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du remblai n'est pas concentrée en un même point et qu*elle s'exercera successivement aux diverses hauteurs. On sait d'ailleurs que cette poussée est toujours déduite du poids d'un prisme tel que AEC (28), dont l'arête EC présente

une inclinaison constante, pour une même nature de terres, dç sorte qu'à un niveau quelconque on pourra déterminer la résultante de la poussée des terres jusqu'à ce niveau et combiner cette force avec les pressions de la voûte. On obtiendra alors les divers points de la courbe en considérant une série de prismes tels que ceux de la figure (28), et on reconnaîtra que la courbe, au lieu de se composer de deux parties tranchées comme sur la figure précédente, suivra au contraire des formes adoucies telles que K/i' et K/i".

On doit toutefois faire une remarque importante, au sujet de la poussée exercée par les terres dans la partie supérieure au joint de rupture, lorsque les remblais existent à la fois des deux côtés du pont : il se produit là un effet tout différent de ce qui a lieu dans la partie inférieure et l'action des remblais, loin de détruire tout ou partie de la poussée, vient au contraire l'augmenter dans ce cas spécial. En effet, si nous considérons (29) le prisme ACE qui

correspond au niveau du point de passage de la courbe de pression au joint de rupture, ce prisme donnera lieu à une force R, qui pourra être décomposée en deux autres R' et R" dont la première sera dans la direction de la poussée à la clef. Or comme le joint à la clef, sollicité par des pressions que nous supposons égales de part et d'autre, doit être regardé comme étant dans une position invariable, la poussée des remblais, qui s'exerce dans la partie supérieure au joint de rupture, aura pour effet de développer à la clef une réaction qui s'ajoutera à la poussée produite par l'autre moitié de la voûte, de sorte que la poussée originelle P deviendra réellement P' = P + R'. En d'autre termes, si les forces égales R' et R', se détruisent au pi3int de vue de l'équilibre, elles ne peuvent pas du tout être annulées au

point de vue de la pression et, par suite la pression totale à la clef sera nécessairement augmentée de la valeur d'une de ces forces. Mais cette pression totale, exercée ou transmise par une moitié de la voûte sur l'autre, donnera précisément la mesure de la poussée horizontale, et, ainsi, l'action des remblais, dans la partie de voûte supérieure au joint de rupture, aura pour effet d'accroître cette poussée. La valeur de l'accroissement est facile à déterminer, puisque c'est celle de la composante R' et, par conséquent, si l'on désigne pari/ et h les hauteurs du point m et du point d'application de la force R, par rapport à la ligne OX , on aura évidemment :

La courbe de pression sera tracée, depuis la clef jusqu'au joint de rupture, au moyen de la nouvelle valeur de poussée P' = P -h R' et des poids qui correspondront aux divisions successives de la voûte. Au joint de rupture, elle rencontrera la composante R", qui commencera à la repousser vers l'hitrados de la voûte; cet effet sera continué par les autres valeurs de la poussée das remblais, déduite des divers prismes, et on arrivera ainsi facilement à compléter le tracé.

11 est à remarquer, d'ailleurs, que l'augmentation R', de la poussée originelle de la voûte, sera faible en général par rapport aux valeurs subséquentes de la poussée des remblais et qu'elle le sera d'autant plus que les piédroits auront plus d'élévation, de sorte qu'en considérant seulement, comme nous l'avons fait d'abord, la résultante totale, on ne s'écartera pas beaucoup de la vérité, en ce qui concerne la position du point où la courbe de pression vient traverser la base de la culée : en réalité» par ce moyen, on obtient non plus un point exact, mais une limite, et on saura que la courbe passera toujours un peu moins loin, de sorte que si les conditions de stabilité sont satisfaites pour la position donnée par la résultante totale, on sera certain qu elles le seraient à fortiori en tenant compte de l'augmentation de poussée de la voûte. Ainsi, en général, lorsque la hauteur des remblais ne dépasse pas le niveau supérieur du pont et que la hauteur des piédroits est assez considérable par rapport à la hauteur

de la voûte, on pourra se borner à déterminer le point où la courbe de pression vient rencontrer la base de la culée pour la composition des forces R (''), P et Q.

Si la culée, au lieu d'être terminée du côté des terres par une ligne verticale, rétait par une ligne droite inclinée, la méthode à suivre serait tout à fait la même, si ce n'est que les résultantes de la poussée des terres ne seraient plus horizontales : on les prendrait alors dans leurs directions réelles, pour les composer avec la poussée de la voûte et avec les poids des diverses parties des maçonneries.

Enfin, le même procédé serait encore applicable, mais avec plus de complications, à une culée dont le parement serait formé d'une série de parties droites, OU pourrait y être ramené sans erreur sensible.

Influence

des

surcharges provenanl

des remblais.

L'influence des surcharges qui proviennent des [remblais enveloppant un ouvrage, ne peut pas être appréciée avec certitude, parce que la manière dont le massif tend à se diviser n'est pas bien connue. Le principe admis précédemment, et d'après lequel chaque voussoir supporte la partie des tympans et des autres surcharges qui sont situées verticalement au-dessus de lui, ne peut être vrai, pour des remblais, que lorsque leur hauteur est faible, comme par exemple pour ceux qui sont limités entre l'extrados et la plinthe ; il n'est donc plus directement applicable quand il s'agit de remblais dont la crête dépasse notablement le dessus du pont.

Nous pensons que dans ce cas (so) il est plus plausible d'admettre que le massif tend à se diviser, suivant des plans dont l'inclinaison est la même que dans le cas précédemment considéré, celui où des remblais sont appliqués contre une paroi, et que d'un autre côté, c'est au joint de rupture que la division de la voûte a le plus de tendance à se produire. Il paraît probable que le maximum

(a) La Torce fi à considérer dans ce cas est la poussée totale des terres et non celle qui s'applique à la flgure 99.

d'action de la poussée des terres, pour faire renverser les piédroits à l'intérieur, sera produit par les massifs CABKI, C'A'B'RT, tandis que la charge qui porterait à son maximum d'effet la poussée de la voûte, proviendrait du prisme IKKT.

Ainsi, c'est avec l'un des deux prismes CABKI, C'A'BTr qu'il conviendra de rechercher si la poussée des terres ne fait pas sortir, à l'intérieur de l'arche, la courbe de pression dans la culée correspondante, ou si cette courbe ne rencontrera pas la base trop près de l'arête intérieure L ou L'. Si ces conditions sont satisfaites, la stabilité sera assurée contre le renversement à l'intérieur, et c'est bien, en effet, dans cette position où les remblais sont arrivés à la fois de chaque côlé du pont, jusqu'aux arêtes supérieures des culées, que ce renversement-là est le plus à craindre dans la pratique.

La continuation de l'exécution des remblais ne fera que ramener les courbes de pression vers les côtés extérieurs des culées, puisque d'abord la charge verticale augmentera et, qu'ensuite, la poussée de la voûte s'accroîtra rapidement jusqu'à ce que, les remblais élant terminés, cette poussée aura atteint son maximum. Seulement, il faudra s'assurer que, sous l'effet de l'augmentation de poussée, les courbes de pression ne sortent pas des culées à l'extérieur ou même ne s'approchent pas trop près des arêtes A et k\

Il résulte d'autre part, de ce qui vient d'être expliqué, que puisque le maximum de poussée des terres correspond à celle produite par le massif CAKI, cette poussée augmentera ou diminuera rapidement avec la hauteur du pont.

De même, la charge totale sur la voûte sera d^ autant plus faible, pour une même hauteur de remblais, que l'ouverture du pont diminuera. La diminution de charge sur la voûte est même

dans ce cas d'autant plus rapide que, quand l'ouverture est petite, le massif central IKKT tend lui-même à se diviser, de telle sorte qu'une partie des terres

qui le composent pousse sur les talus IK et YK! des massifs latéraux et que la charge, pesant sur la clef, se trouve diminuée dans une certaine mesure : c'est ainsi que Ton peut expliquer une locution souvent employée sur les chantiers, que les remblais font voûte au-dessus des ouvrages.

Ces considérations, d'après lesquelles les poussées des massifs de terre se contre-balancent en partie, expliquent aussi comment des ponceaux et aqueducs résistent parfaitement sous de grands remblais, avec des maçonneries dont les épaisseurs sont relativement très faibles. Elles font voir également, par contre, combien il importe d'éviter, autant que possible, d'avoir à construire sous de grands remblais des ouvrages dont l'ouverture et la hauteur sont un peu considérables, puisqu'alors les effets de contre-butement se produiraient bien moins et que l'on se trouverait, par suite, amené à donner aux maçonneries des dimensions beaucoup plus fortes.

Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que le pont restait fixe, ce qui n'est assuré que lorsque les remblais sont conduits simultanément des deux côtés à la fois. Quand il en est autrement, ainsi que cela se présente très fréquemment dans las transports par wagons, la poussée des remblais tend à déverser l'ouvrage et cette tendance, dont le maximum a lieu lorsque la résultante de la poussée des terres correspond à l'arête supérieure de la culée, est très souvent suivie d'effet. Pour l'éviter, il faut avoir soin de faire reprendre les remblais à la brouette, avant que leur poussée contre les culées ne commence à se produire, et d'en former un massif bien pilonné , qui enveloppe les maçonneries de manière à constituer avec elles un ensemble capable de résister au déversement. On ne saurait trop recommander aux Ingénieurs de prendre cette précaution.

Influence La détermination des effets produits par das surcharges autres que celles

des surchflPfres &uti*e8

que celles dos remblais, ne peut donner lieu à aucune difficulté. D'abord, s'il s'agit de

maçonneries, on sait que chaque voussoir doit être regardé comme supportant les surcharges qui sont placées verticalement au-dessus de lui ; mais, ainsi que nous l'avons déjà signalé plus haut, l'effet de ces surcharges varie avec leur position par rapport au centre de l'arche.

des remblais.

COUIIBES DE PRESSION.

Ainsi, dans le cas où la surcharge se trouverait placée vers les extrémités du pont, au delà des verticales passant par les joints de rupture, il est évident que la poussée ne serait pas augmentée et alors la courbe de pression s'éloignerait du parement extérieur de la culée ; car, tandis que la composante horizontale des pressions resterait la même, leurs composantes verticales successives seraient accrues par Teffet du poids additionnel produit par la surcharge.

Si, au contraire, la surcharge se trouvait placée en deçà des verticales passant par les joints de rupture, il pourrait encore se faire que la poussée ne fût pas augmentée, mais il faudrait pour cela que le centre de gravité de la surcharge tombât au delà du centre de gravité de la partie de voûte supérieure au joint de rupture, et, que la distance des verticales passant par ces centres de gravité, fût suffisante pour annuler l'effet de l'excédent de poids. Ainsi, par exemple (52), supposons que le triangle OIK soit celui qui a servi à déterminer la poussée avant la surcharge, que par conséquent 01 représente le poids de la partie ABCDE et IK la poussée ; si la surcharge avait son centre de gravité en M, sur le prolongement de la verticale 01, le poids de celle surcharge, ajouté à celui de la voûte, porterait à OF la longueur représentant le poids total, et alors la poussée deviendrait FK' ; mais si le centre de gravité d'une surcharge équivalente était en M', de telle sorte que le centre de gravité de la masse totale se trouvât amené sur la verticale O'N, le poids total serait figuré par OT = OF, mais la poussée F'K' pourrait être inférieure à IK.

Il résulte de là, que pour une voûte extradossée horizontalement, les élégissements pratiqués dans les tympans, produisent des effets très différents, suivant leur position. Quand ils sont voisins de la clef, ils diminuent la poussée et rendent par suite la courbe de pression moins tendue ; quand ils sont effectués vers Fextrémité de la culée, ils donnent au contraire plus de tension à la courbe,

par suite de la diminution des composantes verticales. Ces élégissements, dont le principal avantage est évidemment de diminuer les pressions, peuvent donc également être utilisés dans de certaines limites, pour modifier la forme et la position des courbes de pression.

Dans la pratique, les surcharges de maçonnerie introduites au-dessus d'une voûte, déjà extradossée horizontalement, ont presque toujours une épaisseur uniforme dans le sens de la longueur et leur centre de gravité est quelquefois peu éloigné de celui de la partie de voûte supérieure au joint de rupture, de sorte que, dans ce cas, leur poids tend à augmenter la poussée. Mais, en général, et surtout à mesure que les voûtes deviennent plus surbaissées, c*est plutôt l'effet inverse qui se produit.

Les mêmes considérations s'appliquent évidemment à une charge d'eau, par exemple pour les ponts-canaux, et il est toujours facile d'en apprécier le résultat.

Quant aux charges accidentelles, si elles sont fixes et uniformément réparties, elles donnent lieu à des effets analogues. Si elles sont mobiles, comme celles qui résultent du passage d'un train, les actions produites varient et le cas le plus défavorable est toujours celui où le plus fort de la charge porte sur la partie de voûte comprise entre les verticales passant par les joints de rupture, il peut arriver aussi que la courbe de pression ne varie pas sous l'influence de la surcharge, lorsque celle-ci est placée de telle sorte que l'augmentation de poussée horizontale résultant de la partie de charge pesant sur la partie centrale de l'arche, se trouve compensée par l'accroissement de poids produit par la partie de charge qui porte sur les extrémités.

11 est bien entendu que dans tous les cas la pression absolue sur les piédroits augmente par l'effet d'une surcharge ; seulement, ainsi que nous venons de l'expliquer, son action au point de vue de la stabilité peut être très différente suivant la position qu'elle occupe.

Les principes ci-dessus décrits permettent de déterminer les courbes de pression dans tous les principaux cas qui peuvent se présenter; nous allons, dans les

paragraphes suivants, en faire des applications pour les différentes formes de voûtes : nous chercherons ensuite à en déduire des renseignements utiles sur les dispositions et sur les dimensions à adopter.

Les procédés qui viennent d'être décrits donnent le moyen de déterminer uuutédçtappiicauoi^ d'ime manière sufQsamment exacte la valeur des pressions dans les diverses parties des voûtes et de leurs piédroits ; mais comme pour arriver à la pratique de la rédaction d'un projet, il faut nécessairement partir de certaines bases, on éprouve presque toujours de l'hésitation dans le choix de ces bases et on manque souvent du temps nécessaire pour faire des recherches comparatives. L'exemple des ponts existants ne suffît pas pour faire cesser Tincertitude, car ils présentent souvent entre eux de grandes différences ou bien ne s'appliquent pas aux conditions dans lesquelles on se trouve placé. Enfin, si la stabilité de ces ouvrages est constatée par l'expérience, rien ne prouve qu'elle n'y ait pas été exagérée. Nous nous sommes proposé en conséquence d'établir d'avance des éléments de comparaison, en recherchant au point de vue pratique comment se comportent les courbes de pression dans des séries d'arches de différentes formes et de grandeurs successives. Nous avons étendu les dimensions au delà des limites habituelles, d'abord parce qu'il y a tout lieu d'espérer que l'art de construire des voûtes en maçonnerie fera encore de grands progrès et surtout parce qu'en embrassant des séries plus longues, on accentue davantage les différences, ce qui permet de se rendre un compte plus exact de la manière dont varient, d'une part les dispositions des courbes et d'autre part l'intensité des pressions. Tel est le but des applications dont nous allons exposer les résultats.

Pour arriver à les établir, il faut nécessairement adopter certaines données et, après un travail préparatoire très long, nous avons été conduit à prendre ces

données de la manière suivante, en ce qui concerne les voûtes en plein cintre pour ponts de routes :

Données admises 1** Les épaisseuFS à lu clef résultent de la formule ^ =0.15 + 0.15 v^Tiï,

pour

coûtes en pidn cintre. R étant le rayou de la voùle.

2" L'épaisseur de la voûte, mesurée sur le joint qui correspond au milieu de la montée, est égale au double de l'épaisseur û la clef.

3"* I/extrados est formé par une partie de circonférence raccordant l'extrémité supérieure du joint défini ci-dessus avec celle de la clef.

4^ La hauteur au-dessus de la clef, hauteur qui correspond soit à la plinthe pour les têtes, soit à la chape et à la chaussée pour le corps du pont, a été comptée uniformément de 0'".40.

5** Le poids adopté pour le mètre cube de maçonnerie est de 2400 kilogrammes.

6** Enfin les arches considérées ont des ouvertures qui varient de 10 en 10 mètres jusqu'à lOO mètres.

Valeurs des poussées Eu basaut sur 068 dounécs une suite d'épurés et de calculs, on a déterminé

pour Toutes

avec tympans pleins, les poussécs pour la sério dos ouvertuTcs et si, pour faire ressortir les résultais,

on construit une figure sur laquelle les ouvertures sont représentées par les abscisses, et les poussées par les ordonnées, on obtient une com^be qui peut êiie représentée par une équation de la forme : 1/ = a + bx'^y dans laquelle Texposant m a nécessairement une valeur notablement supérieure à l'unité. 11 en résulte que, pour les pleins cintres, les poussées croissent beaucoup plus rapidement que les rayons des voûtes et par conséquent ne leur sont pas simplement proportionnelles, ainsi que le suppose une formule quelquefois appliquée (<*).

(a) Celle formule est P = Rp', dans laquelle R représente le rayon moyen d'intrados augmenté de la demiépaisseur de la voûte, et p' le poids que supporte un mètre carré de voûte au sommet, y compris le poids des

maçonneries. On se sert aussi de la formule : P = ^ , dans laquelle a est la demi-corde et f la flèche. Cette

dernière est souvent utilisée d'une manière approximative pour les arcs métalliques, dont les surbaissements sont faibles en général. Mais on ne peut compter ni sur Tune ni sur l'autre pour les arches en maçonnerie, car elles conduiraient à de grandes erreurs, surtout pour les voûtes en plein cintre.

En cherchant quelles sont les valeurs à donner aux quantités a, & et m pour que les ordonnées de la courbe régulière correspondent aussi bien que possible a rcnsenible des résultats des épures, on se trouve conduit à la courbe (i) tracée d'après l'équation :

ij = 750 .r H- 7.i.75 x f"""'.

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huu.uuu * 500 000

VOO 000

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Les ordonnées dont les valeurs sont inscrites sur la figure sont celles de la courbe régulière; les différences de ces ordonnées avec les résultats des épures sont indiquées en dessus et en dessous de la courbe, suivant le sens dans lequel elles se produisent. Ces différences restçnt dans des limites très restreintes, inférieures à celles auxquelles donne lieu communément l'emploi des procédés graphiques, et par suite, dans la pratique, on peut sans erreur sensible adopter les ordonnées de la courbe régulière pour valeurs numériques de la poussée horizontale.

Au lieu d'employer seulement 2 termes dans l'équation, on pourrait se servir de la forme plus habituelle :

y =: ax H- 6.t' -h Ci' H- iîl(^

Mais, même avec 4 termes, les résultats ne concordent pas aussi bien que les précédents avec les valeurs trouvées directement et le calcul est plus long.

En cherchant, dans les épures qui ont servi à déterminer les poussées, à quel angle correspond le maximum pour chaque ouverture, on remarque que cet angle n'est pas constant et qu'il diminue à mesure que l'ouverture augmente, de manière à passer graduellement de 32% pour une voûte de 10 mètres, à 22* pour une voûte de iOO mètres. On constate, dans la série des angles, quelques irrégularités qui sont d'autant plus faciles à expliquer qu'une certaine incertitude existe toujours pour la position à laquelle s'applique le maximum, mais on reconnaît néanmoins que l'on peut, sans erreur sensible, regarder la décroissance de l'angle comme s'opérant d'une manière régulière entre les limites qui viennent d'être citées.

Les résultats obtenus pour les poussées et les angles des joints de rupture ne sont évidemment applicables d'une manière directe qu'aux voûtes pour lesquelles les données sont celles indiquées précédemment, mais ils sont très utiles comme points de comparaison et aident dans la plupart des cas à diminuer beaucoup les recherches et les tâtonnements. Ainsi, d'abord, si la natm^e des maçonneries est seule changée, il suffit de multiplier par le rapport des densités les valeurs obtenues antérieurement pour les poussées. D'un autre côté, en voyant quelle est la poussée qui résulte d'une certaine épaisseur à la clef on reconnaît de suite s'il convient d'augmenter cette épaisseur, afin de réduire la pression qui se trouverait trop forte pour les matériaux dont on dispose, et on peut apprécier à très peu près quelle est l'augmentation à donner. Après avoir, d'après les renseignements tirés de la courbe des poussées, déterminé provisoirement quelles sont les dimensions à donner, il convient toujours de faire l'épure, avant d'arrêter ces dimensions d'une manière définitive, parce que les différences de données peuvent entraîner dans les résultats des changements que l'on n'est pas certain de pouvoir apprécier d'avance.

Les pressions moyennes à la clef, que l'on déduit directement de la valeur des poussées horizontales, dépassent 10 kilogranunes par centimètre carré à partir de l'ouverture de 40 mètres, et atteignent 30 kilogrammes entre les ouvertures de 90 et 100 mètres. Ces chiffres démontrent que , pour les grandes

ouvertures, il est très important d'élégir les tympans, ainsi que nous l'avons déjà indiqué.

Nous avons expliqué aussi que les éiégissements pouvaient consister en vaieun des poussées

pour Toutes

simples remblais employés entre les murs de tète, pour les faibles ouvertures, avec tympans éiégis. en petites voûtes longitudinales pour les ouvertures moyennes, et enfin en évidements transversaux pour les grandes voûtes. Nous reviendrons plus tard sur las dispositions qui peuvent permettre de diminuer très notablement le poids des tympans, tout en donnant des garanties suffisantes pour la solidité, car il faut bien se garder d'arriver à l'exagération dans les éiégissements. En les admettant dans des conditions très modérées et en supposant de plus que de simples remblais soient employés jusqu'à l'ouverture de 20 mètres, que les petites voûtes longitudinales soient appliquées de 20 à 50 mètres et qu'enfin les évidements transversaux ne servent que pour les ouvertures supérieures à 50 mètres, on arrive à déterminer, pour les poussées horizontales, une série de valeurs qui peuvent, comme précédemment, être représentées par une courbe de même forme (2) dont l'équation serait :

/y = 8(59 ^- 4- «i.oO X r*"»

«ooooo'JL

sooooo

aooooo

OcwiuiM tel

Cette courbe est analogue à celle qui s'applique au cas des tympans pleins,

seulement les ordonnées y croissent d'une manière beaucoup moins rapide. Pour les voûtes à tympans élégis, les joints de rupture sont situés plus haut et leurs angles avec Thorizontale varient beaucoup moins que pour les voûtes à tympans pleins. Ainsi, dans les exemples que nous avons considérés, ces angles, partant de "SfH" pour une voûte de 10 mètres, s'élèveraient au plus à 34"^ pour une voûte de 100 mètres. Mais ces valeurs des angles, aussi bien que celles des poussées, ne resteraient pas les mêmes pour d'autres systèmes d'évidements et par suite ne peuvent pas donner des bases aussi certaines que celles qui sont relatives aux tympans pleins.

Comparaison des résuu Le tablcau ci-après résume d'une manière comparative les principaux résulpieiiwT^riTm- tats applicables aux voûtes en plein cintre après l'achèvement des ouvrages.

pans élégis.

OUVERTURE