RELATIONS ENTRE: LES ® ET LES

Cette fonction est paire. De plus, elle ne devient nt nulle n1 infinie pour aucune valeur finie de u, et se réduit à l'unité pour u = o.

En vertu des formules des n°° 1333 et 1538, on a VÜUROR), ep), dla ai} 2 eu), d’où l’on ture (D, logb{u+2K) —=2%1 + D,logb{u), | D,logÿ(u + aik') —2ia+ D,logÿ(u},

fo)

et par suite

(41) D'logd{u +2K)—D;logh{(u+ 2iK')=Dilogp(u).

La fonction ÿ(u) étant uniforme et continue pour toute valeur de «, il en sera de même des deux fonctions

Ÿ(u) ) OR) “heu I ulogb(u) — Ga PA ER TELE A T2 Del ae blu)h{u) [Y'(«)] ,

De plus, les égalités (41) expriment que la fonction D'logd(u) est doublement périodique, et, par conséquent, elle est encore finie Ê q ? P L pour u—= . Donc, d’après ce que nous avons démontré au n° 1137, elle se réduit à une constante.

On doit donc avoir, en intégrant,

D? logŸ(u) 4, D, logŸ{u) — au + b,

a et b étant deux constantes. Mais la fonction D,logd{u), étant la dérivée logarithmique d’une fonction paire, est elle-même une fonction impaire [288 |, et, par suite, la constante b est nulle.

On déterminera maintenant a en observant que, d’après les équations (40), aux accroissements 2K, 2:K’ de u correspondent les accroissements 2», 21n de D,logd{u), accroissements qui, en

vertu de l’équation D, logb{u) — au,

doivent être respectivement égaux à 2aK, 21aK’. De l’une ou de

l'autre de ces conditions on tire

oRK'° Donc

dog gylu) = Sue u du,

d’où, en intégrant et remarquant que d{o) = 1,

Tr?

b(u)= erkK,

Par conséquent,

Tr?

1340. IL existe une relation importante entre les fonctions O@ correspondantes aux modules complémentaires Æ et #. Si l’on change u en iu, k en K’, et par suite

À LT pren Er Sp er,

la fonction O,,,(u, k) deviendra [1332]

Fu cos à pe — (27 + sir |

OUR Eee Il

sen cos|#T—(ar+i— ji | 0 tue eo

Donc

ru?

RAM Ke, (u, k3);

formule qui permet de ramener les © d’argument imaginaire aux O d’argument réel, et vice versa.

DÉVELOPPEMENT DES PRODUITS INFINIS () EN SÉRIES TRIGONOMÉ- TRIQUES.— FONCTIONS +.

1341. La fonction O, ,(u) dépend de l’exponentielle

elle est uniforme et continue pour toute valeur de cette variable #, car elle reste finie pour toutes les valeurs de £ autres que celles qui rendent £ infini, et elle admet, comme £, la période 4K. Donc, en vertu du théorème de Laurent | 1148], cette fonction est développable, pour toutes les valeurs de £, depuis zéro jusqu’à l'infini, en une série infinie dans les deux sens, et procédant suivant les puissances entières, positives et négatives de £.

Nous avons vu [1333] que, lorsqu'on remplace u paru + 2K, t se changeant en — #, ®, ,(u) est multiplié par (— 1}, de sorte que l’on a

Ous(—t)=(—1)e,,(+ à)

Donc, siv = 0, O,, sera une fonction paire de £, et son développement ne contiendra que des puissances paires de cette variable; siy —1,©,, sera une fonction impaire, et son développement ne contiendra que des puissances impaires de &. La série sera donc généralement de la forme

+ © m2 2m+v)ix 6,,(u) = Ÿ Ge nt

Ce]

La fonction ®,,(u) étant réelle pour les valeurs réelles de x et de g, les coefficients a, et &a,,, correspondants à deux puissances égales et opposées de e*, devront être égaux entre eux en valeur absolue. |

Connaissant maintenant la forme du développement, il ne reste plus qu’à déterminer les coefficients, ce que nous pourrons faire par la méthode des coefficients indéterminés.

1342. Nous allons commencer par développer la fonction O,,, (u) H — Cours de Calc. infinit., IV. 15

226 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ v.

ou O,(u), et de son développement nous tirerons aisément les développements des trois autres, en nous appuyant sur les formules

des n° 1334 et 1335.

D'après ce que nous venons d'établir, le développement sera de

la forme + ©

O,(u) Dr ERNEES

Si l’on change w en u + 2iK’, on aura [1333] CNT OA Er CN PME

e DmMmix-—hW PRIE e?"tix—"mo

ou, en introduisant g = e-*#?,

> a qi e?(n—1)ix — DAS PEU4 e?ntix, En égalant de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de ei, on aura, en général,

sl — 2m ES 2 mn +1 Am+1 q => 2477 q 9 ou An+1 us An q ,

d’où l’on tire successivement

Gi = dj;

Hd CURE Li

Donc + æ \ O,(u) 4 DORE & TL Da cos2mx = LD 1

On a ensuite [1334, (16)], en changeant u en u+K, x

T en RAT 0

« ; Qlu\— —O,.{(u+K) = + — pq ermix (u) VE 3 | VÆ 2 }"q

“Eco

Zo D :