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sion générale (a) deviendra
(2) AukK + 2nikK' + u.
Done, si l’on arrive au point z après avoir parcouru une ligne entourant alternativement 2u — n fois chacun des deux points +1 k obtenue sera égale à l'intégrale rectiligne augmentée de
À , : Ars AU et — 1, puis z fois chacun des deux points + + et — a l'intégrale €
| uk +oniK',
au — n et x étant des nombres positifs ou négatifs, suivant que les
parcours commencent par les chemins (1) ou (—1), (- |
de ï ou rs
Donc à un même point z correspondent des valeurs en nombre Ê ; aus 2 Pre :
infini de l'intégrale | a différant entre elles par des multiples Z
quelconques de 4K et de 2:K”. Ces deux quantités constantes sont
L mr. AT a LEE ?
dites les périodes de l'intégrale [., et cette intégrale est dite Le
doublement périodique.
1266. On peut donner de cette double périodicité une représentation géométrique très-simple.
Supposons le plan partagé en bandes verticales de largeur 4K par des parallèles à O y tracées symétriquement de part et d’autre de cel axe, et en même temps partagé en bandes horizontales de largeur 2 K’ par des parallèles à O x tracées symétriquement de part et d’autre de cet axe. De cette manière, le plan sera divisé en rectangles égaux, dont l’un aura pour centre l’origine, et dont les dimensions seront 4 K et 2 K’.
La formule (2) du numéro précédent nous montre qu'à une même valeur de z correspondent une infinité de valeurs de u différant entre elles de multiples quelconques de 4K, et situées par conséquent sur une même parallèle à Ox, de manière qu'il s’en trouve une, et une seule, dans chacune des bandes verticales.
Elle nous montre aussi qu’à une même valeur de z correspondent une infinité de valeurs de ‘& différant entre elles de multiples quelconques de 2:K’, et par conséquent rangées à la distance 2 K° les unes des autres sur une même parallèle à Oy, de manière qu'il s’en trouve une, et une seule, dans chacune des bandes horizontales.
Donc dans chaque rectangle de base 4K et de hauteur 2K'se trouve une des valeurs de uw données par la formule (2), et une seule.
Si l’on suppose maintenant, dans la formule (1), que + n soit impair et égal à 2u +1, à la même valeur de z correspondront toutes les valeurs de l'intégrale données par la formule
(3) AuK + onikK'+2K—,
et l’on verra de même que dans chacun des rectangles précédents se trouvera une des valeurs de l’intégrale données par la formule(3), et une seule.
Donc dans chacun des rectangles en question se trouvent deux valeurs de w correspondantes à une valeur de z quelconque, et comprises dans la formule (1). Nous verrons plus tard que ce sont les seules.
Il est aisé de reconnaître que les deux valeurs de u contenues dans chaque rectangle sont situées symétriquement par rapport au centre du rectangle, la position de ce centre étant déterminée par l'expression (4u+2)K+(an+i)iK.
Remarquons que l’on arriverait à la même représentation en supposant que l’origine O, au lieu d'occuper le centre d’un rectangle, en occupe un des sommets. Dans ce cas, les valeurs représentées par les formules (2) et (3) seraient respectivement symétriques, non plus par rapport aux centres des rectangles, mais par rapport à leurs sommets.
& IV
