DH = R-R

EH = R'--r.

de sorte que DH-hEH=R - r.

Si l'on suppose que Ton s'est donné d'avance les deux rayons extrêmes, R — r devient un nombre constant, et par suite le point H se trouve placé sur

une ellipse dont les points E et D (qui sont déterminés dès que l'on connaît R et r) seraient les foyers. Le rayon R' reste indéterminé et on peut en disposer à volonté, pourvu qu'il soit compris entre R et r. Si, par exemple, on veut que ce rayon soit égal à une certaine longueur K, on porte successivement celte longueur de C en I et de B en 1', de sorte que l'on a DI =R - R' et ET=R' — r : on décrit alors (o avec ces deux dernières lignes comme rayons,

et en prenant pour centres les points D et E', deux arcs de cercle qui se rencontrent en H' ; ce dernier point est le centre cherché pour le rayon intermédiaire. Ainsi, quelquefois on se propose d'avoir un rayon intermédiaire formant la moyenne proportionnelle entre les deux rayons extrêmes, il suffît de poser R'=y/Rr et de faire la construction précédente.

L'avantage de cette méthode est que, disposant des deux rayons extrêmes d'une manière tout à fait arbitraire, on peut en profiter pour donner au petit rayon une valeur plus grande que celle du rayon de courbure de l'ellipse correspondante, afin d'accroître un peu le débouché, et que, d'un autre côté, on peut

TRACÉ DES COURBES D'INTRADOS

donner au grand rayon une valeur plus petite que celle du rayon de courbure de la même ellipse à son sommet, afin d'augmenter Tinclinaison des plans de joint de la clef et de la rendre ainsi plus stable. On peut également arriver à des résultats analogues au moyen de la méthode de Huyghens. 11 est évident, d'ailleurs, que si on veut employer l'anse de panier au lieu de l'ellipse, il faut qu'on y trouve quelques avantages sous le rapport du débouché et de la stabilité, car autrement la courbe la plus régulière doit évidemment être préférée.

Mais en réalité ces avantages sont, à notre avis, presque illusoires, et l'exemple de la courbe du pont de Neuilly, qui est certainement une des plus belles anses de panier que l'on ait jamais exécutées, va nous en offrir un nouvel exemple.

Cette courbe a 39 mètres d'ouverture et est surbaissée au quart. Perronet l'a tracée au moyen de 11 centres, et il a déterminé la valeur des rayons de la manière suivante (8).

Il s'est donné arbitrairement le premier rayon Ami, il a divisé le reste m\ o de la demi-ouverture en 5 parties proportionnelles aux nombres 1, 2, 3, 4 et 5. 11 a pris ensuite oD égal à 5mfi et il a divisé cette ligne en 5 parties égales aux poinls a^ ag, as et a^. Il a joint rrii avec a^, m^ avec a^, etc., et obtenu ainsi des lignes dont les intersections lui ont donné les centres 2, 3, 4, 5 et D.

La courbe tracée avec le premier rayon Am, et continuée ensuite avec des arcs décrits des divers centres, n'aurait pu arriver au sommet C que par hasard, et, en réalité, elle est arrivée plus haut en C, mais on peut en déduire les valeurs des rayons pour la courbe

réelle. En effet, si dans la courbe auxiliaire on pose Owi=n, OD=m et si l'on appelle S le développement du polygone m,, 2, 3, 4, 5, D, les lignes analogues dans la courbe définitive seront :

z = développement du polygone 046,65640511

Et en appelant a la demi-ouverture Ox\ et b la flèche réelle OC, on aura :

puisque le grand rayon doit être égal au plus petit, augmenté de la somme. des différences entre les rayons successifs. Si Ton pose en outre les proportions

d'où

mx

y wi

d'où

.s.r îi

on obtiendra, en substituant dans l'équation ci-dessus

SX 7UX .

xx — mx — nx = bn — na

wi -h n — s

Cette valeur de a? a permis de déterminer le point Gi de telle sorte que la courbe arrivât exactement au sommet C.

On a trouvé ainsi que, pour la courbe du pont de Neuilly, le premier rayon devait être de 6".50.

Or, maintenant, si l'on cherche le rayon de courbure à l'extrémité du grand axe d'une ellipse surbaissée au quart, pour laquelle 2a = 59 mètres, on sait que ce rayon a pour valeur — , ce qui devient -|- quand & = y- La valeur

du rayon de courbure serait donc ^^ . = 4'".87.

Ce rayon est donc notablement inférieur au plus petit rayon adopté pour l'anse de panier, mais il faut remarquer que celui-ci se maintient sur une certaine longueur, tandis que celui de l'ellipse augmente rapidement.

Par conséquent, comme l'ellipse ne diminue pas sensiblement le débouché, et comme elle constitue une courbe plus régulière que l'anse de panier, quel que

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soit le nombre de centres adopté pour celui-ci; comme, d'un autre côté, Texécution de l'ellipse ne présente pas les difficultés que l'on redoutait autrefois, et comme enfin, le csilcul des ordonnées est certainement plus simple, nous pensons que l'ellipse doit désormais être adoptée de préférence pour les constructions neuves. Les courbes du pont de Neuilly sont certainement d'un très bel effet, mais cet effet est dû principalement à l'ampleur des proportions et à l'ensemble des dispositions de l'ouvrage ; il y a donc tout lieu de croire que des voûtes en ellipse, si elles avaient été projetées et exécutées pour ce pont par Perronet, auraient produit un effet au moins aussi satisfaisant.

L'emploi des anses de panier a donné lieu, de la part de nos devanciers, à beaucoup de recherches, et les a amenés à découvrir un certain nombre de procédés ingénieux dont nous venons de relater quelques-uns : il est utile de les connaître, ne fût-ce que pour pouvoir réparer et reconstruire les ponts établis précédemment, mais l'ellipse dont l'usage est maintenant passé dans la pratique est, à notre avis, la courbe qui doit être employée à l'avenir d'une manière presque exclusive, de préférence aux anses de panier.

Les ellipses ou anses de panier que l'on emploie pour voûtes surhaussées couvi^es

dans les ouvrages destinés à supporter des charges considérables, sont tracées '^' '°'^*®* surhaussées. exactement comme pour les voûtes surbaissées ; seulement, le grand axe y est placé verticalement au lieu d'être horizontal.

Les ogives sont fréquemment tracées de manière à circonscrire un triangle

équilatéral (9), de telle sorte que chacun des deux arcs a pour centre la naissance de l'arc opposé : ainsi l'arc AMC a pour centre le point B, l'arc BNC a pour centre le point A, et les trois côlés du triangle ABC sont égaux entre eux. En architec-

ture on emploie souvent aussi des ogives en tiers-point ou en quinte-point. Pour la prenoiière de celles-ci (ii) on divise la base en trois parties égales et on prend pour centres les points de division E et F. Pour la dernière on divise la base en cinq parties égales et on prend pour centres les deux divisions extrêmes E et H(io). Ainsi, pour une ouverture donnée, l'ogive en tiers-point est celle dont le sommet est le moins élevé, puis vient l'ogive en quinte-point et enfin l'ogive basée sur le triangle équilatéral. Cette dernière étant à la fois la plus favorablement disposée pour supporter une charge et celle dont la forme est le mieux accusée, doit être adoptée de préférence pour les voûtes de ponts, lorsqu'on croit devoir employer la forme ogivale. On donne aussi quelquefois à c^tte forme le nom d'arc en tiers-point, mais cette dénomination doit être réservée de préférence pour la courbe (ii).

Courbe

du pont de la Trinité

à Florence.

Les arches du pont de la Trinité, à Florence, ont été tracées avec une courbe spéciale, qui participe à la fois de l'ellipse et de l'ogive. L'ouverture de ce pont est de 29".19 et la flèche de 4".57- A la suite de nombreuses recherches sur le tracé de cette courbe, dont l'épure primitive n'a pas été conservée, on est arrivé à la reproduire de la manière suivante :

On divise la demi-corde en huit parties égales : l'une d'elles forme le premier rayon, qui correspond à un angle de 60** : le sommet du triangle équilatéral DBE, construit sur le reste de la demi -corde, donne le deuxième centre E. Pour avoir le troisième, on mène par la division 3 et par le point E une ligne que Ton prolonge jusqu'en N, de telle sorte que la ligne EN soit égale à 21 fois la longueur d'une des divisions de AB. 11 en résulte que le troisième centre se trouve de l'autre

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côté de la verticale, que par conséquent la courbe est construite avec six centres et qu'elle présente un angle au sommet.

M. l'ingénieur Malibran, qui avait rapporté de sa mission en Italie le dessin exact du pont de la Trinité, a fait construire en 1869, pour le chemin de fer de Limours, sur le boulevard du Transit, à Paris, un pont (13) dont la voûte est formée de deux portions d'ellipse dont l'ensemble reproduit à très peu près la courbe employée à Florence. Toutefois, l'angle au sommet est moins accusé et le tracé du pont de la Trinité, qu'il serait d'ailleurs facile de simplifier un peu, devrait être conservé de préférence pour des ponts (13)

de ce genre. Cette forme conviendrait rarement sur un cours d'eau, parce qu'elle donne encore moins de débouché que l'ellipse réelle, mais elle pourrait quelquefois être adoptée pour des ponts au-dessus de routes et de chemins de fer, pourvu toutefois que l'on pût disposer d'une hauteur supérieure au minimum, car dans ce cas encore l'ellipse ordinaire vaudrait mieux. Son emploi resterait donc toujours fort limité dans nos constructions.

M. l'Ingénieur Dieuiafoy vient de rapporter, de son voyage en Orient, le tracé de l'ogive persane, dont la courbe est également à quatre centres, mais bien moins surbaissée que celle du pont de la Trinité. Ce tracé est obtenu de la manière suivante:

Dans le rectangle ABCD (14) on a : AO=AC = ^- On prend successivement

AO ÂO

G0 = AE = 0H = FB =^; 0I=:0J=iy:..