INVERSION DU LOGARITHME. I

et enfin de l'intégrale

de s" dz | == | = —=F{z )—F(r). pe rh

En réunissant ces trois parties, on trouve, pour la valeur rectiligne

de l’intégrale correspondante à la valeur réelle et négative z— — 7, / D HP — lier tt) r4

Ainsi, à toutes les valeurs complexes de x comprises dans la formule 17 + uo, u, variant de — à + œ , correspondent toutes les valeurs réelles et négatives de z={u), depuis o jusqu'à — . En d’autres termes, le point z décrira l’axe des x négatifs, tandis que u décrira, de — x à +, une parallèle à Ox, située à la distance + 7 de cet axe.

1272. Faisons maintenant décrire à z une droite z — 1 +7r'e?, partant du point initial z — + 1 de l'intégrale, et faisant avec Ox l'angle constant p. On aura alors, pour l'intégrale prise suivant

cette droite, np F2 7 ePdr RÉ — — OUT [ Z 0 1 7e

Cherchons la forme de la courbe décrite par cette intégrale, lors-

que r varie deo à.

La tangente à la courbe u fait avec Ox un angle égal à l’argument de la différentielle et?

AL — I —+- re!?

Cet argument est égal à l'argument p du numérateur, moins l’argument du dénominateur 1 + r'etP. Ce dénominateur est représenté par la droite OM = Or + 1M ( fig. 98), et son argument par l'angle 1 OM ; et il est facile de voir que, tandis que M se déplace depuis le point 1 jusqu’à l'infini sur la droite donnée, OM passe de la direc-

(*) On aurait trouvé F(z')=—2x si l’on avait tracé le demi-cercle au-dessous 1e OT:

122 LIVRE VI. — CHAP. III, & 1v.

üuon Ox à une direction parallèle à 1M. Donc l’argument de du

Fig. 98.

varie depuis p— 0 ou p jusqu’à p — p ou zéro, et par suite la tangente à la courbe u est, au départ, parallèle à 1M, et, quand le point s'éloigne à l'infini, elle tend à devenir parallèle à O x.

Dans l'intervalle entrer = o etr = + , l'angle xOM croissant constamment, p—xOM diminue, d’où 1l résulte que la direction de la tangente à la courbe u va en se rapprochant de la direction Ox

et que la courbe tourne constamment sa concavité vers l’axe Ox. S1 l’on considère le prolongement de la droite correspondant aux valeurs négatives de 7, l’angle 1 OM prendra des valeurs négatives en variant de o à p— 7. L’argument du numérateur étant p— 7, puisque r est négatif, l'argument de du variera donc depuis p jusqu’à zéro, et l’on voit que la tangente à la branche correspondante de la courbe u tend à devenir parallèle à l’axe des x positifs. Remarquons maintenant que, si l’on substitue au chemin recti-

ligne 13 le chemin formé par la portion 1x = r prise sur l’axe des x et par l’arc de cercle xz, décrit du centre 1 avec le rayon 7

entre l’axe O x et la droite 17, l'intervalle entre les deux chemins ne contenant aucun point critique, l'intégrale ne changera pas de valeur. On aura donc

u = fu) = fi) + farern) 1l dr 1 reiP.idp Es + ———— Sale) SU Ce

(*) Au lieu de considérer r comme variant négativement, on aurait pu remarquer que, l'intégrale x ne changeant pas quand on change r en — 7 et p en x —p, tout se passe symétriquement de part et d’autre de O x, de sorte que l’on peut se contenter d'étudier ce qui se passe au-dessus de cet axe.

INVERSION DU LOGARITHME. 123 La première de ces deux intégrales est réelle et varie, pour r positif, de o à + æ . La seconde intégrale, qui peut s’écrire sous la forme

a, pour r'infini, la valeur p. De là il est facile de conclure que la distance du point & à l’axe réel a pour limite la valeur p. Donc la courbe w a une asymptote parallèle à Ox, à la distance + p de cet axe. On verrait de même qu'elle a une seconde asymptote aussi parallèle à O x et située au-dessous de O x, à la distance —{(r —p). La courbe uw est donc comprise tout entière entre deux parallèles à Ox, à la distance 7x l’une de l’autre.

Lorsque p varie depuis o jusqu'à r, l’asymptote supérieure variera depuis l'axe des x jusqu’à la distance 7 au-dessus de cet axe, et l’asymptote inférieure depuis la distance — r au-dessous de Ox jusqu’à l'axe O x lui-même. Donc toutes les courbes w seront comprises dans une bande de largeur 27, dont la ligne médiane est O x.

Si l’on suppose maintenant la limite supérieure r — 71, l’inté-

Tr HP PAr Fra TE ul nm DLL = ne

que l’on trouve aisément égale à

grale u deviendra

; log (1 + cosp) + /

S1 l’angle p est obtus, la partie réelle devient négative; si p tend vers la valeur 7, la partie réelle tend vers — , la partie imaginaire restant finie. Donc, pour p infiniment voisin de +, la courbe sera toujours comprise entre l'axe Ox et la droite qui joint l’ori-

: ‘ LIT ; gine avec le point — o + —;, de sorte que, pour une abscisse

négative finie, sa branche inférieure tend à se confondre avec l’axe s x névalifs. artir de l’abscisse nécative maximum, la courbe de gatifs. À partir de 1 g $ revient dans le sens des x croissants et s'approche indéfiniment e son asymptote. Pour p aicu, on a un système de courbes disposé de son asymptote. Pour p aigu, syst le courbes disposé symétriquement au précédent par rapport à l'axe des x.

124 LIVRE VI. — CHAP. 111, $ 1v.

1273. Si l’on fait varier p d’une manière continue, il est aisé de voir que les courbes w varieront d’une manière continue et ne se couperont pas.

En effet, si nous donnons à p un accroissement infiniment petit

et positif dp, le z, pour la même valeur de r, prendra un accroisse-

ment dz de direction perpendiculaire à la droite 17, et l’inté-

dz 0 z à : À grale [2 croîtra de du — —; dont l’argument est égal à celui de du : Z A

augmenté de —; et dont le module a une valeur infiniment petite

et différente de zéro en même temps que la valeur de dp. Donc la distance des deux courbes u et u + du est infiniment petite avec dp, et, comme elle est comptée sur une perpendiculaire à ces courbes dirigée du côté de la convexité de la courbe w, les deux courbes ne peuvent se rencontrer.

IL résulte de là que l’ensemble des courbes w remplit complelement et une seule fois toute la portion de plan comprise dans la Lande de largeur 27 qui s'étend symétriquement de part et d’autre de l’axe Ox.

Donc, dans l’intérieur de cette bande, il passe, par un point donné quelconque u, une courbe w et une seule, et, par suite, à toute valeur de w correspond un chemin rectiligne déterminé de la variable z et un point déterminé sur ce chemin. Donc enfin, dans cette bande, la variable z est une fonction monogène, uniforme et continue de la variable w.

En ayant égard à ce que nous avons dit dans le paragraphe précédent sur la périodicité de l'intégrale ©, les mêmes valeurs de

cette intégrale se reproduisant d’une manière identique dans chacune des bandes de largeur 27 dans lesquelles le plan peut être divisé, on en conclura que la fonction z de la variable w est synectique dans toute l'étendue du plan et, de plus, qu’elle est une fonction périodique dont la période est 217, c’est-à-dire que l’on a, quel que soit l’entier 7,

z—#{u)—YŸ{u +orir)

u, comme on l'écrit habituellement,

= — PbU+2nir z — et — eut+?nir

1274. II. Considérons la fonction inverse de l'intégrale

dr == fe SA Len

Cette intégrale a, comme nous l'avons vu, deux points critiques, + 1 et — 51, à chacun desquels correspond la période Æ 7. Si donc on partage le plan en bandes parallèles à l’axe des y et de largeur égale à r, les valeurs de l'intégrale correspondantes à toutes

les valeurs de z se reproduiront identiquement de la même manière dans chacune de ces bandes. Il suffit donc d’étudier la relation entre z et w pour une seule bande, celle, par exemple, qui contient les valeurs de w correspondantes à tous les chemins rectilignes partant de la limite inférieure zéro de l'intégrale.

Considérons d’abord les chemins rectilignes qui ÉOncdent avec les axes coordonnés. Si z varie, sur l’axe Ox, de — © à +, l'intégrale w variera de — « à une certaine valeur À, que nous déterminerons tout à l'heure, prendra toutes les valeurs comprises entre — À et À, et remplira ainsi toute la partie de l’axe O x comprise dans la bande de largeur 2 A dont l’origine occupe le centre.

Si maintenant on fait, comme dans l'exemple précédent, parcourir à z un quart de cercle, de centre O et de rayon infiniment grand 7', allant de l’axe Ox à l’axe O y, l’intégrale croîtra de

retP idp rai = EN ea 4 ner IL re SAP " À 14 r=?e—2'?

expression qui est égale à l’infiniment petit æ multiplié par une

D |A la

intégrale ayant pour limite || e tPidp = —e —h}, ébquir par (0) « suite, a pour limite zéro. Donc, quand z arrive au point +i«,

1 Là < , ] il . Te intégrale w a conservé la valeur a

. à . ; JE 9 A Passons de z=— +io à z — 0 suivant l’axe des y, et en évitant

seulement le point critique + i au moyen d’un demi-cercle tracé

du centre +1 avec le rayon infiniment peut p. L'intégrale prise

de +ix à o se décomposera en trois intégrales

ie dz NEA dy on BE À 9 2 nr Er.

100 rues co I .)

ae me : per.idp brel 2 AD Fa PACS ee la 0 “ia ie a ACTE. ioc'P — sn 2 2 ik dz a dy — ——— = 1/4 ———— Q 2 ?

désire CE:

Se SE T La seconde de ces intégrales a pour valeur limite — -.

». OC ELU Si, dans la première, on change y en —: l'intégrale devient

AB1TE dy I 2 IP dy J Vase :

Le ur 1

et, en l'ajoutant à la troisième, 1l vient

ue 1— y? — verhte

dont la limite est zéro.

Donc on aura, à un infiniment petit près, en égalant à zéro l’in- , P Ï ? $ tégrale prise suivant le contour parcouru,

(e ® is dx