P'A' — PA

ce qui, en posant h' = -^ "', deviendra :

h, nn ■

Il en résulte que, lorsque -^ sera égal à P, la valeur de K sera nulle, c'est-àdire que la résultante correspondra à la base même de la culée et que, par suite, la pression atteindra cette base au même point que la verticale menée par

le centre de gravité du massif formé par la demi-voûte et la culée.

P' Si j est plus petit que P, le point où la courbe de pression rencontrera la base

de la culée sera nécessairement à gauche de la verticale GQ, et par suite on est certain que la courbe de pression ne sortira pas de la culée vers Tintérieur du pont, mais elle pourra néanmoins tomber à la base trop près de Tarête. Par conséquent, à moins que le centre de gravité ne soit très rapproché du milieu de la culée, il sera nécessaire de déterminer le point où la courbe de

pression en rencontrera la base.

P' Si j est plus grand que P, il sera toujours nécessaire de déterminer le point

où la courbe de pression rencontre la base de la culée, et on y arrive facilement

par une construction graphique. En effet, après avoir calculé la hauteur à

laquelle correspond la résultante R et avoir mené la ligne Kl, jusqu'à la rencontre

de GQ, on prend IJ = R, IM = Q et on trace la résultante IN; le point n où cette

résultante rencontre la base de la culée appartient à la courbe de pression.

La même construction est applicable au cas où la valeur de h^ est négative, » p/

c est-à-dire où on a -^ < P : le parallélogramme des forces devient dans ce cas

rj' M'N', et le point où la courbe de pression rencontre la base de la culée est n'.

(a) En réalité, il n'est pas tout à fait exact de poser h' = ^, parce que h' est égal au tiers de la hauteur totale AB

et non à celui de ÂD; mais la quantité DB peut être négligée sans inconténient toutes les fois que la culée est assez haute pour que la poussée des terres doive être prise en considération.

On peut également obtenir directement par le calcul, la position des points n et n'. On a en effet, pour les distances de Taxe de la voûte aux points où les courbes de pression rencontrent la base de la culée :

Dans le cas où il n^existe pas de poussée extérieure . . a: = D H — —y Dans le cas ou cette poussée existe x^ =i u -\

Eu posant A' = — , celte dernière expression devient. . a-^ = D H jt

D*où il résulte que, suivant que Ton aura|=P, Ç> Pet ^<P, la valeur de a?i sera égale à D, ou plus petite que D, ou plus grande que D, c'est-à-dire que la courbe de pression atteindra la base de la culée ou en m, ou en n, ou n\ Dans ce dernier cas la poussée des terres ne fera parfois qu'améliorer les conditions de stabilité, en rapprochant la courbe de pression du centre de la base de la culée ; mais souvent, même dans ce cas, elle arrive trop près de l'arête extérieure, de sorte qu'il devient indispensable d'augmenter l'épaisseur. Il en est de même à plus forte raison lorsque ^ est > P.

En appliquant la méthode ci-dessus à des arches de 10, 20 et 30 mètres d'ouverture, dont les épaisseurs de culées seraient déterminées seulement de manière à assurer la stabilité contre le renversement à l'extérieur, c'est-à-dire de manière à résister seulement à la poussée de la voûte, on trouve que les hauteurs qui pourraient être données aux piédroits, sans que la courbe de pressions vînt passer à moins du tiers de la base de la culée, du côté extérieur, seraient les suivantes :

Hauteurs

des piédroits.

des remblais.