VERTE

on pose z — sin, l’intécrale prendra la forme P ) 5 P

= do He .

(— PNR sin?

FONCTION Sn. : 14)

Cet angle 4, considéré comme fonction de l'intégrale u, est dit l’amplitude de l'argument u, et on le désigne par

D — arcSins —amu.

La variable z, d'après cette notation, sera le sinus de l’amplitude de u, et pourra être représentée par la notation

Zz —Ssinam 4.

Pour abréger l'écriture, nous adopterons la notation plus commode de Gudermann, et nous écrirons simplement

Zz — Sn K.

Cela posé, les relations précédentes nous montrent que l’on a, quels que soient les entiers m2, n,

snu —sn[2mnK + 27xkR'+{— 1)", et, si mest pair, en écrivant 277 au lieu de m, snu—sn({mkK +onikK'+u)

d’où l’on voit que la fonction snu est doublement périodique, les périodes étant 4K et 2:K’.

Fig. 103.

En particulier, on a sn(— u) ——sn«.

Pour onto sno —sn{2/:kK + 2xiK')—o, Shen M me IR 0 né RS Et H. — Cours de Calc. infinit., IV. 1O

116 LIVRE VI. — CHAP. LI, $ 1v.

&co En remarquant que — iK’, on en conclut das A REUte)

sn(+iK')—sn{2#kK + {22 +1):K']—=+ix.

dz , , 3 °T

Enfin, 1l R(:) étant égal à K + :K’, on aura 0 #

É A 1 sin Ki Er RE 7

Les signes + et — que contient chacun des rectangles de la fig. 103 indiquent de laquelle des quatre formes + g? +1}? est la valeur correspondante de snu. Il en est de même pour les fig. 104 et 105, relatives aux autres fonctions elliptiques.