VI

cienne démonstration, pour la mettre en rapport avec les méthodes actuelles. Gonmie tout est symétrique, il suffit de considérer une demi-voûte (12).

Soient mn le joint de rupture, P la poussée produite par l'autre demi-voûte, g et g' les centres 1 de './ gravité des deux parties du massif, dont les poids sont qpil^; les forces qui agissent sur la partie supérieure devront se faire équilibre autour du point m, et on aura donc :

bq = Py, d'où

fj '3

La partie inférieure de la voûte et son piédroit doivent également être en équilibre sous l'action du poids q' et de la résultante de P et de 5, qui passe par le point de rotation m : cette résultante peut être décomposée sur ce point en P et q^ de sorte qu'on aura pour équation d'équilibre du solide inférieur :

Pour la stabilité, il faudra que l'on ait :

q'b' -f- nx' > bq-X ^ .

En ajoutant &q à chaque membre, l'inégalité subsiste et on a :

,^'i'H.^(6+^')>6,y(^iLtll).

Comme on a déjà ^ = V ei comme on peut d'ailleurs poser BQ = r/&'H- q {b-hx), en désignant par B, H et Q les quantités qui s'appliquent à l'ensemble du massif, il vient :

m>bqxj

ou

BQ>PH,

(^e qui constitue la condition de; stabilité pour résistance au renversement.

Cette inégalité peut également être présentée sous la forme d'une diffé-

rence

BQ — bqXj

OU

Vu h )

Et comme le premier terme de cette expression est constant, pour une voûte donnée ; comme, d*un autre côté, la valeur qui représente la stabilité sera d*autant plus faible que le dernier terme sera plus grand, on voit que le joint de rupture, auquel s'applique évidemment la moindre stabilité, correspond au point où le terme négatif-^ atteint son maximum.

D'où Ton déduit cette règle importante, qui est prise pour base des épures ou des calculs relatifs à la résistance d'une voûte :

Le joint de rupture est celui pour lequel la valeur de la composante horizontale des pressions atteint son maximum et constitue dès lors la poussée.

L'inégalité simplifiée BQ > PH peut être obtenue directement en considérant coefficient de stabnué. l'ensemble du massif, et c'est ainsi que Ton procède dans la pratique pour se rendre immédiatement compte s'il y a résistance au renversement ; toutefois, comme il ne s'agit plus seulement d'équilibre, mais bien de stabilité, il faut avoir soin de placer au Vo supérieur du joint à la clef le point d'application de la poussée, ainsi que l'admettent généralement tous les auteurs (13). En outre, pour que l'on puisse apprécier réellement les conditions de résistance, il y a lieu de considérer non plus une différence constante entre les moments BQ et PH, attendu que cette différence serait trop forte pour les petites arches, et trop faible pour les grandes, mais bien un rapport qui peut sans aucun inconvénient rester constant. Par suite, en désignant par C ce rapport ou coefficient, on a :

BQ = CPH.

Telle est, dans sa forme la plus simple, l'équalion de stabilité d'une arche pour résistance au renversement.

412 FOllMES ET STABILITÉ DES VOUTES.

La valeur du coefficient C varie, suivant les divers auteurs, de 1 .20 à 2.00, en ce qui concerne les culées. Ainsi dans le Mémorial du génie militaire on admet d .40; M. Morandière indique 1.60 à 1.80, et c'est la valeur de 1.50 qui paraît devoir être adoptée de préférence. Quant aux piles, on peut admettre sans danger le coefficient 1 , parce que, sauf dans des circonstances tout à fait exceptionnelles, le mortier est devenu très dur avant qu'une arche soit exposée à tomber, et on peut même, dans certains cas, descendre jusqu'à 0.80, comme nous l'expliquerons plus loin.

Pour les applications données dans le Traité de M. Morandière, cet éminent Ingénieur a pris comme point de rotation à la base, non plus l'arête extérieure de la culée, mais un point situé à 0".50 à l'intérieur de cette arête, en se basant sur ce que, si la rotation avait réellement lieu à l'angle de la culée, la pierre s'y écraserait inévitablement. L'observation serait parfaitement juste si la formule ne contenait pas de coefficient de stabilité, mais dès qu'on en admet un, la résultante des forces qui agissent sur la voûte est nécessairement ramenée à rintérieur d'une quantité telle, que le point où cette résultante traverse la base de la culée, tombe à une distance de l'arête qui dépasse beaucoup les 0".é>0 admis dans les calculs du Traité : il y a donc une sorte de double emploi à adopter un coefficient de stabilité et à prendre les moments par rapport à un point situé à l'intérieur de la base.

Position La valeur de la poussée P ne peut être connue exactement que lorsqu'on a

du joint de ruplurc. ,». -ii..- ■ ■% bq . . . , *aj

détermmé le jomt pour lequel -^ est un maximum ; mais pour les voûtes de dimensions ordinaires, cette position varie peu et on admet généralement que les angles formés avec l'horizontale, par le prolongement de ce joint, ont les valeurs ci-après :

Pour le plein cintre 30"

Pour l'ellipse surbaissée à Va ^5"

Pour l'arc de cercle surbaissé à Vs 4-7°

Pour l'arc de cercle surbaissé au delà de ^5 > 47**

En réalité, et ainsi que nous le verrons plus tard, la position du joint de ruptitfe varie d'une manière notable avec l'ouverture et avec la surchai^e, en ce qui concerne les pleins cintres; toutefois, les différences ne deviennent importantes qu'avec des ouvertures dépassant 30 mètres. Pour les ellipses, la variation est beaucoup plus faible. En ce qui concerne les arcs de cercle, les différences sont très sensibles, puisque à partir du surbaissement de '/s, l'angle s'accroît rapidement à mesure que le surbaissement augmente.

Enfin, d'une manière générale, pour les pleins cintres et les ellipses, d'une même ouverture, la valeur de la poussée varie peu de part et d'autre du maximum, car si le joint de rupture se relève et tend ainsi, par son inclinaison, à augmenter la composante horizontale qui représente la poussée, le poids de la partie de voûte au-dessus de ce joint diminue en môme temps, ce qui établit une sorte de compensation. On peut donc sans inconvénient, lorsqu'il s'agit seulement de calculs approximatifs, prendre pour bases les valeurs d'angles signalées plus haut.

M. l'Inspecteur général Morandière, à la suite de la guerre de 1870, a fait obMrwuon. wiei calculer, d'après les bases ci-dessus mentionnées, les coefficients de slabilité pendant i« piem." de plusieurs arches délruites, par des motifs stratégiques, et donne dans son Traité des renseignements d'un grand intérêt sur la manière dont ces arches se sont comportées; nous les résumons ci-après :

Au pont de Monllouis sur la Loire (u), la première voûte a été renversée par l'action d'une mine. La pile adjacente a résisté, bien que son coefficient de . stabilité fût seulement 0.96, et l'angle de rupture a été de 57", ce qui prouve combien les maçonneries étaient bonnes. Les voûtes de ce pont ont 24". 75

d'ouverture et sont en anse de panier surbaissée à V5.5 environ ; l'angle de rupture théorique serait d'à peu près 47".

Pour le pont de Plessis-lès-Tours, sur la Loire (15), où le coefficient de stabilité des piles est seulement de 0.81, les piles comprenant la deuxième arche se sont

d'abord maintenues quand on a fait sauter cette arche; mais la deuxième prie s'est écroulée quelques jours plus tard avec la troisième arche, lorsqu'à la suite d'une crue le niveau des eaux s'est abaissé; il en résulte que les piles

■■'^«^^sîraïgîPic^îr^

étaient juste à la limite d'épaisseur pour résister à la poussée, après 10 ans de

construction : les voûtes de décharge construites au-dessus des piles ont dû,

par leur poussée, contribuer à la chute. Le pont de Cinq-Mars (le), également sur la Loire, est constitué avec des

arches moins grandes et des piles plus épaisses que celui de Plessis- lès-Tours. Le coefficient de stabilité atteignait 1.24au lieu deO. 81, et naturellement les piles ont parfaitement résisté. La rupture de la voûte s'est effectuée d'un côté à l'angle théorique de 45", de l'autre à 51° environ.

Au pont de Vendôme, sur le Loir (n), dont les arches ont une ouverture de 18 mètres seulement, les piles ont également très bien résisté et

l'angle de rupture a atteint, sur l'un des côtés de l'arche détruite, la valeur de

66°, ce qui constitue un résultat très remarquable.

Le pont sur l'Huisne, au Mans (is), est formé de voûtes en arc de cercle surbaissées à '/« et le coefficient de stabilité de ses piles était de 0.62 seulement. La voûte minée est

tombée jusqu'à Taplomb des ,

piles, mais celles-ci ont par- l

faitement résisté , malgré la

grande poussée qu'auraient i

produite les arches adjacen- '

tes si le mortier n'avait pas été de qualité exceptionnelle.

Enfin, à Châteaudun, pour un pont à culées perdues servant au passage d'une route au-dessous du chemin de fer de Paris à Tours par Vendôme (lo), lorsqu'on a fait

sauter la voûte vers la clef, les culées se sont un, peu rapprochées, mais elles se sont comportées comme des monolithes et l'inflexion totale, au milieu du pont, a été seulement de 0"*. 10. I^s angles de rupture ont atteint 61" et 64", plus du doid)le de la valeur admise ordinairement dans les calculs. Ces résultats, très remarquables, sont dus à la cohésion provenant de la bonne exécution des maçonneries, de Texcellente qualité des mortiers et enfin du délai de quatre ans au moins qui s'était écoulé depuis la construction. Us doivent donner confiance pour l'avenir et justifient largement l'adoption du coefficient \ pour la détermination de l'épaisseur des piles. Mais on ne peut rien en conclure pour les effets qui se produisent au moment même de la construction ou peu de temps après : la position des angles de rupture doit donc être fixée, alors, d'après le maximiun de valeur de la poussée, et il convient de négliger tout à fait la cohésion dans les calculs de stabilité.

Ce mot de cohésion s'applique en général à la force qui relie entre elles deux cohésion « «dhéi^oce. parties d'un même massif, mais quand on veut préciser, il faut distinguer la

cohésion proprement dite, qui s'exerce dans une substance homogène, de l'adhérence, qui se produit entre deux substances différentes. Ainsi, dans un prisme de mortier que Ton cherche à rompre, il faut vaincre la cohésion, tandis que le mortier qui recouvre une pierre est seulement relié à elle par l'adhérence.

On admet que la cohésion et l'adhérence sont proportionnelles à l'étendue des surfaces en contact, mais leurs valeurs varient beaucoup, suivant la nature des pierres et celle du mortier. Ainsi, d'après des expériences de Rondelet, ces valeurs, en ce qui concerne des matériaux de diverses natures reliés entre eux par du mortier ordinaire ou du plâtre, seraient par mètre superficiel, après six mois de dessiccation :

Mortier. Plâtre.

Pierre de laille 12,000 21,000

Meulière 20,000 51,000

Briques 23,000 33,000

Ces expériences ont fait constater, en outre, que lorsqu'on arrivait à séparer deux pierres reliées par du mortier, la rupture divisait presque toujours la couche de mortier, tandis qu'avec le plâtre, la séparation se faisait entre l'enduit et une des pierres voisines. De sorte que, dans le premier cas, on avait réellement à vaincre la cohésion et dans le second l'adhérence. D'un autre côté, la résistance du plâtre diminue avec le temps, tandis que celle du mortier augmente et par conséquent, après quelques années, les résultats comparatifs seraient en sens inverse. 11 faut remarquer aussi que les chiffres donnés par Rondelet s'appliquent à du mortier ordinaire et qu'on en obtiendrait certainement de beaucoup plus élevés avec nos bons mortiers hydrauliques ; d'ailleurs, dans ce dernier cas, on serait loin d'avoir besoin du délai de six mois pour arriver à une résistance considérable. Enfin, avec les ciments, dont on fait actuellement tant d'usage, les résultats présenteraient encore des différences beaucoup plus grandes.

Les effets de la cohésion et de l'adhérence sont donc éminemment variables et, dans la plupart dçs cas, leur valeur est presque nulle pendant la construction, c'est-à-dire au moment mAme où certaines parties de la voûte se trouvent avoir

à supporter de très grands efforts. Il est donc prudent de faire abstraction de ces effets dans les calculs. On peut seulement y avoir égard dans une certaine mesure, pour les charges qui viennent ultérieurement augmenter la poussée, et c'est également par une considération du même ordre que Ton est conduit à se contenter, pour les piles, des dimensions qui établissent Téquilibre au lieu de se donner dès l'origine une stabilité bien certaine, comme on le fait pour les culées.

Le frottement est au contraire un élément que l'on ne peut pas négliger, car Résistance sans lui aucune voûte ne tiendrait. Ainsi, par exemple, comme la poussée est une force horizontale, elle aurait nécessairement pour effet de faire glisser sur les joints horizontaux, aux naissances, les deux moitiés d'une voûte en plein cintre ou en ellipse. Ce qui se produirait dans ce cas, aux naissances, peut se présenter dans d'autres voûtes pour des joints différents. Il faut donc toujours s'assurer si la résistance due au frottement suffit, dans chaque exemple, pour empêcher les. diverses parties d'une voûte et de ses pieds-droits de glisser les unes sur les autres.

A cet effet il faut considérer que les pressions exercées sur les joints, par les résultantes successives de la poussée et des poids des parties supérieures, peuvent être décomposées en deux forces, l'une suivaut la ligne même du joint et l'autre suivant la normale. Ainsi, en admettant (20) que la résultante R des pressions produites sur le joint n;i' soit représentée en grandeur par la ligne ma, elle aura pour composantes m&, suivant la direction du joint, et me suivant la normale. La première, qui tend à faire glisser les maçonneries supérieures sur le joint, devra être détruite par le frottement dont la valeur est me x ?, ç étant le coefficient de frottement entre deux massifs de maçonnerie. Pour que le glissement ne se produise pas, il faut donc que l'on ait :

mb<mcXff, d OU <? et tg. «<f,

En d'autres termes, il faut que la résultante coupe le joint sous un angle (90 -a), plus grand que le complément de l'angle de frottement des maçonneries;

Pour des maçonneries construites avec des pierres froides, telles que le granit et le grès, lorsque les surfaces en sont bien lisses et que Ton emploie du mortier frais, la valeur de ç peut, ainsi que nous l'avons constaté par expérience, descendre jusqu'à 0.27, ce qui correspond à un angle de 15*; mais lorsque le mortier a pris une certaine consistance, ainsi qu'il doit l'avoir lors du décintrement, la valeur de <p arrive facilement à 0.50 et correspond par suite à un angle, de 27^ Ce dernier angle est donc la limite qu'il convient de prendre pour apprécier si les parties supérieures d'une voûte peuvent glisser sur un joint et, par conséquent, la condition à remplir pour la résistance au glissement est que, pour aucun des joints, la résultante ne fasse avec la direction de ce joint un angle plus petit que 63** («).

Cette condition est ordinairement remplie pour les voûtes dans lesquelles les joints sont tracés normalement à la courbe d'inrados, mais néanmoins elle peut cesser de l'être, avec certaines dimensions ou certaines surcharges, et par suite il importe de mesurer les angles les plus aigus, formés entre les résultantes des pressions et les directions des joints, afin de s'assurer qu'aucun d'eux ne descend au-dessous de la limite.

Le môme examen doit être fait pour les pieds-droits et on reconnaît ainsi combien, dans les culées des voûtes en arc de cercle, il est indispensable d'éviter les assises horizontales ou, tout au moins, d'avoir soin que dans l'intérieur du massif, les matériaux soient assez bien enchevêtrés pour rendre impossible tout glissement.

(a) Les valeurs de 9 et celles correspondantes de Tangle de glissement, sont d'après des Ingénieurs très

compétents :

Perronet 0.83 à 0.81 40» à 39'

Boistard 0.76 50*

Reynaud 0.58 26'

Rennie (granit sur mortier frais) 0.49 26**

Les valeurs dont nous recommandons l'adoption, sont sensiblement égales à celles données par M. Rennie, et il vaut mieux, dans les applications, prendie des chiffres plutôt faibles que forts, puisqu*il en résulte plus de sécurité.

On trouve dans les traités sur la résistance des matériaux et dans divers Résistance

^ , . à l'écrasement.

aide-memou^e, des tableaux qui font connaître la résistance à Técrasement d'un grand nombre de matériaux de construction de natures très diverses. Dans les applications, il importe de se reporter à ces tableaux, ainsi qu'aux résultats des expériences très étendues qui ont été faites par MM, les Ingénieurs en chef Michelot et de Perrodil. Mais comme résultats à retenir de mémoire et à prendre pour base de calculs approximatifs, on peut se contenter des suivants :

charge par centimètre carré produisant l'écrasement.

Kilogrammes.

Basalte 2,000

Granit très dur 600 à 700

Calcaire très dur 400 à 500

Calcaire dur ordinaire 150 à 200

Briques dures très cuites 1 50

Mortier très hydraulique 150

Mortier de ciment iOO à 500

Dans la pratique, on admet que les charges ne doivent pas dépasser Vio de celles qui produiraient Técrasement des pierres, mais, pour les voûtes d'un pont, comme la pression ne peut pas être également répartie sur la surface de chaque joint, on considère que si l'une des arêtes n'est pas chargée, l'autre doit l'être au double, et en conséquence il convient pour les voûtes, les culées et en général pour toutes les surfaces qui ne reçoivent pas une pression uniforme, que la charge par unité moyenne de surface ne dépasse pas V20 du poids qui produirait Técrasemenl .

Les maçonneries des ouvrages de dimensions moyennes ne sont pas, en général, soumises à des charges supérieures à 6 kilogrammes par centimètre carré.

Pour les grands ouvrages qui présentent des surfaces plus étendues et dans lesquels on peut espérer que les pressions se répartissent d'une manière plus uniforme, on est conduit à admettre de plus grandes charges par unité de surface et, d'une manière générale, ainsi que nous le verrons plus loin, on est obligé d'avoir recours à des pressions de plus en plus fortes, à mesure qu'aug-

mente la hauteur ou Tamplitude des arches de pont. Mais en général on évite de dépasser, pour la pression moyenne sur chaque joint, 40 à 12 kilogrammes par centimètre carré. Ainsi le tableau cité par M. Morandière (page 166 de son traité) mentionne comme pression maxima 12^78 au pont de Neuilly, ^5^46 au pont de la Trinité à Florence et 17 kilogrammes au pont de la Concorde à Paris : toutes les autres pressions citées dans ce tableau sont inférieures à 12 kilogrammes-

Toutefois, dans certains monuments civils, on est arrivé à des pressions beaucoup plus fortes, qui sont, d'après Ganlhey :

kilogr.

Piliers du dôme des Invalides, à Paris 14.76

— de Saint-Pierre de Rome i6. »

— de Saint-Paul, à Londres 19. »

Colonnes de Saint-Paul hors les mui*s, à Home 19.76

Piliers du dôme du Panthéon, à Paris 29 . 1 1

— de la tour de Saint-Merry, à Paris 29.11

Colonnes de Saint-Toussaint, à Angers 44.96

Certaines églises en Bretagne, notamment le Kreïsker, doivent présenter dans leurs tours en granit très évidées des pressions encore plus considérables.

Enfin, dans Tarche d'expérience de Souppes, la pression a été portée jusqu'à 45 kilogrammes environ, sans altération dans les pierres et le mortier de ciment, ce qui montre que Ton pourrait sans danger aller dans la construction des ponts beaucoup au delà des pressions habituellement admises.

Mais, en général, il convient de s'y maintenir, parce que les fortes pressions nécessitent des matériaux plus choisis, des mortiers plus énergiques et de plus grandes précautions dans l'exécution, de sorte qu'il en résulte toujours une augmentation notable dans les dépenses.

BésuiDé dos

En résumé, pour qu'une voûte soit stable, il faut qu'elle satisfasse aux trois '^''"teltL'ïnf ''"^ principales conditions suivantes :

V Que le coefficient de stabilité, pour résistance au mouvement, soit égal à 1.50 pour les culées et ai pour les piles.

2*" Qiie les joints de la voûte et de ses pieds-droits soient dirigés de telle sorte qu'il n'y ait pas de glissement.

3° Qu'enfin, en aueun point, la pression par unité de surface ne dépasse pas le Vio de la charge qui produirait Vécrasement, pour la nature de matériaux employés.

D'où il résulte que, lorsque la résultante des pressions ne passe pas par le milieu des joints, il est prudent de limiter à V20 de la charge d'écrasement la pression moyenne sur chacun de ces joints.

Telles sont les principales conditions généralement admises comme bases de la stabilité des voûtes.

V Principes généraux et procédés suivis pour la détermination des courbes.

La méthode précédemment exposée, pour faire apprécier d'une manière gêné- considérations. rnle la stabilité d'un pont, est d'une application extrêmement simple; mais elle préliminaires. ne tient pas compte de toutes les conditions nécessaires pour cette stabilité : elle ne fait connaître en effet ni la valeur des pressions exercées ni la manière dont elle se répartissent; enfin, on ne peut pas en déduire de règles convenablement motivées, sur les dimensions les plus avantageuses à adopter pour les diverses parties d'une voûte et de ses pieds-droits. Sous ce dernier rapport il faut, quand on prépare un projet de pont, non seulement s'assurer que les dimension générales sont suffisantes pour la stabilité de l'ouvrage, mais encore s'attacher à ce que les dimensions partielles ne soient exagérées sur aucun point, et qu'ainsi Ton n'apporte pas sans nécessité, dans certaines parties, un excédent de force dont l'introduction donnerait lieu à une dépense inutile. Évidemment, lorsqu'une voûte doit être construite sur toute son étendue avec

les mêmes matériaux, il serait irrationnel de lui donner des proportions telles que les pressions par unité de surface à la clef, aux reins et aux naissances, dussent présenter entre elles des différences notables. Ainsi, par exemple, pourquoi admettrait-on à la clef une pression de 8 kilogrammes par centimètre

carré, lorsque celle aux reins serait seulement de 6 et que celle aux naissances n'atteindrait que 4 kilogrammes? Dans ce cas, il conviendrait donc, ou bien d'augmenter l'épaisseur à la clef si la pression de 8 kilogrammes était jugée trop forte pour les matériaux dont on dispose, ou bien, au contraire, de réduire les dimensions aux reins et aux naissances, afin d'utiliser le plus possible la résistance de ces matériaux. Cette égalité de pression dans les diverses parties de l'ouvrage ne peut jamais être réalisée d'une manière absolue, mais on doit au moins chercher à s'en rapprocher le plus possible.

Dans ce but, il est nécessaire d'étudier d'abord avec soin comment se répartissent les pressions et comment on peut en déterminer l'intensité.

Nous nous bornerons, dans ces recherches, à considérer les trois catégories de voûtes, en berceau et à axe horizontal, qui sont principalement en usage pour les ponts, pleins cintres, arcs de cercle et ellipses : nous ne nous occuperons également, quant à présent, que des voûtes droites.

De plus, ainsi qu'on le fait généralement, nous admettrons que les voûtes sont symétriques et symétriquement chargées, par rapport à la clef, ce qui permet de restreindre à une demi-voûte et à son pied-droit les constructions ou calculs à faire ; nous considérerons aussi seulement, dans chaque exemple, une tranche verticale, prise parallèlement aux têtes et dont l'épaisseur est égale à l'unité, afin de n'avoir jamais à opérer qne sur des surfaces planes.

Répartition W ^^^^ avaut tout rappeler les règles admises pour la répartition de la pres-

sLmcs joints" sion sur l'étendue de chaque joint. A cet effet, on n'a évidemment à considérer

que la composante normale au joint, puisque l'autre tendrait seulement à produire un glissement entre les deux éléments du massif. Or, la pression totale exercée normalement sur un joint peut, suivant la position du point d*application de la force produisant cette pression, être représentée par un rectangle, un trapèze ou un triangle, et les pressions partielles aux différents

points du joint sont alors proportionnelles aux ordonnées de ces mêmes surfaces, ainsi qu'il suit :

1" Si la force R tombe au milieu du joint AB, la pression totale est représentée par l'aire du rectangle ABCD (i), la pression partielle p est uniforme sur toute la longueur du joint et on a par suite en chaque point :

2** Si la distance d du point d'application de la force R à l'arête B est comprise entre 72 1 et Vs h la pression totale est représentée par un trapèze dont le centre de gravité est sur IJ (2) : la prèssion en A du coté le plus éloigné de I est < -j et la pression en B du côté le plus rapproché de I

est

y. Mais elle reste nécessairement inférieure

à -7-, car autrement, puisque la figure est un trapèze et que AC conserve une certaine valeur, la superficie serait plus grande que R.

3** Si le point d'application de la force R se trouve placé au tiers de AB, la pression totale est représentée par le triangle ABD (3) : la pression

on

en A est nulle et la pression en B est égale à -p.

AUr:

'Al-

'hl

OV

ÎJ/.

ÎB

A^ Enfin, si la distance d est plus petite que V3 h 1^ pression n'agit plus que sur la partie KB du joint, Kl étant pris égal à 2 x IB (4) : la pression totale est représentée par le triangle KBD,

la pression en B dépasse -p, la pression en K est nulle et le joint tend à s'ouvrir de A en K.

Ainsi, en résumé, pour que toute la surface d'un joint puisse être utilisée

pour la pression, il faut que la résultante des forces qui exercent leur action audessus de ce joint, ne se rapproche pas de Tune des deux arêtes A et B, à moins du tiers de la dislance qui les sépare. Dès que celte condition n'est plus remplie, la pression, à Tarete voisine delà résultante, dépasse le double de la pression moyenne et elle va en augmentant avec une grande rapidité, à mesure que la résultante s'avance plus près de cette aréle.

Enfin, d'une manière générale, si on représente par x la distance du milieu du joint AB au point de passage de la résultante normale R, le maximum de valeur de la pression par unité de surface qui correspond à cette position de la résultante, est donné par les deux formules ci-après de M. Bresse :

;;, = — ( 1 H j- I quand y est compris entre 0 et i/6 ;

/;, = -y (-çT X T— \ quand — est compris entre 1/6 et 1/2,

En ce qui concerne pi le maximum a lieu, évidemment, quand y = Ve , ce

qui donne Pi = -p-

Pour pa les valeurs varient depuis -y- , limite supérieure de jh ? jusqu'à l'infini, qui correspond au cas où y = V2. c'est-à-dire où R passerait à l'arête du joint. Si on suppose seulement que cette résultante passe à demidistance entre le tiers du joint et l'arête, ce qui s'applique au cas où y = 2/6 , on aurait pour maximum de valeur de la pression

Pf = -r [^x

11 est facile de s'assurer, qu'en faisant croître graduellement la valeur de y à partir de zéro, on retombera successivement sur les résullats indiqués dans les croquis ci-dessus.

Dans un massif de maçonnerie divisé en voussoirs ou assises par plusieurs plans successifs, on désigne par œurbe de pression le lieu géométrique des points où chacun de ces plans est ti'aversé par la résultante des forces qui exercent leur action au-dessus de lui. Par suite, si, dans la figure (5), applicable à une demivoiite et à une partie de son piédroit, on représente par P la poussée horizontale, par q le poids des maçonneries et de leurs surcharges au-dessus d'un joint quelconque nn\ par g le centre de gravité du massif correspondant , et par m le point de la courbe de pression sur le joint, les lignes cK et mK seront proportionnelles à ry et à P, puisque le point m doit être situé sur la direction de la

résultante de ces forces. En prenant pour axes des coordonnées les lignes Ox et Oy et en désignant par d la distance du centre de gravité g à Taxe de la voûte, on aura donc :

Courbe générale de pression.

iju;

Telle est l'équation générale de la courbe de pression donnée par M. l'Inspecteur général Dupuit, dans son traité sur l'équilibre des voûtes.

Conservée sous sa fonne simple, cette équation peut être commodément utilisée pour rendre compte de certaines propriétés et même pour déterminer la position des joints de la courbe dans les piédroits. Mais pour les voûtes, si Ton remplaçait qetd par leurs valeurs en fonctions de la courbe d'intrados, de la courbe d'extrados et de la direction des joints, on arriverait à des expressions très compliquées, dont l'emploi serait difficile, et il est bien préférable de déterminer les points de la courbe de pression géométriquement, par la méthode de

M. Méry.

Courbe de pression dans les voûtes.

Il résulte des expériences faites et il est admis par tous les auteurs que,

dans le cas d'équilibre strict, la courbe de pression dans les voûtes est alternativement tangente à rextrados et à l'intrados (e et 7). Pour les formes de voûtes dont nous nous occupons, le premier de ces contacts se produit à la clef et le second au joint de rupture. Ce joint correspond au point de la voûte pour lequel la composante horizontale des pressions est un maximum, et c'est d'après cette base que l'on doit fixer sa position. Elle se trouve correspondre aux naissances , pour la plupart des voûtes en arc de cercle (e) et à peu près au milieu de la montée de la voûte, pour les courbes elliptiques et les pleins cintres (7). Ainsi, dans le cas d'équilibre strict, la courbe dépression peut être, quelle que soit la forme de l'arche, exactement déterminée. Mais, lorsque par suite de l'augmention des dimensions, on passe de

rétat d'équilibre strict à Tétat de stabilité permanente , le tracé de la courbe de pression cesse d'être déterminé : on conçoit, en effet, que suivant les conditions dans lesquelles cette stabilité sera réalisée, il puisse exister entre l'extrados et Tintrados une quantité de courbes de pressions différentes (s et 9). 11 faut considérer, d'ailleurs, que dans une même voûte la position de la courbe de pression est loin d'être fixe, car elle varie nécessairement avec les surcharges et surtout avec les différences de température; de sorte que, quand on parle de la courbe de pression d une voûte, on doit toujours entendre qu'il s'agit seulement de la courbe moyenne de

pression. C'est à celle-ci que s'appliquent les considérations qui vont suivre. Puisque, suivant les conditions où Ton pourra réaliser la stabilité, la courbe moyenne de pression peut prendre différentes positions, on est obligé de faire des hypothèses sur les points de passage de la courbe à la clef, ainsi qu'au joint de rupture, et c'est sur ces hypothèses que les auteurs cessent d'être d'accord.

En ce qui concerne la clef, la plupart d'entre eux admettent que le point de Posiuon passage de la courbe doit être fixé au tiers de l'épaisseur à partir du sommet; de pression à la cief. quelques-uns pensent que ce point doit être pris à une plus faible dislance de l'extrados; enfin M. Dupuit, dans son traité de l'équilibre des voûtes, établit que la courbe de pression devrait passer entre le tiers et la moitié de l'épaisseur à la clef, si le point de rotation était fixe et invariable, mais que comme celui-ci cède toujours un peu, la courbe de pression doit remonter vers le sommet de la clef sans pouvoir l'atteindre.

Il résulte de cette explication, que si le point de rotation restait fixe, c'està-dire s'il n'y avait pas de tassement, la courbe de pression passerait un peu au-dessous du tiers de l'épaisseur à la clef. Par conséquent, avec une bonne construction et des mortiers énergiques, on est parfaitement fondé à espérer que, même avec un léger tassement, la courbe de pression passera au tiers de l'épaisseur à la clef à partir du sommet, et le point ainsi déterminé peut être pris pour base dans le tracé de la courbe.

En ce qui concerne le joint de rupture, la plupart des auteurs, notamment M. l'Inspecteur général Reynaud, dans son traité d'architecture, admettent que le point de la courbe de pression doit être fixé au tiers de la longueur de ce joint à partir de la douelle ; d'autres sont d'avis qu'elle doit passer plus près de l'intrados; enfin, M. Dupuit pose en principe que la courbe de pression doit être tangente à la douelle au joint de rupture, ou que du moins, si elle s'en

Position de la courbe moyenne

de pression au point de nipture.

écarle un peu, c'est seulement par suite de la compression du mortier qui donne une certaine étendue à la surface de contact.

La dissidence à cet égard nous paraît provenir surtout de ce que l'on n'établit pas une distinction suffisante entre l'état d'équilibre strict et celui de stabilité permanente : pour ce dernier état et au moins dans le cas où il s'agit de l'ouvrage terminé, nous adoptons l'opinion la plus générale et nous pensons qu'il y a lieu de considérer la courbe de pression comme passant au tiers du joint de rupture à partir de l'intrados.

Nos principaux motifs à cet égard sont les suivants :

1* Puisqu'on admet que, par des soins de construction, on peut empêcher la courbe de pression de s'élever vers la clef à l'extrados, il n'existe pas de motif pour qu'avec des précautions de méine nature, on ne puisse pas empêcher la pression de descendre jusqu'à l'intrados au joint de rupture.

S"" On invoque l'ouverture de joint qui se produit ordinairement à l'extrados, au joint de rupture, pour en conclure que la rotation a lieu autour de l'arête d'intrados; mais lorsque cette ouverture n'existe pas, et on arrive en effet dans bien des cas à l'empêcher, notamment par un procédé dont M. l'Inspecteur général Kleitz a fait usage au pont de Tilsitt à Lyon, il est juste d'admettre qu'alors la courbe de pression ne passe pas plus bas que le tiers du joint.

3" Dans les ponts terminés, les joints ne s'ouvrent que dans des conditions extrêmes de température : il faut donc admettre que, dans les circonstances ordinaires, toute la surface du joint est utilisée pour la pression.

^ Enfin, dans l'hypothèse de M. Dupuit, une voûte sans mortier serait impossible, puisque la valeur de la pression serait infinie sur l'arête à l'intrados du joint de rupture et qu'alors la pierre s'écraserait nécessairement. Or, la plupart des grandes voûtes construites par les Romains sont sans mortier et les arêtes des voussoirs sont parfaitement conservées.

Ce dernier argument surtout est péremptoire et, en conséquence, on est fondé à admettre, dans les calculs, que pour une voûte présentant de bonnes conditions de stabilité, la courbe moyenne de pression passe au tiers de l'épaisseur de la clef à partir du sommet et au tiers du joint de rupture à partir de l'intrados; que si ces positions ne sont pas toujours atteintes lors du décintrement,

COURBKS DK PRESSION. 429

il faut au moins les regarder comme des limites vers lesquelles on doit tendre et dont on approche d'autant plus que la construction est mieux exécutée ; qu'enfin elles doivent toujours être réalisées dans les constructions terminées et que, par conséquent, c'est d'après ces positions qu'il faut tracer les courbes (le pressions destinées a servir de bases pour la fixation des épaisseurs à donner aux diverses parties des maçonneries.

Cette conclusion est confirmée par les résultats de nouvelles expériences Nouvelles expérience» effectuées, dans des proportions plus grandes et avec des précautions plus conformes à la pratique actuelle que celles de Boistard. Les voussoirs sont toujours posés sans mortier, mais on tient compte des conditions d'exécution des voûtes par des serrages plus ou moins forts, et c'est avec des appareils de précision que l'on mesure les tassements lors du décintrement, ainsi que la valeur des poussées horizontales dans diverses combinaisons de surcharges. Ces expériences, dont un compte rendu spécial sera publié ultérieurement, n'ont encore été appliquées qu'à une voûte en arc de cercle, surbaissée à Vio«, et à une voûte elliptique surbaissée à Vo, mais on en déduit dès à présent, en ce qui concerne la position des points de passage de la courbe de pression, des remarques importantes.

On a d'abord déterminé par le calcul, quelles seraient respectivement les valeurs de la poussée horizontale, dans diverses hypothèses, sur le passage de la courbe de pression : 1** A l'intrados de la clef et à l'extrados du joint de rupture {cas du maximum de poussée) ; 2** Exactement au milieu de la clef et du joint de rupture {cas du m^œimum de stabilité) ; 3** Au tiers supérieur de la clef et au tiers inférieur du joint de rupture {système Méry) ; 4" Au tiers inférieur de la clef et au tiers supérieur du joint de rupture {inverse du système Méry) ; 5' Enfin à l'extrados de la clef et à l'intrados du joint de rupture {cas du minimum de poussée).

Ces hypothèses ont été ensuite applicjuées successivement, sur les modèles de voûtes, au bandeau seul, au bandeau avec les tympans et à deux combinaisons diverses de surcharges. Pour chaque application, après avoir construit la voûte, en avoir opéré le décintrement et mesuré la poussée avec un appareil spécial

d'une grande précision, on a comparé celte valeur aux chiffres déterminés précédemment par le calcul et on en a déduit la position du point réel de passage de la courbe de pression au joint de rupture. Celte opération a été répétée avec les diverses combinaisons de charge, et on est arrivé à constater que les résultats observés différaient peu des résultats théoriques, et qu'en réglant convenablement le serrage, il était possible de déplacer le point de passage de la courbe de pression, de manière à le disposer dans les conditions les plus avantageuses.

Ces effets sont tout à fait analogues à ceux qui sont journellement constatés sur les ponts métalliques en arc pour lesquels, suivant les différences de température, les joints aux naissances se resserrent ou s'élargissent d'une manière très sensible, tantôt à l'inlrados, tantôt à Textrados, tandis qu'à la clef, des actions analogues se produisent en sens inverse.

En résumé, il résulte des nouvelles expériences, au moins jusqu'à présent, qu'avec des dimensions convenables et avec des soins d'exécution bien combinés, on peut arriver à placer les voûtes dans des conditions moyennes telles, que les courbes de pression ne se rapprochent jamais trop près des arêtes.

Détermination La poussée horizontalc, dont le point d'application doit être pris au tiers de

dp la)

poussée horizontale, l'épaisscur dc la clef à partir du sommet, ainsi que nous l'avons vu précédemment, a pour valeur celle de la composante horizontale de la pression au joint de rupture, et ce joint correspond précisément à la position pour laquelle cette composante est un maximum.

Par suile, lorsque l'on connaît, à priori, la position du joint de rupture, rien n'est plus facile que de déterminer la valeur de la poussée horizontale. Il suffît (il), après avoir tracé la verticale passant par le centre de gravité g, du massif supérieur au joint de rupture, ainsi que la résultante des pressions qui, d'après le paragraphe précédent, doit être dirigée de manière à passer au tiers du joint de rupture, de prendre, sur la verticale, une longueur ca, proportionnelle au poids du massif et de mener l'horizontale ab, dont la longueur représentera la composante horizontale de la pression et, par suite donnera la valeur de la poussée.

COUHBES DE PRESSION.

Mais en général, excepté pour les voûtes en arc de cercle dont le surbaissement dépasse Vs, la iwsilion du joint de rupture n'est pas connue d'avance et dès lors, pour la déterminer, il faut chercher par tâtonnement la position pour laquelle la valeur de a &, déterminée comme précé- ^*- — demment, est un maximum. Ce tâtonnement est assez long puisque, pour chaque essai, il faut calculer la surface et chercher le cen-

(lï)

tre de gravité de la partie de voûte située au-dessus du joint considéré. Il a en outre l'inconvénient de laisser une certaine incertitude sur la position du joint, parce que de

part et d'autre du maximum, les composantes horizontales de la pression varient très peu; mais, au fond, une détermination rigoureuse de cette position n'offre pas grande importance. L'essentiel est que la valeur de la poussée soit assez exacte, et on est sûr de s'en écarter peu, puisque ses variations sont très faibles aux abords du maximum. En outre, on peut faciliter la détermination de l'angle par une constniction analogue à celle de la figure (ii).

Elle consiste à tracer une courbe dont les abscisses représentent les différents angles essayés et dont les ordonnées sont proportionnelles aux composantes horizontales de pression. La forme de la courbe indique où doit se trouver le maximum. Ainsi , dans l'exemple ci-contre (12), il est évident que le maximum doit exister entre les angles 32" et 34" ; qu'il doit être plus près du premier que du second, et que la valeur de la composante qui lui correspond ne doit pas dépasser beaucoup celle de l'ordonnée qui précède; qu'enfin, d'après la courbe, cette valeur serait d'environ 23.7 et que l'angle de rupture serait, dans ce cas, sensiblement égal

Pour la plupart des voûtes en arc de cercle, l'angle du joint de rupture correspond toujours aux naissances ; il n'existe donc aucune incertitude dans la

position de ce joint et, par suite, la valeur de la poussée peut être obtenue immédiatement, avec la plus grande facilité.

Après avoir déterminé la position du joint de rupture et la valeur de la poussée horizontale, il reste à compléter le tracé de la courbe au moyen d*une quantité suffisante de points intermédiaires. Dans ce but, on suppose la voûte divisée en un certain nombre de voussoirs, plus grands que les voussoirs réels, afin de ne pas trop compliquer les constructions graphiques et en même temps assez multipliés pour que, dans chacun d'eux, les arcs des courbes d'intrados et d'extrados puissent sans erreurs sensibles être considérés comme des lignes droites. On admet, en outre, que chacun de ces voussoirs doit supporter la partie des tympans et de toutes les autres surcharges situées verticalement au-dessus de lui ; cette hypothèse est fondée sur ce que, lors des tassements de voûtes, les disjonctions des maçonneries des tympans s'opèrent ordinairement suivant des lignes verticales : on a ainsi à considérer deux séries de trapèzes, dont Tune représente les éléments de la voûte proprement dite et dont l'autre figure les surcharges.

11 s'agit, ensuite, de trouver le point où chacun des plans de joint est traversé

par la résultante des pressions qui s'exercent sur sa surface, par l'effet des parties supérieures. Or, il résulte de la définition même de la courbe de pression, que cette résultante a deux composantes, Tune verticale, passant par le centre de gravité du massif reposant sur le joint et dont la valeur est égale au poids de ce massif; l'autre horizontale et constante, ayant pour valeur celle de la poussée horizontale. On peut donc facilement tracer, au moyen de ces deux composantes, chacune des résultantes partielles et on procède généralement à cet égard de la manière suivante (13).

On commence par mesurer les surfaces des divers trapèzes et on en détermine les centres de gravité partiels (/„ g\, gf„ g\, etc., ainsi que ceux G„ G„ G3, etc., de l'ensemble de chaque voussoir et de sa surcharge; enfin ceux Cj, c,, c , etc., des massifs supérieurs à chacun des joints : par ces derniers on mène des verticales et on les prolonge jusqu'à leur rencontre avec la direction de la poussée, qui doit passer au tiers de l'épaisseur à la clef, ainsi que nous Tavons expliqué. Chacun de ces points de rencontre C», C„ C3, etc., appartient évidemment à Tune des résultantes cherchées. Pour en avoir un autre point, on prend sur la verticale qui correspond au joint dont on s'occupe, une longueur proportionnelle à la surface et par suite au poids des maçonneries supérieures à ce joint ; par exemple c, as, pour le troisième joint ; on mène par Textrémité a, de cette longueur une horizontale sur laquelle on marque une distance a,, &,, représentant la valeur de la poussée, et &, appartient également à la résultante. En joignant C3, &3, on a donc cette résultante en direction et en grandeur : le point w- où elle rencontre le joint, est situé sur la courbe de pression : on opère de la même manière pour tous les autres points intermédiaires de cette courbe*

Pour que toutes ces constructions, faites sur un même plan, soient applicables au poids, il faut avoir soin que les surfaces soient ramenées à une même pesanteur spécifique ; par conséquent, si les surcharges ne sont pas de même nature que la maçonnerie de la voûte, par exemple, si elles sont formées de remblais, il faut que les ordonnées des trapèzes qui représentent les surcharges soient diminuées dans le rapport du poids des remblais à celui des maç>onneries. Ainsi, dans la figure (13), bien qu'en réalité l'ouvrage soit considéré comme extradossé horizontalement, suivant la ligne poinlillée supérieure, les surfaces à considérer pour les surcharges sont celles terminées par les lignes pleines.

La série d'opérations qui donne la composition des divers poids, et le tracé des résultantes successives, peuvent entraîner quelque erreur dans la position de la résultante générale, et comme cette erreur influerait sur les calculs de stabilité, il convient de l'éviter, en déterminant cette position d'une manière directe, au moyen de la formule des moments.

On peut également l'obtenir par une construction graphique, basée sur le

système du polygone funiculaire (u). Pour la réaliser, après avoir déterminé la

position du centre de gravité G„ G etc., de chacun des groupes de voussoirs

avec leurs surcharges, ainsi que les poids respectifs ir„ i:,,.. . etc-, des volumes correspondants, on porte sur une ligne verticale quelconque des longueurs

AB, BC, CD, etc., proportionnelles à ces poids, et on joint toutes les extrémités de ces longueurs partielles à un point extérieur 0.

Ensuite , on mène à une distance quelconque au-dessous de la partie de voûte représentée , une première ligne a, A., parallèle à OA, qui rencontre en F la verticale passant par le centre de gravité G,; puis par le point F on trace une deuxième ligne b^B^ parallèle à OB : elle rencontre en H la verticale passant par le centre de gravité G, et alors on mène par H une troisième ligne CiC, parallèle à OC. On continue de la même manière, en faisant passer successivement les lignes diD^ et e,E^, par les points L et N, où chacune des lignes qui les précèdent immédiatement rencontre les verticales passant par les centres de gravité G, et G*. Les points I, M, P, déterminés par la rencontre des trois dernières lignes obliques avec a^A,, se trouvent situés sur les résultantes successives des groupes de voussoirs et servent, par suite, à déterminer exactement la

position de ces résultantes. En effet, les triangles FHJ, HFS sont semblables aux triangles OAB, OBC; par suite HJ et FS sont proportionnels à AB et BC, et comme ils le sont également à HI et FI, il en résulte que la ligne HS est divisée, au point I, en parties inversement proportionnelles aux poids ir, et ir, ; de sorte que I appartient à la résultante R, des deux premiers groupes. Par des considérations semblables, on voit que les points M et P appartiennent respectivement à la résultante R, des trois premiers groupes et à la résultante R, de tout rensemble.

Enfin, nous pensons, qu'au lieu de déterminer le poids et le centre de gravité qui servent de base à la poussée, au moyen de la série des surfaces et des centres de gravité qui servent pour les points intermédiaires, il est préférable de chercher ces quantités directement, en opérant sur l'ensemble des surfaces. Ainsi, par exemple, pour une voûte à tympans pleins en maçonnerie, telle que {45), on arrive à des résultats beaucoup plus exacts en prenant directement la superficie du trapèze ABOE, déduction faite de celle du secteur COD, que si l'on se bornait à additionner les surfaces partielles au-dessus du joint de rupture. De même il vaut mieux obtenir directement, par des expressions connues, les verticales qui passent par les centres de gravité du trapèze et du secteur, puis appliquer seulement à ces deux éléments la formule des moments, au lieu de s'en servir d'après les centres de gravité partiels. Il faut remarquer en effet que, comme on opère sur des surfaces et

comme pour passer au poids des maçonneries, il faut multiplier par des coefficients très élevés (de 2000 à 2700), les erreurs les plus légères faites sur répure deviennent de suite très sensibles sur les poids. Or, on s'expose d'autant plus à ces erreurs que l'on opère sur des surfaces plus petites et que Ton réunit ensemble les résultats d'un plus grand nombre d'opérations partielles.

Quel que soit d'ailleurs le mode employé, les opérations sont assez longues et doivent être faites avec beaucoup de soin. En outre, quand il s'agît d'un

projet définitif, il importe d'employer successivement le calcul et le procédé graphique, afin que les résultats se contrôlent Tun par l'autre. Le tracé géométrique rend impossibles de fortes erreurs, tandis que le calcul donne plus de précision pour les résultats définitifs.

Pressions Los prcsslous totalcs sur les différents joints des maçonneries sont données

sur les maçonneries

aux diverses hauteurs, par les composautes uormales, telles que me (le), et pour en déduire les

pressions moyennes par unité de surface, il suffit, en admettant toujours que Ton opère sur des tranches verticales de 1 mètre d'épaisseur, de diviser les pressions totales par les longueurs utiles des joints correspondants. Il faut bien se rappeler, toutefois, que la répartition de la pression n'est pas uniforme et qu'elle dépend du point d'application de la force, ainsi que nous l'avons expliqué (page 423). Sous cette réserve expresse, et tant que la courbe ne passe pas à moins du tiers de la longueur des joints, on a l'habitude de calculer seulement les pressions moyennes. Ainsi, à la clef, la pression moyenne, par unité de surface, est comptée comme égale à la poussée divisée par l'épaisseur à la clef.

Aux naissances, pour les pleins cintres et les ellipses, elle est prise égale au poids

total des maçonneries et de leurs surcharges, divisé par l'épaisseur de la culée.

Et, pour chacun des joints intermédiaires, la pression totale est obtenue en

multipliant la valeur de la résultante des pressions, au-dessus du joint considéré,

par le cosinus de l'angle que cette résultante fait avec la normale au joint.

Mais cette évaluation n'est exacte que lorsque les joints ne s'ouvrent pas, car autrement on ne doit compter que sur la longueur où le contact subsiste.

Par conséquent, si pour quelques-uns des joints, la courbe de pression passe à moins du tiers de la longueur, soit d'un côté, soit de l'autre, il faut avoir soin de ne compter, dans le calcul de la pression par unité de surface, qu'une longueur égale à trois fois la distance qui sépare la courbe de pression du

parement de la voûte le plus rapproché, puisque cette longueur est réellement dans ce cas la seule utile.

On voit par là combien, lorsque les voûtes sont grandes ou fortement chargées et comportent par suite des pressions considérables, il importe d'arriver, par les bonnes dispositions du projet et les soins d'exécution, à obtenir que les joints ne s'ouvrent pas d'une manière sensible, ou, ce qui revient au même, à empêcher que la courbe de pression ne passe à moins du tiers de la longueur des joints, de telle sorte que le contact subsiste sur toute cette longueur et qu'elle puisse être entièrement comptée.

On admet généralement que l'on peut faire porter avec sécurité aux matériaux le dixième de la charge de rupture, et par suite, comme lorsque la courbe de pression passe au tiers du joint, la pression atteint une valeur double de la moyenne à l'extrémité la plus rapprochée, il conviendrait, pour les voûtes, de ne jamais compter que sur des pressions moyennes inférieures au vingtième de la charge d'écrasement.

Cette proportion a néanmoins été dépassée, pour certaines constructions exceptionnelles précédemment citées ; mais on doit remarquer qu'il s'agit de piliers ou de colonnes, pour lesquelles la pression doit se répartir plus également que dans les voûtes de ponts. On est allé aussi, dans ces derniers temps, bien au delà de la proportion du vingtième, pour l'arche d'expérience de Souppes. En effet, d'après la notice pour l'exposition de 1867, les pressions moyennes à la clef étaient, par centimètre carré, de 43^88 pour les têtes et de34\47 pour le corps de la voûte, tandis que la charge qui produit l'écrasement, pour la nature de pierre employée, est 455 kilogranunes. On a donc, dans ce cas, atteint environ Vio« de la charge d'écrasement.

Malgré l'exemple de cette arche, nous ne pensons pas qu'il serait prudent, pour une application en grand où il est toujours très difficile de se procurer des matériaux parfaitement homogènes, de porter les pressions moyennes sur des joints de voûte au dixième de la charge qui produit l'écrasement ; il faut remarquer en outre que, dans tous les cas, de semblables résultats ne pourraientêtre atteints qu'avec des précautions extrêmes et des frais de construclion tout à fait dispendieux.

Nous sommes donc convaincu que des valeurs de 20 à 25 kilogrammes, qui correspondent au vingtième de la charge d'écrasement, doivent généralement être adoptées pour limites des pressions sur lés joints d'une voûte construite avec les meilleurs calcaires. En employant des granits très durs, choisis avec beaucoup de soin, les valeurs des pressions pourraient être portées, au maximum, à 30 ou 35 kilogrammes par centimètre carré. Les pressions approchant de ces limites ne pourraient d'ailleurs être atteintes qu'avec l'emploi de mortiers de ciment très énergiques.

Dtiiiié Dans tous les cas, on doit être bien convaincu, qu'au delà des pressions

dZis 1 Jtim^Ts." moyennes habituellement admises et qui ne dépassent guère 10 kilogrammes par centimètre carré, toute augmentation de pression exige un accroissement de précautions et, par suite, de dépenses, en même temps qu'elle donne plus de chances d'accidents. H faudrait donc, si l'on se trouvait conduit à projeter un ouvrage de dimensions exceptionnelles, avoir grand soin de s'attacher à réduire les pressions autant que possible et, à cet égard. les élégissements ou évidements pratiqués dans les tympans, constituent un des moyens les plus efficaces.

Ces élégissements peuvent être effectués de plusieurs manières. D'abord, ainsi qu'on le fait ordinairement, on peut se borner à construire en maçonnerie les tympans des têtes et à employer seulement des remblais au-dessus de la chape, dans les parties intermédiaires. Il en résulte que, pour le tracé des courbes de pression, les ordonnées des tympans doivent, dans ces parties, être diminuées suivant le rapport du poids des remblais à celui des maçonneries, ainsi que noua l'avons déjà indiqué. La diminution de pression est très sensible et réduit de Vs- ou Vi la charge produite par les tympans.

En second lieu on peut, tout en laissant pleins les tympans des têtes, remplacer les remblais, dans la partie intermédiaire, par des séries de petites voûtes longitudinales (*:); cette combinaison doit être adoptée de préférence toutes les ■ fois que la hauteur des tympans est un peu forte, parce qu'alors les remblais exerceraient trop de poussée sur les murs de tête. La

réduction de poids due à rélégissement, augmente beaucoup avec la hauteur, et peut atteindre jusqu'à 25 pour 100 de la charge totale au joint de rupture.

Enfin, au lieu d'employer des voûtes longitudinales, on peut au contraire adopter un système d'évidements transversaux, soit par une série de petites arcades, reposant sur les reins de la voûte principale (i8), soit par des ouvertures circulaires ou oblongues (19). Ces dernières dispositions donnent moins d'élégissement que les voûtes longitudinales, mais elles ont le grand avantage de s'appliquer à toute la largeur du pont y compris les têtes. Or, pour les grandes

voûtas, il y a un intérêt considérable à réduire aussi la pression sur les têtes, car non seulement on acquiert de cette manière la faculté d'étendre la limite des ouvertures , mais de plus les voûtes se trouveront soumises à des pressions uniformes sur toute leur largeur, ce qui assure la solidarité des diverses parties de l'ouvrage et augmente par suite, incontestablement, ses conditions de solidité,

Ainsi, en résumé, nous sommes d'avis que, pour les petites ouvertures, il y a lieu d'employer des remblais sur les reins des voûtes entre les têtes ; que pour les ouvertures moyennes, il convient de remplacer les remblais par de petites voûtes longitudinales, et qu'enfin, pour les'grandes ouvertures, on devrait avoir recours aux évidements transversaux.

L'extrême importance que présente la stabilité des voûtes a nécessairement Mémoires divers

relatifs aux

appelé sur cette question les études d'un grand nombre d'Ingénieurs : il en est conditions de stabilité

des voûtes.

résulté plusieurs mémoires importants ayant pour but, les uns de faciliter la constatation de cette stabilité, les autres d'en améliorer les conditions.

Dans un mémoire inséré aux Annales en 1853, M. l'Ingénieur Carvalho a appliqué le calcul différentiel à la détermination de la courbe des pressions et de la courbe d'extrados des voûtes. A l'aide d'équations nombreuses, comprenant beaucoup de constantes, et en adoptant d'ailleurs, pour la détermination

Mémoire de N. Cai*vaUio.

des points de passage à la clef ainsi qu'au joint de rupture, les mêmes bases que M. Méry, il a formé des tables indiquant les dimensions à adopter. Mais, soit que les constantes n'aient pas été toutes bien choisies, soit par d'autres causes, les résultats, bien que paraissant justifiés par quelques exemples donnés dans le mémoire, cessent d'être applicables lorsque les dimensions diffèrent notablement. Ainsi, pour de grandes voûtes, on am^ait des épaisseurs à la clef beaucoup trop fortes. Ce mémoire, remarquable au point de vue du calcul et du travail considérable auquel il a donné lieu, pourrait conduire à des conséquences défectueuses dans la pratique.

Méthode La méthode trouvée par M. l'Ingénieur A. Durand-Claye, et décrite par lui

de H. A. Durand-Claye.

dans un mémoire publié dans les Annales en 1867, a pour but de tenir compte à la fois du tracé des courbes de pression et de la résistance qui peut être admise pour les matériaux dont on dispose. Cette méthode, qui est exposée en détail dans un autre cours, consiste en résumé : 1* A tracer des courbes limitant les poussées et les pressions compatibles avec l'équilibre, quelle que soit la résistance à admettre pour les matériaux ; 2"* A tracer d'autres courbes qui limitent les pressions compatibles avec la résistance propre des matériaux ; 3' A superposer les deux séries de courbes et à en déduire des aires auxquelles devront correspondre les courbes de pression admissibles ; ^ A superposer ces aires et à rechercher la surface commune qui comprendra les exti^émités des lignes représentatives de toutes les poussées admissibles ; 5* Enfin, à tracer les courbes de pression limites. Le croquis (20) s'applique aux trois premières séries d'opérations et le croquis (21) indique la surface commune, ainsi que le tracé des courbes de pression limites : le maximum des efforts se produira tantôt à l'intrados tantôt à Textrados, suivant la position de la courbe considérée. Lorsque, comme sur (21), la surface commune présente une certaine étendue, la voûte est stable; si elle se réduit à un point, la voûte est en équilibre ; enfin, si la surface n'existe pas, la voûte ne peut pas tenir.

En désignant par n la pression par unité de surface qui produirait l'écrasement des matériaux employés, et par vi la plus faible pression admissible, le rapport - constitue une sorte de coefficient de stabilité qui donne la mesure de

la hardiesse des ouvrages. Ce coefficient de stabilité diffère essentiellement de celui que Ton considère d'habitude, et qui s'applique seulement à la résistance au renversement, ainsi que nous l'avons indiqué page 41 1 .

En résumé, ce procédé est extrêmement ingénieux, mais son application est longue, et l'on peut s'en dispenser, sans inconvénient, dans les circonstances ordinaires. Il ne détermine pas d'une manière précise la position de la courbe de pression, parce que dans un solide en forme de voûte, cette position est essentiellement sujette à varier, mais il a l'avantage d'en limiter beaucoup l'indétermination, ce qui peut être fort utile lorsque les circonstances obligent à s'écarter notablement des formes ou des proportions habituelles.

M. Cuncq, chef de section de la Compagnie des chemins de fer du Midi, a pu- Koie de m. cuncq. blié dans les Annales ^ en 1880, une note relative aux applications de la méthode de M. Durand-Claye et dans laquelle il donne des notions préliminaires ayant pour but de faciliter les tracés des hyperboles équilatères qui servent à limiter les valeurs des pressions normales dans une voûte ; il applique ensuite ces tracés à la détermination des courbes limites et se trouve conduit, conmie M. Durand- Claye, à une aire finale dont l'étendue donne une mesure de la stabilité de l'ouvrage. Enfin, conune vérification de ces conditions de stabilité, M. Cuncq indique

une autre méthode d'après laquelle on obtient, sur le profil transformé de la voûte, une surface qui, par le nombre de lignes qu'elle comporte dans sa longueur et à rintérieur de son périmètre, indique le nombre de courbes de pression compatibles avec Téquilibre et avec le travail assigné aux matériaux dont on dispose. Une règle, ingénieusement disposée et portant des divisions spéciales, permet de lire immédiatement la valeur des poussées et de retomber ainsi sur l'aire finale.

Procédé II serait évidemment très utile de pouvoir faire passer la courbe de pression

indiqué par M. Dupuit. i x

au centre de chacun des joints : on doublerait ainsi la résistance pour les joints où la courbe de pression passe seulement au tiers de la longueur de ces joints, soit à l'intrados, soit à l'extrados, et comme la pression serait alors uniforme sur toute l'étendue du joint, on pourrait en toute sécurité admettre, pour la pression, Vio* de la charge d'écrasement au lieu de V2o^

Pour réaliser cette condition, M. Dupuit, dans son traité de l'équilibre des voûtes, a proposé d'ouvrir le joint de rupture nn' à partir du milieu m de ce

joint (22), sauf à employer pour les deux pierres qui le composent des matériaux très durs, ou même à garnir les surfaces d'armatures en métal. La courbe de pression passerait alors nécessairement par le centre m et le mouvement de rotation serait ainsi facilité au lieu d^être contrarié. D'autres Ingénieurs ont proposé de se borner à arrondir la surface de la pierre supérieure, ou même de la laisser plane vers le milieu, sur une certaine longueur, en se contentant de donner une forme courbe aux deux extrémités.

Les nouvelles expériences déjà mentionnées, au sujet des voûtes, ont fait reconnaître que l'emploi de joints courbes ne donnerait pas, à la partie de voûte comprise entre les joints de rupture, la mobilité que Ton était porté à craindre. Mais alors la pression au point de rotation serait très grande, ou bien, si on laissait au joint une partie plane, la courbe de pression ne passerait plus parle milieu. Les articulations sont employées avec succès dans les ponts métalliques, parce qu'au moyen de nervures on peut concentrer facilement, auprès du point

COURBES DE PRESSIOiN. 443

de rotation, une surface équivalente à celle d'un joint ordinaire; mais cette ressource fait complètement défaut dans un pont en maçonnerie. Nous ne pensons donc pas que dans ce dernier cas il y ait lieu d'employer des joints courbes.

Dans un mémoire très savant, publié vers 1840 et approuvé par l'Académie des Mémoire

de U. Yvon Villarceau.

Sciences, M. Yvon Villarceau, membre de l'Institut, a donné le moyen de déterminer les formes de l'intrados et de l'extrados, de telle sorte que la courbe de pression passe toujours par le centre des joints des voussoirs qui seraient taillés en forme de fuseaux : les calculs qui conduisent à cette détermination sont longs et compliqués. Aucune application de cette méthode ne paraît avoir été faite, jusqu'à présent au moins, dans des conditions topiques ; un exemple cité en Espagne, au pont sur la Garganta Aucha, s'applique à trois voûtes de 14 mètres d'ouverture seulement, qui ont d'ailleurs été faites avec des joints rectilignes et avec du mortier de ciment, de sorte que l'on ne peut réellement en déduire aucune conclusion formelle en faveur du nouveau système. Il est désirable que des expériences précises soient effectuées prochainement à ce sujet.

Enfin, M. Tlngénieur en chet de Saint-Guilhem a donné, dans les Amiales Méthode

de M. de St-Giiilbem.

de 1859, des tables, basées sur les mômes principes que le mémoire de M. Yvon Villarceau, sauf en ce qui concerne l'emploi des voussoirs en forme de fuseaux ; ces tables donnent le moyen de déterminer les formes de l'intrados et de l'extrados, de telle sorte que la courbe de pression passe par le centre des joints, en tenant d'ailleurs compte des surcharges et de la résistance des matériaux.

M. rinspecteur général Decomble, dans un mémoire publié en 1873, a rendu plus pratique l'application des tables de M. de Saint-Guilhem, en y introduisant des constantes déterminées par l'expérience. Il a fait construire dans ce système plusieurs ponts remarquables, entre autres un de 33 mètres sur la Gimone et un de 40 mètres d'ouverture sur la Pique, près de Luchon. Mais d'après les instructions de l'administration, les bandeaux des voûtes ont été construits avec mortier de ciment et, dans ce cas, les résultats des calculs cessent de pouvoir être concluants.

D'un autre côté, la méthode de M. de Saint-Guilhem conduit aux conséquences suivantes :

1" La forme de l'intrados serait toujours une anse de panier ou une calotte d'anse de panier ;

2"* Elle n'arriverait jamais au plein cintre, quoique s*en rapprochant d'autant plus que la surcharge grandit;

5^ Les arches de même rayon à la clef devraient avoir les mêmes épaisseurs de voûtes.

Ces conséquences paraissent tout à fait inadmissibles, d'une part parce qu'elles obligeraient à renoncer à l'emploi du plein cintre, qui est si rationnel et si pratique, toutes les fois que l'on dispose d'une hauteur suffisante; d'autre part, parce que si, comme exemple, on considère une voûte en anse de panier de 60 mètres d'ouverture, en même temps que la partie centrale de cette voûte, sur 10 mètres seulement d'étendue, on n'aurait évidemment pas besoin de donner à cette dernière la même épaisseur qu'à la grande*

Courbe de pression Los poiuts dc la courbc dc prcssiou, dans les piédroits, peuvent être détermi-

dîiim les Diédroits

!• Tracé par ^^^s graphiqucmcut de la même manière que pour les voûtes. 11 s'agit toujours procédés graphiques- ^^ ^^^^^ ^^ trouvor, pour chacuu des plans de joint, le point où ce plan est traversé par la résultante des pressions qui s'exercent sur sa surface, par suite du poids des parties supérieures et de l'intensité de la poussée horizontale.

(23) La construction graphique peut être faite de

^" 7~/1 plusieurs manières. Ainsi : 1*" On compose le

1 poids q de la voûte, au-dessus des naissances,

I avec celui q' de la partie du piédroit supérieure

^^"'"'' TTH I au joint MN, pour lequel on veut déterminer le

:iuL

^^ ^ point de la courbe (23) ; on trace la verticale (XQ,

dont la direction est celle de la résultante de

// ces deux poids; on compose ensuite cette ré-

^ sultante Q avec la poussée horizontale P et on

obtient la résultante totale O'R', dont la rencontre avec MN donne le point

cherché m.

2° Au lieu de considérer les forces P et g comme appliquées au point 0, on peut les regarder comme transportées au point H, où leur résultante R traverse le plan des naissances, et continuer l'opération comme précédemment, c'est-àdire composer q dans sa nouvelle position avec q', puis la résultante de ces deux forces avec P à partir du point H'.

3' Enfin on peut composer directement la résultante R, de P et q, avec le poids g', en formant le parallélogramme à partir du point de ren-

contre I, des deux directions de R et de g*. Cette dernière construction est la plus simple et elle devient surtout très commode lorsque le piédroit est à parements verticaux et qu'on le divise par des joints horizontaux également distants. En effet, dans ce cas (24), si l'on représente par II, la valeur de la résultante R et par U, II' , l't", la valeur commune du poids de chaque zone horizontale, on obtient les points m, m', m' en joignant successivement 1 avec (, /', f... r

Seulement, avec cette construction, comme les angles des parallélogrammes deviennent de plus en plus aigus, on est exposé à des erreurs, quand la culée est très haute ou quand la direction de la résultante R se rapproche trop de la verticale, et il faut alors revenir à l'un des deux autres procédés.

Au lieu d'appliquer les procédés graphiques cidessus, on peut déterminer par le calcul la position des divers points de la courbe et les opérations à effectuer sont même assez simples dans la plupart des cas.

Supposons, d'abord, qu'il s'agisse d'un piédroit à parement vertical (35). Désignons comme précédemment par q le poids de la voûte, par q' celui de la partie du piédroit supérieure au plan horizontal MN, sur lequel est le point à déterminer, et par Q la résultante de ces deux poids. Appelons en outre d, d' et D les distances, à l'axe de la voûte, des centres de gravité correspondant à g, g" et Q.

3* DétcrmiiutiDD

des points par le calcu

le parement Mlérieur

est

On aura

qd-hq'd'

q-hq"

Et en mettant ces valeurs dans l'équation générale de la courbe de pression, telle qu'elle est donnée précédemment, y = j (x — d), cette équation devient :

?y=:(q^q^)x^(qd-^q'd').

Les valeurs de g et d ont dû être déterminées précédemment et doivent être considérées comme des constantes, en ce qui concerne le piédroit. D'autre part, en représentant par a l'épaisseur aux naissances, par A la demi-ouverture de la voûte, par p le poids du mètre cube de maçonnerie et par h la hauteur du point d'application de la poussée au-dessus des naissances, on a :

d'où

q' = pa(y — h) d' = k-i- j;

^y = [q-hpa(y — h)]x — qd—pa(k-+'j\ {y — h)

?y H- ^d-h (pak -h ^) (y — h) ~~ q -h pa (y — h)

Cette équation est celle d'une hyperbole.

Si l'on fait y = h, on trouve x = h d , ce qui est bien la valeur de

l'abscisse de la courbe au niveau des naissances.

Si on divise les deux termes du second membre de l'équation par y et si on pose ensuite j/ = oo , on trouve :

q L h\ pa pa 2

ce qui indique une asymptote verticale et en fixe la position à une distance —

au delà du .milieu du pied -droit, puisque la distance de ce milieu à Taxe de la voûte est A -h y.

L'expression de l'abscisse de l'asymptote permet de déterminer très simplement, pour une culée à parements verticaux, les limites d'épaisseur qui correspondent à certaines positions de la courbe de pression. Ainsi, dans le cas d'équilibre strict, celui où la courbe de pression passerait exactement au bas de l'arête extérieure de la culée, il suffit de poser :

dOU a = W— .

pa 2

Dans le cas où la courbe devrait passer au tiers de l'épaisseur à la base de la culée, condition fort désirable à remplir, puisque c'est alors seulement que toute la surface de la base commence à pouvoir être utilisée pour la pression, il faut poser :

pa ' "-1 V p

Supposons maintenant que le pied-droit soit terminé par une ligne droite incli- s* Détennination née, du côté extérieur à la voûte, ainsi que cela se présente fréquemment dans lorsque

la pratique. Si l'on décompose en deux parties, l'une rectangulaire et Tautre est incliné. triangulaire, le trapèze que forme le pied-droit au-dessus du plan MN, on doit dans ce cas considérer trois poids, q, ((, q\ et leur résultante Q, ainsi que les distances d, d\ d' et D des centres de gravité de ces divers poids à l'axe de la voûte. On a alors :

q-^q-hq

Et en mettant ces valeurs dans l'équation générale de la courbe de pression : t/ = y (oj — d), on obtient successivement :

fy=(q'hq' + qlx-(qd'hq'd'-hq''d'^

n jtf

fy-hqd-hq'd'-hq^d

pression*/', ({, etc.,

On pourrait, comme dans le cas précédent, remplacer dans celte dernière ex- ', etc. , par leurs valeurs en fonction de y, mais on arriverait ainsi à une équation du 5* degré et il est, par suite, beaucoup plus simple dans les applications de chercher directement les valeurs de ic au moyen de l'équation qui précède, après y avoir remplacé les quantités g', g", etc. , d', d", etc. , par leurs valeurs numériques. La décomposition du trapèze a été introduite pour faciliter les calculs, car alors les distances des centres de gravité répondant aux deux parties du pied-droit sont

d' = A -f- 2 et d' = par mètre).

(n étant le fruit

Si la forme de la culée est plus compliquée et se compose de plusieurs trapèzes (ae), la valeur de x, présente toujours la même forme ; ainsi, pour deux trapèzes, tels que ceux au-dessus du plan M'N', on aura évidemment :

Py + v<J + v'rf' + gM" + g"'<i"' + y'M"

Enfin, si la culée présente du côté extérieur un parement courbe, il suffira de remplacer les éléments de cette courbe par des lignes droites, que l'on peut prendre aussi petites que l'on voudra, et l'on arrivera toujours ainsi sans difficulté à trouver la valeur de x pour une hauteur quelconque.

Les calculs restent simples, puisque les surfaces et les distances des centres de gravité appartiennent toujours à des rectangles et à des triangles, tandis que les résultats sont nécessairement plus exacts que ceux qui seraient déduils des constructions graphiques.

innueiiM L'influence exercée par les remblais sur les courbes de pression des arches

poussée di' "i-cmhuis. ©u maçouncrie est de deux natures :

1* Elle provient uniquement d'une poussée latérale lorsque ta hauteur des remblais ne dépasse pas te niveau supérieur du pont ; 2° Elle se complique

*-ir- — !ï

d'une surcharge lorsque les remblais s'élèvent au-dessus de ce niveau. Nous ne nous occuperons pour le moment que du premier cas.

Supposons d'abord que la culée soit terminée, du côté des remblais, par un plan vertical et que l'action de la poussée des terres soit concentrée en un seul point M, où elle peut être représentée par une force horizontale R (27), car il y a lieu de faire abstraction de la composante verticale qui aurait seulement pour effet de produire un glissement contre la paroi AC de la culée. La résultante des pressions de la voûte passe à cette même hauteur en un certain point m et peut y être décomposée en deux forces P et 5, dont la première représente la poussée horizontale de la voûte et la seconde le poids total des maçonneries audessus du plan MN. Les deux forces horizontales P et R, directement opposées Tune à l'autre , donneront une résultante égale à leur différence et qui pourra, suivant les valeurs respectives de ces forces, être dirigée tantôt dans un sens, tantôt dans l'autre. Il s'ensuivra que si P dépasse R, la partie basse de la courbe de pression, qui était d'abord dirigée suivant mw, s'aplatira suivant mn\ tout en conservant sa courbure dans le même sens qu'au-dessus du plan MN, tandis que si R surpasse P, la courbe s'infléchira en sens inverse dans une direction telle que mn\ 11 pourra même arriver, lorsque la valeur de R dépassera beaucoup celle de P, que la courbe sorte de la culée vers Tintérieur de l'arche, ce qui conduirait à une rupture, ou qu'elle passe trop près de son arête intérieure, ce qui ne donnerait plus des conditions de stabilité suflisantes. Le point où la résultante générale des pressions, y compris celles provenant des remblais, atteint la base de la culée, peut toujours être facilement déterminé par des constructions graphiques ou par des calculs analogues à ceux indiqués précédemment et celte simple vérification, qui permet d'apprécier les conditions de stabilité au point de vue de la pression, est très souvent suffisante dans la pratique.

Mais en réalité la courbe de pression ne présentera pas de point d'inflexion

brusque, tel que l'indique le croquis précédent, parce que toute la poussée

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