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À ‘ COs?7 © A [4 i i

ce qui donne, en changeant g en g +1,

\ n (x S1n © Av } 2 A7 FAT —(2q —3)4 \ TT cos 119"

formule qui permet d'exprimer V,, V,1,..., V, au moyen des do Tee vo do

, Er A9 F

et de fonctions rationnelles de sin, coso, A.

deux intégrales

2° Dans le cas où l’on a

do 2 Î n= NN ENE sn \ 0 fr .

ce qui donne la formule

AN LR Res AR RU, eut 1) Voa29 2) 72 Va (2) I Sin © COS © mmorises en vertu de laquelle on exprimera V,, V;1,..., V, au moyen des

deux intégrales V,, V, et de fonctions rationnelles de sin®, cosy, Ào.

1307. Il. En différentiant de même l'expression sin??—3# COS ® Av

et intégrant de nouveau, on aura, pour l'intégrale

Aie LE u,= [ES

la formule de réduction

(2p—1)ÆU,—(2p — 2)(1+ Æ)Ü, + (2p — 3)U,

— sin? —$ 9 COS? Ay,

RÉDUCTION DE L'INTÉGRALE JE, VX dr. 179

A PAR ; à Ç qui permettra d’abaisser l’exposant p jusqu’à la valeur 1 lorsqu'il est positif.

Si p est négatif et =— 7, on aura, en changeant g en g — 2, la formule de réduction de l’intégrale

We sin? 21 © A» °

— (29 —1)W,+{(2g—2)(1+Æ)W,ni—(2qg—3)ÆW,—

savoir COS A9

—————————— 0 sin?" 1

1308. Il est aisé de voir que les deux intégrales

do d Sin? © — [eos ï TAN AP

s'expriment immédiatement au moyen des deux intégrales

lu À de R et fre ft — f°? sin?o) . .

On a, en effet,

*# sin?o do I ? do 1 ?

D —— Ne Av do, A9 4? AG A

? cos? o do Frdp ? sin?pdo 42 ? do I ?

D CN nt. Da Ap dy.

piquer A? RAS re AE

Donc, dans tous les cas possibles, l'intégrale fF(x, VX)dx pourra s'exprimer au moyen des fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires, et des trois transcendantes

[+ Ro J a ne DR ODE Jo (1+28in##)A9

auxquelles on a donné les noms d'intégrales elliptiques de première, de deuxième et de troisième espèce.

qe , Ex . s\ 2 LA , L'intégrale de première espèce, que Legendre a représentée par le symbole

dépend à la fois de sa limite supérieure 9, qu’on appelle l'amplitude, et de la constante k, qui est dite le module. Nous nous dispenserons d'écrire le module toutes les fois qu'il sera désigné par la lettre À; s’il est représenté par un autre signe, par la lettre / par exemple, nous le mettrons en évidence, en écrivant

F| Er Ê METTENT

La même convention s’appliquera aux autres intégrales elliptiques et généralement à toutes les fonctions de l'argument et du module. L'intégrale de deuxième espèce est désignée, suivant la notation

E(+)= | Ao do, [e)

expression qui représente la longueur de l’arc d’ellipse [ 746, I]. Enfin l'intégrale de troisième espèce est représentée par le

symbole le I», n) = # (1 = 2sINT (1 + nsin?o)Ao

Elle dépend de trois quantités : l'amplitude ©, le module # et le paramètre n.

de Legendre, par

Depuis les travaux d’Abel et de Jacobi, on rapporte généralement toutes les fonctions elliptiques à l'intégrale de première espèce, considérée comme variable indépendante. En posant

nous avons vu que les quantités ®, sin, ... sont représentées, en fonction de u, par les notations amu, snu, ....

À cause de dp — dnudu, l'intégrale de deuxième espèce peut se mettre sous la forme

? u 1 A9 do = dn° u du, (o) (o)

en la considérant comme une fonction de u. Pour éviter toute confusion avec la notation de Legendre, nous la représenterons, avec

RÉDUCTION DE L'INTÉGRALE J F(x,VX)c&r. | 181

Gudermann, par elu.

Enfin l'intégrale de troisième espèce peut se mettre sous la forme fe du ——.

4 1+ Z2Sn° 4