ES

D sin (æ—vio)

Il résulte de là que les deux parties de la série

D L sin[x — (27 + ii]

correspondantes l'une aux multiples positifs, l’autre aux multiples

négalifs de 1p, sont toutes les deux séparément convergentes. On peut donc ÿ remplacer les limites infiniment grandes —n7— 1 et + n de l'indice par deux nombres infiniment grands quelconques,

et écrire simplement + ©

| 1 I 3 = he Re À > Sn or) 7 0]

S1 l’on groupe ensemble les termes contenant des multiples de 1p égaux et de signes contraires, on aura, en remarquant que

I I sin «x COSa

sin(x — 4) p sin{x + a)

COS 2 COS2 7 et introduisant les fonctions hyperboliques,

\ DLL Chor+i)o l SU — = SX D —— |" —.

(4) k sms Ch{4x + 2)0 — cos2x

Si l’on pose actuellement

on aura

ce qui donne à la formule (4 ) la forme suivante :

/ fa Va . : GNT . 11 M (5) sn u — Ed £ 0

12 4h COS + QU UT

1323. Pour arriver au développement de cn u, commençons par obtenir celui de la fonction impaire cn(u—K)— f{u), dont les

iafinis sont | 1292)

1 NN 270N (27 + 1)éK’ ou u — (2m + 1)K+(22 LR SC.

Le résidu relatif à l’un de ces points est

PACS im +er+i)k+(er+ 1\éK’]

hiver DE [om -EilR (272 Eric KA

198 LIVRE \VI.0— CHAP.NIV-SSCILI.

Or on a [1292] cnu—{—1)"+#cn(amkK +onikK'+u), d’où en(u—KkK)—=flu)l={—1)"#+"cn[{(am—1)K+a2rikK'+u). Donc [1318]

fE+(em+i)kK<+(2n +i)iK']—={—1)"#r/fle + K +iK")

dn:

fe NON RS d’où l’on tre Hana U 0 1'edne I ln —* MH EE — Jim | 1) ik She u—e—{2m+i1)K—{(22+1)iK 7 (—r)7+7 I Au ont en Ant el par suite pee sé ( EE REA jp ne PR EE cn(u— hr: Im > ( 1) D: u—{(2m+i1)K—{(22 +1)iK —n—1 — nn —1

En remplaçant u—K paru, ona

It + 72

ris (— 1)" Ch lim > (— 1) Ÿ PR AE lerte .

ik éd u—2mkK —{2n+i1)iK nn 1 — 177 — 1 Enfin, en supprimant, à la gauche du rectangle qui forme le contour de l’aire infiniment grande, un terme infiniment petit, correspondant à l’indice — m—1, ce qui ne peut avoir d'influence sur

la limite de la somme, on aura

+n + nr | va (— 1)" , De r\n a (6) cn u Ke Im > 1) rer acrenie — n—i TU

Si l’on pose, pour un instant,

u—{an+i)iK'=U,

on aura, comme dans le numéro précédent, la somme

Ï Ko) US AkR.

que nous avons trouvée égale à

a coséc[r — (27 +ri)ip].

Donc 00 L 1 se:

(7) D ice]

On a maintenant

I I COS æ SIN «

sin(r —a) sin(r+a) cos2a —cos24”

d’où, en groupant ensemble les termes correspondants à deux valeurs égales et opposées de 22 +17,

Le Sh{22+1)p (8) CAS DD) Ch{4r +2)jp —cos2r

ou, sous une autre forme,

Es }r n 2n+-1 (a) Cu LM Ve me S HE RENE Ve AE

1— 24°"+T1c0S2x + Gil ée

1324. Soit, de même, la fonction impaire f(u)= dn(u +iK'), dont les infinis sont [1295 | u+iK'—2mKk+{(an+i)ikK,

LE Oo NN EE SATA C.

Le résidu relatif à l’un de ces points est

. | sf(s + 2mkK + 2niK) ini SG IR No ile

200 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ or.

Or on a[129%5]

dnu—\— T}F dn (x +—omk +- DriK A d'où

dn(u+iK')=f{u)={(—1)"dn[u +2mk +{on<+i)iK'].

Donc [1318]

fle+2mkK+onikK')—={—1)"f{e)—=(—1)"dn(e+iK')—=(—1:1)" Éz

: , ttne d’où ; fr) (—1)7.. € I lim lv — ee —- ( ) RESTE £ neue 2m" —2/1KN 7 (= ri I 2 % LES nkR EDR | et par suite +71 —+- 72 dn{u . ER} + n Ÿ— E ———— L USM —27u\N —.7 1771

En remplaçant maintenant u + 1: K’ par u, on aura

+7 + mm

1 I dnu= lim ÿ — I D —".

Ë ) u — 21n} Lt IS