CRUE
Or, par le changement de » en » + 2, le facteur e’*, en avant du signe IT, sera en même temps multiplié par e?#. Donc le produit total n’aura pas changé de valeur, et l’on aura ainsi
Oh,v+e (2) — O,,, ( u).
On pourra donc, sans diminuer la généralité de la fonction 6, la ramener toujours aux quatre formes considérées dans les nu-
méros précédents.
1333. On voit immédiatement que les trois fonctions O, 6, @,1, O5, sont paires, tandis que la fonction ®,, est impaire. On aura 2 2 donc, en général,
(11) Ou,y(—u)—=(—1)"0,,{4).
Les facteurs du produit [I étant en nombre pair, on ne change —n7n—1 pas le signe du produit lorsqu'on augmente x de +, ou u de 2K, ce qui ne fait que multiplier chaque facteur par — 1. Le facteur e* se trouve multiplié par &=(— 1). Donc (12) O,,(4+2R)—(—1)06,,{(u).
Augmentons maintenant u de 21 K’, ou x de 26p; le produit | É
sera multiplié par un facteur de la forme
cos[X +(r + 3)io] cos(X — rip)
214 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ 1v.
dont la limite, pour 7 infini, est e-?{%##), Le facteur e’* est multiplié par e-°*, Donc
pu DIR cr EN pro Nr
TN es OX
Ona,pouru=—1,e et, etpourp=0o, e = +e%r,
Donc
on e 21X
(16)M6 Sue TR (— tend À CP —=(—1) O,(4).
En appliquant cette formule à chacune des quatre fonctions O, on aura les égalités
Ofu+2ik') O,(u+2ikK) __ @lu+iK') O@,(u—+iK) Ofu) —@{u) (au), 1 106,17)
Cela montre que les fonctions @ ne sont pas périodiques relativement à 21K’7; quand on augmente de cette constante l’argument u, ces fonctions se reproduisent à un facteur exponentiel près.
14334. Si dans O,., on remplace u par u + K, ou x par x + sil viendra T :
u +1) = (an +1 vie |
3) 8 D ÉDeee CE |
sE—(an+i |
DL es
En comparant cette valeur à celle de @,,,,, on voit qu’elle n’en
T ? et par le dénominateur,
E,,{u+kK)
Sera vi diffère que par le facteur constant e
qui est pareillement constant. Donc le quotient ARTE 0 est | , COPY constant, ce qui donne les deux relations E,(x+K) E,(u+K) a CONSÉ, cons.
O(u) Oi(u)
Pour obtenir les valeurs de ces constantes, nous remarquerons d'abord que, les deux fonctions © et ®; prenant la valeur 1 pour
u = 0, le rapport doit se réduire, pour u = 0, à O6,(K),
O(u) \ 1£ A et, pour u=—K, à SK) + De plus, à cause de Oo, (K Sn il à == 1% OK) on en conclut Enfin O.,{(K) Re = 1 es ROME" A OK) de Donc 6 DR ee le I | Te se LL se ice OK) 6,{K) EE
et par suite
OŒ(u+K) Ofu+K) —
16) = 2 RE / O4) = CS Vo ou encore OT O,(K — x) Pr = ———V#, Ou) O,(u) I FA (7) E(KR—u) O,(K—u) 1 O3(4) T4 @3|4) D V4
Ainsi, quand on remplace w par son complement K — u., ou x » Ï P / ) Te . , ar — — x, les fonctions 9 et O;, ©, et O, s’échangent entre elles ? } fe) ;
à un facteur constant près.
1335. Si l’on remplace maintenant w par u + iK’, ou x par
Tr lp) OA or on
O,(u +iK') — [El
cos(r — anio)
à L] COS {272 + 1)2p
DT
EE cos] — (28 + ie
T sd” cos Ê + — — anis)
216 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ Iv.
Donc les rapports O,(u+iK') Olu+iK')
eT*@,{u) : eo rie) sont constants.
En faisant u = 0, puis u ——1K, on trouve que le premier de ces rapports est égal à AP ec?
e;(iK ) == e,(K | ,
et le second à et
L'égalité
BARS — ti Ne
@:(:K') donne
O,(:K'}—=:0,{iK).
D'ailleurs, si dans l'égalité [1330]
sn(K — x) — Ô
on fait u——ikK", il viendra [1318]
8, (iK') e? De I NN RTK RE EU EN E A N T
De là résultent les égalités Lo (18) Hire cat O,(iK") = —; O,(iK')=— ;, k
d’où l’on conclut les suivantes :
O(u—+iK') @,(u +iK)
(19) THE — Si HEile = Vircater
En remplaçant uw par u —1K dansles formules (14) du n° 1333 et dans celles que nous venons d'écrire, nous obtiendrons les relations
| Os(u+iK') —O@{(u—ikK') 2e Bo @u(u—iK') @ilu+ikK') ‘ Gs(u— ik") E(u) A7 4 10
@;(u) i@i(u —iK')
On tire de là
(ar) SAINS met RGP ET 1 athe e,(u) (x VA
Aïnsi, quand on ajoute 1: K’ à l'argument u, les fonctions @ et O,, ainsi que les fonctions @, et ®;,, s’échangent entre elles, à un facteur exponentiel près.
De ces diverses relations il résulte que les quatre fonctions O peuvent s'exprimer au moyen d’une seule d’entre elles, de O;, par exemple. On a, en effet,
@(u)— —-O,(K —«}), \ ] ve 3 | }
l —ix
(a) = —— 7 TEte, (KR + iK'— u),
Cm D de)
CE
O,(u) — HO KI u).
1336. On peut déduire de là les jar Du module k et du
quadrant K en fonction de p ou du rapport = VE deux périodes
ra
des fonctions elliptiques. En faisant u —:iK’ ou x —ip dans la valeur (5) de O;{u)
[1330], il vient Pot Sh?9 STI [+ Ce on
ou, en vertu de l'égalité Ch?o + Sh?5 = Ch(s+p)Ch(s —p),
TR II sn),
Ch?{22 La hide)
ou enfin, en introduisant au numérateur le facteur 1 + g?**1, égal à l'unité pour n infini, et faisant sortir du signe IT le facteur
a Fi Re (23) 9, (iK')— 2[} CRE) | 0
218 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ 1v.
Donc, en vertu des formules du numéro précédent, on a
A 2 By — re 2n+2 (24) Vk=e AMEAELS V4. DA N 0 hi jh
lehig pt La formule (15) du n° 1334 donne immédiatement 1 == EL a FLE en) :
Elle donne encore l'équation
AR Lip +s" y (26) =ak)= I (x)
(25) Ve —
Par la combinaison de ces formules, on peut en obtenir un grand nombre d’autres, dont quelques-unes nous seront utiles plus tard.
Si nous posons, pour abréger,
M Rhone M=]]{i+g"#), À 0
N T[ T— 40), “Ie IQ 51% | 1
on aura d’abord
MM=[[ (+9), NN=TT(i—9"), 0 0
d’où
ce]
MMNN EN NUE A EN, d’où résulte la relation
(28) MM'N'—1. Des relations (24), (25), (26), mises sous la forme
