIQUE. IE
qui tend, comme il est facile de le voir, vers une limite finie. Nous désignerons cette limite par (')
(ee dz K — ii K'.
eeT R(z)
Donc la valeur de l’intégrale sur la partie rectiligne du contour
(+ +) ne
{ie tr = = Te :
on)
Si l’on achève de parcourir le contour élémentaire (+ à) en
revenant en O par le même chemin rectiligne, c’est-à-dire en
évitant + 1 au moyen d’un demi-cercle supérieur, On verra qu'ici encore l'intégrale circulaire sera nulle- et la seconde intégrale
O reculigne Î sera égale à la première. Donc l'intégrale relative
, , C I le au contour élémentaire . ;) a pour valeur à .
[+ +) Ro RU d
re À 1 re :
GS Elonpose k°—r-Xret 7— SE Hisls) l'intégrale fl ES deviendra d 22 r 29
; dz!
Vis: VRRNERE
K’ étant ce que devient K lorsqu’on remplace # par #!. (5) Si l’on avait évité le point + 1 au moyen d’un demi-cercle situé au-dessous de l'axe
mt + !
Ox, on aurait eu pour l'intégrale semi-circulaire une valeur de sens contraire; Z au-
le
Rs: Ne I ; + rait été de la forme + 1h? entre +1 et + 7 et aurait eu pour valeur —zK', d si
k d’où À — K—:K".
(*) Si l’on avait suivi les deux fois le demi-cercle inférieur, on aurait trouvé cette intégrale — 2K — 2:K'.
, , =! L 4 , 4 Le contour élémentaire (-;) étant symétrique du contour
ER — Ge :
| par rapport à l’origine — — | sera égale et de signe É à par rapp gine, il | 5) 8 g Ce I ’ ; contraire à Î (+ :) » et, par suite, sa valeur sera — 2K—2:K.
1264. Supposons actuellement que z, partant du point O, suive l’axe des x positifs, en passant au-dessus des deux points de ra-
mification + 1 et + T° jusqu’à une distance infiniment grande +; (A
puis, qu'il décrive autour de O un quart de cercle de rayon r, jusqu'à la rencontre avec l’axe des y au point z — ir; et enfin qu'il revienne en O en suivant l’axe des y. Le contour suivi ne renfermant dans son intérieur aucun point critique, l'intégrale prise le long de ce contour devra être nulle. A l = , A C I A Or, de O à pe l'intégrale est égale à K + :K’. De DU la valeur Û p
infiniment grande r, l'intégrale différera infiniment peu de sa limite
qui est finie et réelle, le produit (1 — z?){(1—k?z?) étant positif I Re . .
pour z > et dont nous désignerons provisoirement la valeur
par G.
Le long du quart de cercle, R({z) sera de la forme
V (1 pv ET (1 — 2%? GRiel — 12 e?2ip V{i pt ip ) (42 re Cu — kx?e?ir (1 E d), 9 étant infiniment petit pour t infiniment grand; par suite,
TT
[ ÉRIC: ? e—iP;j dn Re) ce ” 1 0
LA
s os s'annule pour tr = æ . Donc l'intégrale arrivera au point + 1r, sur
INTÉGRALE ELLIPTIQUE. , ri
l'axe des y, avec la valeur K +:iK'+G.
L'expression précédente du radical, Ar? e?P{1 + d), montre que, F T j a lorsque p croît de —, le radical est multiplié par e=—— 71, et par =.
suite il change de signe. Comme il part de O suivant l’axe des y avec le signe + et qu'il est réel le long de cet axe, 1l devra être négatif pour z = l'infini réel; donc G est négatif.
De ir à O, l'intégrale croîtra de la quantité
1e dz Ji idy = CL = : , +irR (2) o Vao+r)i+Ær)
dont la valeur sera de la forme — 1H, H étant réel et positif, Donc l'intégrale prise le long du contour fermé tout entier sera
