VALEURS

CORRRSPONDANTKS DE H

YALErnS CORRESPONDANTES DE

sin a

Les valeurs des rayons, pour un même surbaissement, sont proportionnelles aux ouvertures ; les valeurs des angles restent constantes pour un même surbaissement. Le tableau fait ressortir la rapidité avec laquelle croissent les rayons : ainsi pour le surbaissement de V7 le rayon est presque double de la demi-ouverture, et, pour le surbaissement de Vi2i il la dépasse près de 3 fois. .^

Pour les voûtes en ellipse, le tracé de la courbe d'intrados est fait, sur les dessins, par points au moyen de l'un des procédés connus, par exemple en marquant sur une bande de papier les longueurs des deux demi-axes, comptés à partir du même point, et en faisant mouvoir cette bande de telle sorte que les points qui limitent la différence de ces longueurs s'appliquent toujours sur les

Ellipses.

axes dans un même angle. On peut aussi employer la somme des axes, mais l'usage de la différence est plus commode, afin de ne pas être exposé à sortir de la limite des feuilles de dessin.

On peut également obtenir les points en calculant les ordonnées au moyen de l'équation de l'ellipse

C'est toujours par ce dernier mode que Ton trace la courbe sur l'épure en grand, parce que les autres procédés, à cause de l'obliquité des lignes employées, ne donneraient pas les points d'une manière aussi précise.

Il y a lieu de remarquer d'ailleurs que pour les voûtes dont les surbaissements sont exactements exprimés par les fractions Vs» V^ ^' Vs» Q^î sont à peu près les seules employées pour les ellipses, le calcul des ordonnées devient extrêmement simple, car leurs valeurs sont égales à celles des ordonnées d'un cercle, multipliées par un coefficient qui varie seulement avec le surbaissement. En effet, de l'équation générale de l'ellipse rappelée plus haut on tire :

b rz

y = — va*— ^V et par suite, pour les divers surbaissements, on a

Surbaissement de 1/3 ...•—== -;=■ y = . y/a» — x*

CL <> i^

1/4 ....—= — 2/ = -T Va' — ^'

i/i) ....— = ^ y = — va — -^^

Et comme \Ja^ — x^ est la valeur de l'ordonnée du cercle dont le diamètre serait égal au grand axe de l'ellipse, on voit qu'il suffit de multiplier les ordonnées de ce cercle par 2/5, 1/2, 2^5 et que l'on peut même préparer d'avance, très facilement, des tables dont on n'aura plus qu'à multiplier les résultats par l'ouverture de la voûte, pour obtenir de suite les ordonnées.

TRACÉ DES COURBES D'INTRADOS

Dans le cas de Tellipse à V4 le tracé sur un dessin devient extrêmement simple, puisqu'il suffit de décrire un demi-cercle au-dessus du grand axe de la voûte et de prendre la moitié de chacune des ordonnées de ce cercle.

Pour le tracé des normales, qu'il est très important de faire avec beaucoup d'exactitude, puisqu'elles donnent la direction des joints, on peut sur un dessin se borner à diviser en deux parties égales l'angle des rayons vecteurs, mais, sur l'épure en grand, cette division des angles serait difficile à faire exactement, et il est nécessaire de calculer directement la valeur de la sous-normale qui cori espond à chaque abscisse. 11 résulte des propriétés de l'ellipse qu'entre l'abscisse X d'un point M et la sous normale S=PN on a la relation :

Il suffît donc de calculer une seule fois ce rapport et de le multiplier par

valeur de x pour avoir immédiatement la valeur de la sous-normale.

la

Dans les ellipses surbaissées à ^/s, - = ^^ -4 = 0.444..,, et par conséquent la sous-normale X a pour valeur s = 0.444 x x.

De même, pour les ellipses à ^4, on trouve 5 = j a? = 0.25 XX.

Et pour les ellipses à Vo»

5 = ,lir = 0.16 XX.

-r-— --tr- >■.::-

On peut également obtenir la série des sous-normales par construction graphique : ainsi en prenant les points E et F tels que Ton ait