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il suffira de mener la ligne PH parallèle à EF pour que OH soit égal à la sous-normale du point M. La construction pour obtenir la direction des joints corres-

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pondant à la division des voussoirs se fait 1res rapidement, puisque après avoir abaissé les ordonnées MP, MT', M"P" de ces points, il suffit de mener par leurs pieds des parallèles à EF et de reporter ensuite, à partir des points F, F'. F", des longueurs FN, F'N', P"N" égales à OH, OH', OH". Mais cette construction ne donnerait pas des résultats suffisamment exacts sur l'épure en grand, et il est bien préférable d'employer les valeurs calculées des sous-normales.

Four vérifier la pose des voussoirs sur les cintres, pendant la construction, on emploie de grandes règles sur lesquelles on indique le pied même des sousnormales si la règle est posée à la hauteur des naissances, soit d'autres points également calculés d'avance, de leurs directions, si on trouve plus commode de placer la règle à une hauteur différente. Dans tous les cas, les divers points doivent être numérotés exactement sur la règle et sur le cintre, afin d'éviter toute confusion.

La longueur du développement d'une demi-ellipse est donnée, en fonction de l'excentricité (rapport entre la distance du centre au foyer et le demi grand axe) parla série :

Four les voûtes du pont de Chalonnes, surbaissées à V^ ot dont l'ouverture est de 30 mètres, la longueur réelle de l'intrados, mesurée avec beaucoup de

soin, a été trouvée égale à. 36™.370

Les trois premiers termes de la formule donnaient 36". 684

Et c'est seulement en employant huit termes qu'on est arrivé à. . . 36".371

Cet exemple prouve, que pour des arches analogues, les calculs doivent être poussés assez loin; mais le temps qu'on y passe n'est rien, eu égard à la durée du travail lui-même, et, par suite» il importe peu d'y employer quelques heures de plus ou de moins. Il en est de même des épures, auxquelles on reprochait autrefois de prendre trop de temps pour des voûtes elliptiques, et l'objection d'exiger des panneaux différents pour la taille de tous les voussoirs n'est pas plus fondée, attendu d'une part que des panneaux différents sont également

TRACÉ DES COURBES D'INTRADOS

nécessaires, même dans les pleins cintres, toutes les fois qu'ils ne sont pas extradossés parallèlement, et d'autre part que la dépense de ces panneaux est tout à fait insignifiante, en regard de celle de la construction d'une seule voûte.

Les anses de panier, qui étaient précédemment employées au lieu des ellipses, sont tracées au moyen d'arcs de cercle dont les rayons vont en augmentant depuis les naissances jusqu'à la clef : la loi suivant laquelle croissent ces rayons, varie avec les diverses méthodes employées, mais dans tous les cas on doit chercher à obtenir autant que possible une courbe régulière et à éviter qu'elle ne présente des jarrets aux points de contact des divers arcs.

Pour des voûtes symétriques de part et d'autre de l'axe, et qui ne présentent pas d'angle au sommet, telles qu'on les emploie presque toujours, le nombre de centres est nécessairement impair, et si n représente ce nombre, celui des rayons différents est ^-^ .

Les anses de panier à trois centres sont les plus simples, mais elles ne peuvent être employées que pour des surbaissements très faibles, car autrement les jarrets sont très sensibles.

Le mode de tracé le plus naturel (3) est celui dans lequel on se donne arbitrairement le premier rayon AE : on reporte la longueur de ce rayon du sommet C en E' et on joint EE' : on élève sur le milieu de celte ligne une perpendiculaire FD qui vient couper en D l'axe vertical, et D sera le centre de l'axe supérieur. En effet, par suite de cette construction, les deux lignes DM et CD seront égales entre elles et ME sera aussi égal à CE', c'est-à-dire au premier rayon AE.

On peut profiter de l'indétermination pour établir ^ntre les deux rayons certaines relations. Ainsi, Bossut s'est proposé de réduire au minimum le rapport des deux rayons : dans ce but son tracé (4), reproduit dans un grand nombre de constructions, à cause de sa simplicité, consiste à tracer la corde CB, à en retrancher la différence des deux demi-axes CC, et à élever sur le milieu de C'B une perpendiculaire GD : les rayons sont DC et FB.

Anses de panier.

D'après la méthode de Huyghens (5), les trois arcs doivent comprendre des arcs égaux de GO"* chacun, et à cet effet on trace une circonférence sur le grand axe, on la divise en trois parties égales, on trace les cordes BE et EF ; on mène par le point C une parallèle à EF, et, par le point m, intersection de cette pai^allèle

avec la corde BE, on trace la ligne m D parallèlement au rayon OE ; on obtient ainsi les centres H et D, et les arcs tracés avec HB et DC pour rayons se rencontreront bien au point m, puisque les triangles HBm et DCm seront isocèles, ainsi que le sont leurs semblables OBE et OEF. Les ovales antiques (e) étaient tracés par un procédé analogue et constituaient

ainsi des com^bes formées de trois arcs de cercle, seulement l'angle correspondant à l'arc supérieur était tracé de telle sorte que les rayons fussent inclinés à 2 pour 1 sur la verticale, et qu'ainsi 01 fut égal à 2 IJ, ce qui donnait à cet angle une valeur ^ de 53^ environ.

Au reste la méthode de Huyghens est tout à fait

indépendante de l'angle et subsiste toutes les fois

que le point m de la figure (5) est obtenu en menant

une ligne parallèle à la corde EF du cercle et que

la direction du rayon mD est prise parallèlement à celle du rayon OE du cercle.

Seulement ce mode de construction ne peut donner que deux rayons, de sorte

que si Fanse de panier doit avoir n centres, les rayons seront au nombre de

TRACÉ DES COURBES D'INTRADOS. 307

^^1^ et la quantité de ceux qui resteront indéterminés sera ^^- 2 = ^^-b^-

Plusieurs Ingénieurs ont cherché à disposer de ces rayons indéterminés de manière à satisfaire à diverses conditions. Ainsi M. Michal, dans les Annales de 4831 , a donné des tableaux d'après lesquels tous les rayons sont supposés faire entre eux des angles égaux, et d'autres d'après lesquels tous les arcs de la courbe auraient des valeurs sensiblement égales. Les feuilles de M. Morandière donnent des exemples de courbes à 5, 7 et 9 centres, calculées dans ces conditions. Ces courbes diffèrent très peu de l'ellipse, car précisément M. Michal s'était proposé de régler la valeur des rayons de telle sorte que chacun d'eux fût égal au rayon de courbure qui, dans l'ellipse correspondante, partagerait en deux parties égales chacun des arcs de l'anse de panier.

M. Lerouge, dans les AîinaJes de 1839, a exposé une méthode générale d'après laquelle il a cherché une courbe dont les rayons eussent des variations très graduelles, afin que la courbure s'écartât peu de celle de l'ellipse; dans ce but il a adopté une progression arithmétique, pour les longueurs successives des rayons et s'est imposé la loi d'avoir des angles égaux compris entre ces divers rayons : de plus, il a tenu à ce que la différence des rayons ne dépassât jamais la longueur du rayon le plus petit. Les tables qu'il a calculées d'après ces bases ont montré que le nombre de centres devait augmenter rapidement avec le surbaissement.

Ainsi, d'après la méthode de M. Lerouge, on devait adopter

5 centres lorsque le surbaissement est inférieur n O'^.SS

5 centres — — 0".35

7 centres — — 0™.33

9 centres — — 0°>.32

11 centres — — O^.Sl

15 centres — — O-^.SO

D'après ces bases il faudrait un nombre de rayons encore plus grand pour le surbaissement de Y^ =0.25, qui est cependant très ordinaire, et ce nombre deviendrait énorme pour le surbaissement de Vs- H en résulte évidemment que si on veut adopter des anses de panier, il y a lieu de renoncer à des conditions aussi rigoureuses, et en résumé, qu'au lieu de chercher à se rapprocher de

Tellipse par des procédés si compliqués, il vaut mieux Tadopter franchement, ce qui sera d'un meilleur effet et certainement plus simple dans Tapplication. Le tracé indiqué dans Tancienne collection lithographique, pour les anses de de panier à 5 centres, est encore un des plus commodes, parce qu'il laisse libre de faire varier les rayons comme chaque Ingénieur le juge préférable. Ainsi, en supposant le problème résolu et en désignant par R, R' et r les trois (?) rayons nD, mH et AE, on voit que l'on doit avoir :