DES FONCTIONS INVERSES DES INTÉGRALES MULTIFORMES
1267. En considérant, dans les deux paragraphes précédents, les intégrales dont les différentielles ont des points critiques situés à une distance finie de l’origine, nous avons vu que la valeur de ces intégrales ne dépend pas seulement de fa limite supérieure z de l'intégration, mais encore du chemin parcouru pour arriver à cette limite. Nous avons vu, de plus, que ïes différentes déterminations de l’intégrale qui correspondent à la même limite z sont égales à la valeur rectiligne combinée par addition ou soustraction avec des multiples quelconques des intégrales prises le long des divers contours élémentaires qui entourent les points critiques de la différentielle, intégrales que nous avons appelées les périodes de l'intégrale proposée.
Il s’agit actuellement d'étudier les propriétés de la limite supérieure z, considérée à son tour comme fonction de l'intégrale u. Dans les exemples qui nous ont déjà occupés, nous verrons que cette fonction z — Y{u) est non-seulement une fonction périodique de u, c’est-à-dire une fonction reprenant la même valeur lorsqu'on augmente son argument & de multiples quelconques des
diverses périodes de l’intégrale w = f} f(z)dz, mais qu’elle sera,
Z9 en outre, une fonction monogène et uniforme de u lorsqu'on fera varier u dans toute l'étendue du plan.
La monogénéité de la fonction z = du) résulte immédiatement
dz
-——, pour toute valeur du f\z) P de z, et par suite pour toute valeur possible de u.
de ce qu’elle a une dérivée déterminée,
Il suffira, pour établir son uniformité, de constater que les diverses valeurs de la fonction directe u, correspondantes à toutes les valeurs de z, remplissent toute l’étendue du plan et la remplissent une seule fois, sans laisser de vides et sans que des valeurs correspondantes à des valeurs de z différentes puissent se superposer.
Enfin, nous n’aurons besoin de faire cet examen que pour les
118 LIVRE VI. — CHAP. 111, $ 1v.
seules valeurs de u correspondantes aux divers chemins rectilignes de z, et de montrer que ces valeurs remplissent complétement et une seule fois une certaine étendue du plan, laquelle se répétera indéfiniment et sans superposition ni lacunes, de manière à couvrir toute l'étendue du plan, lorsqu'on augmentera toutes les valeurs de x qu’elle contient de multiples quelconques des périodes de celte intégrale.
1268. Soit une fonction f(z) admettant pour période la constante À, c’est-à-dire telle que l’on ait, quel que soit le nombre entier 71,
(1) f(z+mA)=f(2).
Si l’on partage le plan en bandes par des droites parallèles, repré-
sentées par l'équation
z—=H- mA,
où l'entier m prend toutes les valeurs possibles, alors à chaque système de valeurs de f (z) relatif à un ensemble de points situé dans une quelconque de ces bandes correspondra dans chacune des autres bandes un système identique de valeurs relatif à un second ensemble de points superposable au premier.
On pourra toujours supposer que la relation (1) n’ait lieu que pour des valeurs entières de m; car, si elle était vérifiée, quel que
füt l’entier m, par des valeurs de la forme z + — À, on remplacerait * É
la période À par À’= —,; et la relation reprendrait alors la forme (1). æ
Une foncuon est doublement périodique lorsqu'il existe deux constantes À, B telles que l’on ait, quels que soient les entiers m, n, la relation
(2) f(z+mA+nB)=f(z).
On voit, comme tout à l'heure, que, si l’on mène toutes Les droites représentées par l'équation
EI MA nB,
ces droites partageront le plan tout entier en parallélogrammes
ayant leurs côtés égaux en grandeur et en direction aux droites qui représentent les périodes À, B, et dans chacun desquels les mêmes séries de valeurs de f(z) se reproduisent avec une disposition identique.
Nous donnerons, pour abréger, à ces bandes ou à ces parallélogrammes, relatifs à la périodicité simple ou double, le nom d’aires élémentaires.
1269. Une fonction simplement ou doublement périodique, qui est uniforme et continue dans chaque aire élémentaire, admet au moins un infini dans l’intérieur de cette aire; car, si elle restait finie dans toute cette aire, elle le serait aussi dans tout le plan, jusqu'à l'infini inclusivement. Donc [1137] cette fonction se réduirait alors à une constante.
La fonction f(z) étant uniforme et continue, sa valeur réciproque
7 le sera aussi, et, par suite, devra admettre aussi un infini. Donc la fonction f{(z) devra admettre au moins un zéro dans chaque aire élémentaire.
Donc, si une fonction simplement ou doublement périodique, uniforme et continue, ne devient ni nulle ni infinie dans une aire élémentaire quelconque, cette fonction se réduira à une constante.
1270. I. Commençons par l'étude de la fonction inverse de l’in-
7 dz UE — 9 1 Z
et considérons d’abord les valeurs de u correspondantes à toutes
tégrale
les valeurs réelles de 3.
Nous avons vu [1256] que le point critique z = o de la différentielle est un point de ramification de l’intégrale u, et que la période de cette intégrale est l’intégrale prise le long du contour élémentaire partant du point initial + r et entourant z — 0, intégrale dont la valeur est 217.
Si l’on fait varier z sur l’axe des x positifs depuis une valeur infiniment petite jusqu'à une valeur infiniment grande, il est aisé de voir que l'intégrale rectiligne w prendra toutes les valeurs réelles
120 LIVRE VI. — CHAP. III, S-1v.
depuis — 0 à +. En effet, si l’on fait varier z en progression séométrique, u variera en progression arithmétique; car il résulte du théorème d’addition démontré au n° 827 que l’on a, en posant
Etre z £° za F{e1)= | — ce NN Es I “ I g PAL.
=r(2)+r(À) ++ F( 2 )=nr(s).
Or F{z) est positif ou négatif, suivant que z est > ou 1; donc, si 2 croit jusqu'à l'infini, z* variera de 1 à — ou de 1 à o, tandis que F(z”) variera de o à E , et réciproquement.
La fonction u = F(z) croîtra donc toujours d’une manière conüinue, et remplira complétement et une seule fois l'axe des abscisses réelles dans le plan des u, lorsque z variera de o à + . Donc, réciproquement, z —%Ÿ{u) sera une fonction uniforme et continue de u pour toutes les valeurs de cette variable de — x à + æ . Autrement dit, tandis que le point w décrira d’une manière continue l’axe Ox de — co à + ,z—V{u) décrira d’une manière continue l’axe des x positifs.
1271. Faisons maintenant décrire à z le chemin rectiligne partant de + 1 et comprenant l’axe des x négatifs. Ce chemin passant par le point critique z — 9, nous éviterons ce point au moyen d’un demi-cercle décrit du centre O et situé, par exemple, au-dessus
de Ox. En posant 7 PERS
AE re at:
l'intégrale il —, pour z négatif et — —7z/, se composera d’abord Li :
de l’intégrale
puis de l'intégrale semi-circulaire
L T retP idp RAT
nf À:
