CH

ik' cn(K + iK')— SCA

CniRK— + ©.

Si l’on avait décrit l’axe des x positifs en passant au-dessous ; : 1 du point +1, uw aurait pris, pour z — 7? la valeur K—:K, Vi— 7? étant de La forme + ik?. Donc ik!

cn(K—:K'}—+ —.

i z décrit l’axe imaginaire positif, de zéro à +1 , u croît de zéro à +:K’, et Vi — :° depuis 1 jusqu'à + , en restant toujours réel.

S1 l’on fait prendre maintenant à u des valeurs égales et de signe contraire aux précédentes, la fonction en u reprendra les mêmes valeurs que ci-dessus, puisque en(—u) = cenu.

Lorsque z décrit un chemin rectiligne ret?, on verrait, comme

au n° 19289 Mque V7: 2 décrit une hyperbole équilatère repré-

sin 2. P

> qui ne dépend que de la

sentée par l'équation bi

Sin2 | p — G)

cotangente de l’angle 2p, et qui correspond, par conséquent, aux

Te Te valeurs p et p +-de l'angle p; son module minimum a pour

valeur sin2p. Pour r = 0, l'argument de la valeur de cnu est nul; Nr En de l’origine dans un sens ou dans l’autre, l'argument

de ÿ1— 272 tend vers celui de l’une ou de l’autre des asymptotes de l STE en vertu de la relation

tang 2p

tang 2x a | COS2 p

: - ns — — pee. - 9 ÿ PE QUI pOur n— EE 00), donne tang 25 —tang2p, d'où 5 —p ou

P — Fe Le point Vi — 2? décrira l’une ou l’autre des branches de

l’hyperbole, suivant que le radical partira de zéro avec la valeur + 1 ou avec la valeur — 71.

La figure ci-jointe (fig. 105) indique la distribution, dans chaque

rectangle de dimensions 4K et 4K’, des diverses valeurs de w qui correspondent à une même valeur de la fonction cn.

Si uw parcourt une des courbes renfermées dans le rectangle OABC ou dans le rectangle OA’ B'C{ fig. 104), on voit aisément que, pour p aigu, le point /1— 2? décrit la partie inférieure de la. branche de droite de l’hyperbole, c’est-à-dire que enu est de la

forme g?—1h?. Pour l'angle obtus P+ correspondant à la ED

même hyperbole, V1 — z? décrit la partie supérieure de la même branche, et, par suite, enu est de la forme g? + ih?.

De l'équation en(2K Æu)=——cnu, on conclut que, dans les quatre rectangles qui composent le rectangle BB, B, B”( fig. 104), les signes sont respectivement contraires à ceux des quatre rectangles qui composent BB B'B,.

L'équation cn(2:K'Æ u)—=— en u montre qu'il en est de même pour les rectangles qui composent BB; B,B, et que les signes, dans le rectangle B B”B” B;, sont les mêmes que dans B B' B'B,.

On voit que enu, comme snu, parcourt la série complète de ses valeurs dans l'étendue d’un rectangle de dimensions 4K et 2 K’, et que, dans deux de ces rectangles composant un rectangle de dimensions 4K et 4K’, les valeurs égales sont disposées symétriquement par rapport au centre B de ce dernier rectangle.

FONCTION tn. né

1294. Des propriétés des fonctions snu, cnu résultent immédiatement celles de leur quotient, qui forme une nouvelle fonction elliptique, analogue à la tangente circulaire :

Z sn « SP I NN Vi — 7? cn u Les valeurs de w pour lesquelles la fonction tn u reprend la même valeur sont celles pour lesquelles les deux fonctions snu, enu reprennent des valeurs respectives soit égales et de même signe, soit égales et de signe contraire.

Or on a [1289 et 1292]

snu —sn|2mK+o2nikK'+{(—:1)" TE

enu—{(—1)"+*cn(2mK + 2rRiK'+u),

le signe +, dans la dernière formule, pouvant être choisi à volonté. En discutant les formes communes aux valeurs générales des ares correspondants à + snu el à +Cnu, Où à — snu et —Ccnu, on trouvera, pour la formule générale des arcs qui répondent à une même valeur de tnu,

tnu = tn[2mkK +oniK'+(—i)'u].

On a, de plus, tn(—u) ——(n7, tno —tn{2mKkK + 27iK') —0,

MK —tn[{(2m+1)K+onikK']=,

in(+ik')— lim

. SISRE TS TS . 2) .

s=ie Vi — 7 BUS ”

4295. Il nous reste à étudier la fonction

Vi k2z— Aamu — dnz.

On démontrera, absolument comme on l’a fait pour la fonction cnu, que dnu est une fonction uniforme de w dans toute l’étendue du plan. On a ensuite, à cause de la symétrie,

dn(— u)—=+ dnu.

Pour déterminer maintenant la périodicité de dnu, remarquons

que les valeurs de u qui font reprendre à dnu une même valeur

dnu, doivent être comprises dans celles que donne la formule U=—2mKR-EomKRier (— 1)” “,

et pour lesquelles sn?u = sn?u,. La première s'obtient en faisant précéder le chemin C, qui donne la valeur wç, du parcours alter-

nn V7 . I , Pr = natif des deux contours élémentaires (+ à , (—- ;) » répété 7 fois,

plus du parcours alternatif des deux contours élémentaires (+1),

(— 1), répété m—n fois. Donc le radical ÿ/1— A? z? aura changé n fois de signe, et, par suite, 1l aura été multiplié par (—:1)*; on aura donc

dnf2mkK +onikK'Æ{—i}"u]=(—i1)"dn(+w)={(—:1)"dn«, , plus simplement, dn(2mk + 2niK'Æ u)—{(—1)"dnu.

En remplaçant tour à tour 7 par 27% el par 22 +1I,on en tirera dn(2mKkK -- {niK'—Æu)=— dnu, dn{2mkK+ {472 + 92)K'Lu]—=— dnu.

in particulier, dnu — dn(— «) — dn(2K+u) ee AiK' + u) — dn{2iK'+u).

La fonction dnu a donc pour périodes 2K et 4:K. Lorsque z et u parcourent l’un l’axe des x positifs, l’autre le

, : I chemin OABC 12. IOI de z— 0 à 3: —-, ou de u —=0 à = (Ji8 Fe Pl

RER ne Fra 1e u—=K+iK", ÿ1— A2? varie de + 1 à zéro ; de z — Tiz=+,

DOUTER AT INMRTEENSE Ie Vi—Æz z2 est de la forme —:? ét varie dézéro à 1, Dez— és — co.

est multiplié par CU i, et devient +. Doncona dno = 1, du(K + iK'}—0o, dnzkKRes- 00.

FONCTION dnu. 195

mn se

13 avait évité le point +1 en passant’au-dessous, on aurait eu, I 7 T7 RD TE à : Es . . \ pour z=mu—k— iK’, et V1 — 223? aurait pris, au delà de ce

point, des valeurs de la forme + 12?. Dans ce cas, on aurait eu dn(K—iK'}—o, dn(—iK'}——.

Lorsque z décrit l’axe des y positifs, dnu varie de +1 à +.

Le long des axes négatifs, dnu = dn (— u) reprendra les mêmes valeurs que ci-dessus.

Lorsque 3 décrit un chemin rectiligne re‘, 12 k22? décrira

la même hyperbole équilatère que V: —— z2/etse déplacera suivant

‘ TE ë 6 ° l’une ou l’autre des deux branches, suivant que ÿ1— A?2? partira de O avec le signe + ou avec le signe —.

On verra, comme pour la fonction en «, que la distribution des

Fig. 106.

signes des valeurs de dnu dans chaque rectangle de dimensions ! 2 . . A »

2K et 4K' est indiquée par la fig. 100.

Ici, dnu parcourt deux fois la série complète de ses valeurs dans l'intérieur d’un rectangle de dimensions 2K et 4iK”.