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} A “ , d’où, en intégrant, ©
dx dy (15) Je Hate CID Ro
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C étant une constante arbitraire.
Or, si g(u) est la fonction de u à laquelle x doit être égal en vertu
de l'équation (9), les relations [ 827, 1V]
PS van, 4 :
montrent que les deux intégrales — - = doivent avoir
une somme constante &, d’où il se is ee MN On a donc, en vertu de (15),
ola—u)s'{u) + o(u)o(a—x…) or
186 | LIVRE VI, <— CHAP. AV, & ai
Si l’on suppose maintenant u = 0, d'où qg(u)=x=0,v{u)=1, il vient, pour valeur de la constante arbitraire,
C—yla).
Si donc on pose a — u = v, l'équation deviendra
1— Fat P
ou enfin, en remplaçant la notation © par sn et remarquant que
—qplu+v)
J{u) = V{i—sn?u)(1 sn? u) = enu dnu,
ve snucne dne + snpcnx dnu (16) sn(u +) — -
Sn sIl P
1313. On peut encore obtenir autrement cette formule et les formules analogues relatives aux autres fonctions elliptiques.
Reprenons les équations trouvées au n° 827, V, où nous avons posé
l f P—AMA, Y—AMP,, oc —am(u+v) —amw.
En mettant, dans les équations (1), (2), (3) de ce numéro, à la place de À, B, C’ leurs valeurs en fonction de o, il vient
{ Ag — TI
sin /o x) = Dale + x):
Sin ç
l L { TT — 49, A TA = 7,
du 0 0
les deux premières de ces équations peuvent s’écrire (Ag --1)sin(p — y) — (Av — Ay)sins, (As +i)sin(o + y) —(Ayp—+ Ay)sinc,
d’où l’on tire sin ç A» — Sins COS y As + Sin y COS»,
sin c Ay — Sin 7 COSo As + siny COS y.
PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. nor La troisième relation (19) équivaut à celle-ci : COSG — COS? COS y — sinpsiny A7.
En introduisant maintenant les arguments des fonctions elliptiques au lieu des amplitudes, les trois dernières équations
deviennent { snwdnu = sn4#cne dnæ + snvcnu, (18) | snw dne — snv cn x dnw + snu cn», cn — cnu cn? — sn zu sup dnw.
La relation UK — (VO
pouvant s’écrire encore de deux autres manières,
on pourra, des trois formules (18), en tirer six autres, en remplaçant respectivement Le ’, (4,
soit par
soit par
1314. Des deux premières équalions (18) on lire
sn? 4 Ch? — Sn?» Cn?4
Ua snu cnp dne — snrcnu dnu în multipliant les deux termes de la fraction par la somme des termes dont le dénominateur est la différence, et exprimant en?«, dn?u, cn?y, dn?y au moyen de sn?u, sn?v, on retrouvera la formule (16).
On obtiendra de même la formule
: dn « dns — #*snu snv cnu cnv (19) dn(u+v)—
1 — 4°sn°zsn°’p
En portant cette valeur de dn{u+ +) dans l'équation (6), on
cnu che — snusne dnu dne (20) en(u + v) = + 1— sn sn?
En divisant l’une par l’autre les formules (16) et (19), on en
lire Er ets tnu dne + tne dnx DAT n | (DR , ù 1 — tnu due.tnednu ai sn(u +p) ou encore, en multipliant les deux termes du rapport —— —: en(u+")
par la somme des termes dont le dénominateur est la différence, et divisant haut et bas par 1 — Æ?sn?usn?e,
sn a en u dne + sns cnv dnx
(22) | RU en? u cn? — #'? sn? u sn°v
Enfin, l'équation (21) donne immédiatement
(23) am{u + sv) — arctang (tn a dne) + arctang {inv dnw).
1315. En faisant, dans les formules précédentes, u =, on à les formules pour la duplication de l'argument :
| 2sn zu cnudnu
STOMIES RTE 1 eur cn?4 — sn°4 dn° 4 nou —= - ER ie et KE sn (24 \ dn?u — /?sn? u en? « 0 Nov - veu De CU otnu dnu CHOSE
5 9 1 tu zdn- y
| am2u — 2arctang{tnz dnu).
1316. Si dans les formules (16), (19), (20), (21) on change en — p, on obtiendra les fonctions elliptiques de la différence u — des arguments.
En combinant ensemble ces deux séries de formules, on en déduira les formules données par Jacobi au K 18 des Fundamenta. On a, par exemple, en faisant, pour abréger,
uHo—s, u—v—t, 1— snusn = W,
les relations
Wisns + snt)— 2snucnvdnr, Wisns — snt)— 2snvcnudnu, Wi{cns + cnt}— 2cnucnr,
Wi{cns — cnt) — — 2snusnsdnz dnv, Widns + dnt)— 2dnudnpr,
W{dns — dnt)— — 2#?snusnecnucenr, Wsnssné — sn?u — sn?pr, Wenscent = CN de sh PON #,
W dns dnt — du uv À SD SP,
otnz dns
D cn?e{1— 4"? tn?utn°?v)
éic
1317. Considérons les fonctions de l'argument complémentaire K — u. Nous les représenterons par les mêmes lettres que les fonctions correspondantes de l’argument u, en ajoutant seulement à ces lettres la lettre c. Nous écrirons ainsi
am(K—u)—amcu, sn(K—u)— sncu, cn(K — u) — cncu, etc. (!).
En faisant, dans les formules des n°° 1312 et 1314, u— K et
ÿ = — u, on aura
en k'snu 4! I SHC HU — DC — —) dncus— OO re dn x nu dn x k'tnu (25) { TE no ja \ amcu — —— arctang/{#'tnu).
On tire de là les relations
sncC z CncC 4 sn z CN dncu dnu I !
dn x dnc u es EF , tn zu tncu
(*) Jacobi désigne ces mèmes fonctions par les notations coamu, sincoamw, coscoamw, etc.
190 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ It
ou
snc 4 CPC k' dneu snucnu dn?u dn x
On conclut de ces formules que
{ sncu, dncu sont des fonctions paires de 4,
| cncu, tnca sont des fonctions impaires de w.
1318. D'après ce que nous avons vu aux n°° 1287, 1291, 1292, 1294, les fonctions elliptiques, pour les valeurs o, K, :K', K+:K' de l’argument u, prennent les valeurs indiquées dans le Tableau
suivant :
u sn «4 en x dn x to O O I I O K I 0 k' cc :K' 1 cn + co 1 : Tue zh!
KRESTIR ___— O - À Â ki
En combinant ces valeurs avec les formules d’addition des n% 1312 et 1314, on obtient les valeurs des fonctions elliptiques de l'argument U pour chacune des valeurs u+K, u+iK,
