IT] AFRO NAT IU
Pour que la transformation soit réelle, il faut qu'aux valeurs de + comprises entre a; et a, correspondent des valeurs réelles de ©, et par suite que $ = sin?o soit compris entre © et +1. Il faut donc qu'à
Lo Ulis), die
on fasse correspondre
On devra donc changer, dans les formules précédentes, les indices
1, 2, 3, 4 en
ce qui donne les mêmes valeurs de Æ?, A°?, nm: que précédemment, avec la valeur
Er)
RE | og — (4ÆY $ Li Ar SIN ©
[IT] AONBEE Ga) on) x 48
Il faudra changer, dans les formules [T}, les indices
1, 2; 3, 4 en 4, 1, 2, 9, d’où 2 Mis, Ta Moss is et di3da
; in?
a, A3 Az Air Sin” ——
AUS ee Hi VA A3 lon.
lj3 — di, Sin ?
[IV] ATOS de
On changera les indices 2, 0.14
de [I] en GS Hi Els
ce qui donnera pour Æ?, À°?, m les mêmes valeurs que dans | HT}, avec Re RE PT Te 0 13 — 93 SIN° 9
1303. Dans le cas où X est du troisième degré et égal à Afa;—x)(a;—x)(a;— x),
il suffira de faire dans les formules précédentes les mêmes change-
ments que pour passer des formules du n° 1296 à celles du n°1300, ce qui donnera les formules suivantes :
[1] AE FO NT Et 42 re do: Here BH ©, pr #5, DEN dis di3
TI a; + 2 sin?o.
[11] 0, Mme nr de Mèêmes valeurs de £?, '°?, m que pour {I};
ay — a Sin?
Li =. FF or La 1 — sin’ v
[IV] A0, a<r<u.
Mèêmes valeurs de Æ?, À’?, m que pour [IIT)};
A3 j3 — Àj 53 SIN? © TL = ——— .
di3 — A3 Sin”
RÉDUCTION DE L’'INTÉGRALE fF(x, VX). 175 1304. Réduction de l'intégrale [ F(x, YX)dx aux trois formes normales. — On commencera, en opérant comme au
n° 427, par mettre l'expression différentielle F(x, VX )dx sous la forme
o,(x)etw(x) étant des fonctions rationnelles de x. Nous n'aurons
A ® Do ra à nous occuper que de la partie = dx.
Si la transformation du second ordre est applicable [ 1302}, elle ramènera immédiatement cette différentielle à la forme
Me fins) À»
f étant le signe d’une fonction rationnelle, et As désignant le radical VERTE sin?o.
La transformation du premier ordre ramènera la même expression à la forme
y représentant une des trois quantités sin, cos®, tango. La fonction rationnelle (7) pourra se mettre successivement sous les diverses formes
tn es Au) AwerA0T) Ci
ent) En ue or
X1» X2s Va, désignant des fonctions rationnelles et entières. La fonction se trouve ainsi décomposée en une fonction paire de yet une fonction impaire de la forme y5w EVE JL
. ; : PRE d Cette dernière fonction, étant multipliée par " donnera une ?
différentielle qui s’'intégrera par arcs de cercle et par logarithmes
[427 et suiv.}, en posant,
, >\ de | dz pour 7 —=siny, z—cosy, d'où æ|y?) = — (2) , , Le } A: \ / de a ? VA'+ 2 : A . do e dz Pour pE— COS?, Az silo, LOU min dE =, # 19 , \ A CE ? V1 — 11e:
4% ., Y do 1— 7° dz pour y —tange, 2—cos, d'où a) = ——) À 1 Ao 7 42 42 2 Î Z —+ TZ
IT désignant une fonction rationnelle.
La fonction paire de y peut, dans les trois cas, se mettre sous la forme d’une fonction rationnelle de sin?®. On est donc toujours ramené à une différentielle de la forme
Par la décomposition en fractions simples, cette fonction produira des termes compris dans les quatre formes suivantes, A do A do A siñ°? » do A do
à ss 4 FÉES UE A [172$ p) Av A (1 mieul p)1A9
À , n étant des constantes quelconques, et p, 4 des exposants enuers
qne nous pourrons ramener à l'unité.
1305. I. Considérons l'intégrale
es do g EME Ts dec (1 + sine )7 49
Si l’on différentie l'expression
Sin? COS A9 NES JR 0 Re (1 + 2 sin*p)7!
en posant, pour un instant, 1+2SiN9—=6,, q—41—7,
la dérivée de cette expression sera
ï ALES 34 eines AN LT à nn She 2 x = RE 9 — sin”) 479 — k?sin?o cos? »] — 277 sin? 9 cos’ 9 A gi
RÉDUCTION DE L'INTÉGRALE JF(x, VX )ux. Ta En ordonnant suivant les puissances de TP
= — -- sin°y, a
la quantité entre parenthèses devient, après quelques réductions faciles,
L-"2e =: : do 1 l'on Iuplie maintenant par Si l’on mu iplhier par =
g+1a7 on aura, en intégrant el
rétablissant les notations primitives, la formule de réduction
1/7 LATE ( D NONTNS Le (2g — 2 UN 09 —23 —— A js (+ n +%) 7 Le: AL n * nr? ss [ia 31? 2 +(29— 4) AD JV (29 —5)25 Vis
Sin » COS Av
j TENTE à (1+ 2sin?9)7
Cette formule permettra d’abaisser l’indice g de V, tant que cet indice sera supérieur à l'unité. Alors les intégrales V,, V,1,.…, V, se trouveront exprimées au moyen de fonctions rationnelles de
sino, cosv, À, et au moyen des intégrales
do NE RD ca m0 (1 + a Sin* 9 ) A9
Vo : #s 1?
ve d? ei nee J/ A? A9
dont la première forme une transcendante spéciale, tandis que les deux autres appartiennent à des classes de transcendantes plus simples.
H.— Cours de Calc. infin., IV. 12
1306. La formule de réduction que nous venons d'établir se simplifie à ° Dans le cas où l’on a
y [ do
