KG

Donc NUE TRE .

| ksn u Par conséquent, en faisant u = —€e,ona sn(:K'—+e ( Je k Éd d'où Η 1 + sn?e DliRe eee ksne

Il s'ensuit de là que, pour € assez petit, cen(iK'+e) est sensible- L « I . EN 4 - LA ment proportionnel à —,; et, partant, : K’etles autres infinis de sn u sn €

ne sont pas des points de ramification de enu. Donc enu est, comme snu, une fonction toujours uniforme de u. De plus, lorsque z then deux chemins symétriques par rap-

port à l’origine O, W/1- -z* partant avec la même valeur dans les

FONCTION Cn&. 149

deux cas, les deux chemins entoureront autant de fois l’un que: l’autre les points de ramification de ce radical. Donc à deux valeurs égales et de signes contraires de z — snu et aussi de w correspon-

dront deux valeurs égales et de même signe de V1 — 7? = cnu. Donc la fonction cnu est une fonction paire de u.

1292. Pour déterminer la périodicité de cnu, nous remarquerons, comme au n° 1281, que les racines de l'équation

(nu = cn,

doivent être comprises parmi les racines des deux équations

SOUS UGS 2STU——AISN A,

qui sont vérifiées par les valeurs

u—2mkK+oniK'+l—i)"u,,.

Soit Cle chemin quelconque décrit par z pour obtenir la valeur #5

Zz Ar dz à : k de l'intégrale f ce On obtiendra u [1289] en faisant parcourir O0

à z, avant le chemin C, 7 fois alternativement les contours élé-

: AUS I ; . 1 mentaires (+ D, (— ;)? puis m—n fois alternativement les Cp t

contours (+1), (— 1). Orle radical Vi — 2? n’a pas d’autres points de ramification que + 1 et — 1; 1l changera donc de signe seulement m—n fois dans le parcours des contours élémentaires, de

sorte que l’on aura

en[2mkK+onikK'Æ{—i)u]={—1)"-2en{+ a —(—1)"-"cnu,

formule que l’on peut écrire plus simplement

cn(2mK—+onikK' Eu)—{(—:1)"+"cnu.

En remplaçant tour à tour m par 2m et par 2m -+-1,0n en tirera

en(4mkK +onikK'Æu)—{(—1)"cnu, en[(4m+2)kK+aonikK'Æu}—={(—1)"#cnu,

En particulier, on trouve

cenu —cn({K +u) Nr +2iK'+u) — — cn(2K + u)

— — cn(2iK'+ u).

La fonction en u a donc pour périodes 4K et 2K + 21K’.

1293. Examinons la marche de la fonction enu pour les diverses valeurs de u.

Lorsque z parcourt l’axe des x positifs (au-dessus des points de ramification) et que uw parcourt le chemin correspondant OABC

{ fig. 104), le radical /1— 7°? est d’abord réel et positif, de z—0 Fig. 104.

| ; cher LR K+iK'

-K-cK - iK' K-iK

àz=+ioudeu—oàu—K; puis il prend une valeur iMALI-

naire négative, de la forme — :%?, lorsque z varie de +1 à + *

1e RP : AA me et de +rè+o, c'est-à-dire lorsque u varie de K à K +:kK'et t de K —"7KR "à t7K2" Pour passer de z=+o à z=+ic,il iT

faut mulüplier z par e? = à, et, par suite,

devient + =\/ 1——; valeur réelle et positive pour z imaginaire FA -

FONCTION Cnu. 198

pure. On a donc les valeurs CLOUS