INVERSION DE L'INTÉGRALE ELLIPTIQUE

teurs 1 + 3, 1 + À z varient de o à p; ceux de 1 — z, 1—kz, de o à p— 7. Donc leur demi-somme varie de o à 2p — 7, d’où il s’en-

suit que l'argument de la différentielle varie de p—0=p à p—(2p—T)=Tr—p.

e‘Pdr

U , x se , + PES « 5° , # = D'autre part, l'intégrale ji Rire) étant égale à l’intégrale (0)

HE Le Re :

» plus à l'intégrale prise le long de l’arc de cercle de /0 R(x) à d

rayon 7 compris entre O x et la droite r'et?, et cette dernière intégrale étant nulle pour 7 = & , on aura, quel que soit p, compris éntTréO etT,

Donc, toutes les courbes u correspondantes aux diverses valeurs de p passeront par le point C de la fig. 100, et leurs tangentes en O et en C formeront avec OC un triangle isoscèle. L’argument de la tangente pour 7, variant de o à ©, varie dep à 7— p, d’une manière continue et toujours dans le même sens. De plus, on verrait, comme aux n% 1272 et 1277, que deux courbes w consécutives sont infiniment voisines dans toute leur étendue et n’ont d’autres points communs que leurs extrémités.

| : : NT ; Donc, si l’on fait varier p de o à -; la courbe uw variera d’une

manière continue depuis la forme du contour OABC (fig. 101) jusqu’à celle de la droite OC. Donc les courbes &w remplissent complétement et une seule fois l’arc du rectangle OABC.

141 LIVRE VI. — CHAP. III, $ 1v.

On verrait de la même manière, à cause de la symétrie, que, pour les valeurs de p prises dans les autres quadrants, les courbes w remplissent pareillement les trois autres parties du rectangle B, BB, B’. Donc chaque point « de l’intérieur de ce rectangle correspond à une valeur déterminée de z et à une seule. Donc z est déterminé uniformément par un point quelconque de l'aire du rectangle, c’est-à-dire que z est, dans l’intérieur de cette aire, une fonction monogène, uniforme et continue de la variable u.

1288. Si, avant de décrire le chemin rectiligne correspondant à la valeur w de l'intégrale, on avait commencé par décrire le contour élémentaire (— 1), l'intégrale u serait devenue 2K — u. Donc la même valeur de z qui correspond à w correspond aussi au point (2K —«u). L'un de ces deux points, et un seul, est contenu dans le rectangle de largeur 4K et de hauteur 21K’, dont le point K occupe le centre, et il est facile de voir que ces points remplissent toute la différence entre l’aire de ce rectangle et celle du rectangle de largeur 2K qui contient tous les points w correspondants aux premières intégrales reculignes.

Donc la fonction z — Ÿ{u) prend toutes les valeurs possibles en deux points, et en deux seulement, situés dans l’intérieur du rectanglé Compris entre lésEdroites At ACER RP NES CPE posés symétriquement par rapport au point (x=+K,y=o).

S1 l’on divise entièrement le plan en rectangles égaux à celui que nous venons de considérer, les mêmes valeurs de z se reproduiront deux fois dans chaque rectangle, et elles seront disposées sur des parallèles à l’axe des x, à la distance 4K les unes des autres, et en même temps sur des parallèles à l’axe des y, à la dis-

tance 2 K’.

1289. Si dans l'intégrale

4 «dz