S III
DÉCOMPOSITION DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES DE FRACTIONS SIMPLES.
1320. Nous avons établi, au n° 1206, la formule
f [ she 1 (u ) du I f(v)dv (1 f(u)= —- e+ LD ca!
1 x d 2T ti 2T Li PT Dom,
t » LATE LS >
la première intégrale se rapportant au contour de l'aire 4, les autres aux divers infinis c de la fonction f(u) contenus dans cette aire.
Prenons pour 4 l’aire entourée par une courbe de dimensions H. — Cours de Calcul infin., VN. 13
infiniment grandes et de forme quelconque, symétrique par rapport à l’origine, mais ne passant par aucun des infinis de la fonction, de sorte que f(v) ne devienne infinie en aucun point du
te
contour. S1 l'intégrale
prise le long de cette courbe, a, en deux points diamétralement opposés, ses éléments égaux et de signes contraires, alors cette intégrale sera nulle, et il en sera de même de l'intégrale
Tv) [ 1 f(u)d
<= , >. UMR [£4 U CRE I ue
dont la valeur différera infiniment peu de celle de l'intégrale précédente [1211], si tous les points c sont situés à des distances finies de l’origine. Donc, dans ce cas, la valeur de f(u)\se réduira à
pe f(v)dv (2) fe fe,
2TL Je U — VU
c’est-à-dire à la somme des résidus de la fonction (u) relatifs aux infinis de cette fonction compris dans l’intérieur de l'aire 4.
Si les points c se rencontrent à des distances aussi grandes que l’on voudra de l’origine, et que la première intégrale de la formule (1) ait toujours pour limite zéro lorsque tous les points du contour s’en vont à l’infini, la formule (2) continuera à subsister.
Nous avons déjà, dans le Chapitre IT du Livre VI, appliqué cette formule au développement des fonctions sinu, tangu, cosécu, ….….: appliquons-la maintenant au développement des quatre fonctions elliptiques
shx, Ch, dnu, tn tf.
1321. Supposons d’abord Pointe Pal , M sn Cette fonction étant impaire, l'intégrale |. — du, prise le long
d'un contour infini, symétrique par rapport à l’origine, sera nulle. Les infinis c de la fonction snu sont compris [1289] dans la
formule c—2mk + (ar + 1)iK’.
Le résidu de cette fonction snu, relauf à l’un de ces points, sera
sn v
or, en posant
vu—=e+c—:+2omkK+(2n+i)ikK,
on a [1289 et 1318] (— ne
snu —{— 1)"sn{e +ikK')— TES
donc, lim— étant l’unité, la valeur cherchée sera
ne RE SRE RES 2 SO 2 RSS RE TIS (— 1)" ñ
k u—2mkK—{272+1)K En conséquence, la formule (2) donne, pour m et n croissant l’un et l’autre à l'infini,
Hu 7
re (— 1)" snu— lim » D rente a ru
Si l’on suppose que l’aire 4 ait la forme d’un rectangle dont le centre soit l’origine des coordonnées et dont les côtés soient parallèles aux axes, on pourra d’abord sommer les termes qui se trouvent sur une même parallèle aux x, et calculer, pour x constant, l'expression
ns
en faisant, pour abréger,
U—=u—{2n+i)ik.
Or on a [1212] + 7 COSECT —— Jim D DU .
m—=a L'— MT —In
Si l’on pose maintenanL
fe ee / N'a = seal Qu Dr ri 2K \ ie puis K' r K' DUR Ce 2 RON la somme précédente deviendra 771 ) k — EE I 1222 ; 3 lim Ÿ __ — coséc[x —{(27 +i1)p|.
éd YO — (27 + 1)ép mn Ni
nt / 1 7
Donc + 72
ie snu — -lim > ——— ———— —— k sin[zæ—(22-+1)cp]
1322. Considérons maintenant, en général, une série de la forme
Diane Tarrdr Miles cs A7) sin(x — vip)
ÿi=—=10)
x et p étant réels, et p positif. Le rapport de deux termes consé-
cutifs sin [Æ — vip) CHERE ri I 1 — e—2Ce+ix) sinfæ—{vpijip] etre ee Ge à ele]
1 : SAS ; a pour limite correspondante à y—« la quantilé —>+ qui est €®
moindre que l'unité. Donc la série est absolument convergente. I]
en serait de même de la série
