PROJECTIONS ORTHOGRAPHIQUES

point sur un plan de projection. Un moyen de représenter une portion de la surface terrestre est de former les projections orthographiques des diflërents points de cette figure sur un plan.

Projection orthogpraphlque équatorlale. — PreUOnS

par exemple Téquateur EE^ pour plan de projection (fig. 31), et voyons comment se projettent les parallèles et les méridiens, par exemple, de Thémisphère nord. Chaque parallèle A Ai, étant parallèle au plan de projection, se projette en vraie grandeur suivant un cercle aai dont le centre est la projection p du pôle P, et

Fig. 31. — Projections orthographiques

se confond avec le centre de Téquateur. Chaque méridien PM, étant situé dans un plan perpendiculaire au plan de projection, se projette suivant une droite, qui n'est autre qu'un rayon pM de Téquateur. D'ailleurs Tangle de deux méridiens est évidemment mesura par l'angle que font les deux rayons qui forment leurs projections.

De là résulte le moyen de tracer le canevas de la carte, c'est-à-dire le système des méridiens et des parallèles. L'équateur est représenté en vraie grandeur par un cercle EE, (fig. 32), le pôle par le centre, les méridiens, également espacés de 0^ à 360°, par des

M GLOBES El CARTES GEOGRAPHIQUES.

rayons qui partagent l'équateur en parties égales. Pour tracer des parallèles partageant un demi-méridien en parties égales, on rabat un demi -méridien autour de son diamètre EBi, qui est aussi un diamètre de l'équateur : ce rabattement coïncide avec une moitié de l'équateur EABCOFE,. On partage le quadrant EABCDF en parties égales, on projette les points de division A, B, G, Dsur Icdiamètret et cnQn on trace des

Fig. 3!> -~ ProjMtloa ortlwgDpliiqna sur l'fqvttenr

cercles concentriques à l'équateur, passant par les projections A', B', C, D' : ils représentent les parallèles.

Dans ce système, les régions dessinées au centre de la carte sont Tidèlement figurées, puisqu'elles sont à peu près dans un plan parallèle au plan de projection ; mais celles qui sont voisines du bord de l'némispbère sont complètement déformées et réduites : car leurs lignes parallèles au plan de projection se projettent CD vraie grandeur, tandis que les lignes & angle droit sur les premières, étant presque perpendiculaires au plan de projection, sont représentées en raccourci.

On emploie souvent les projections orthographiques pour les caries du ciel, en prenant l'équateur céleste pour plan de projection.

Projection urtbograpfalqne méridienne. — Sî l'OH VeUt

PROJECTIONS OriTIIOCRAPHimJES. 67

au contraire prendre pour plan de projection un m6ridien EPE,P, {fig. 33), rét|uateur est représenté par un diamètre RE, perpendiculaire à la lisne dea pôles PP,, les parallèles équidistants en latitude par des droites AAi, BB,, CG|, DDiparalIëlesàréquateur et partageant la circonférence du méridien en pariies égales. Quant aux méridiens, comme ils »ont otdiques sur le plan de projection, ils seprojeltentsuivantles ellipses. Pour les obtenir, on rabat le demi-cercle de l'cqualeur, autour de son diamètre EEi, sur le méridien £PE,; on

Fig. 33. — Projection orlhogr>p!i!que mcridicon».

partage la demi-circonrérence en parties égales, on projette les points de division A, B, G. D sur le diamètre EEi ; enfin on trace les demi-ellipses ayant PP, pour grand axej et les projections A', B', C, D' pouisommets du petit axe : elles représeiiteni des demiméridien» également espacés.

Projectioa orlho^raphlqae horlsontalc, — Soit à Construire la projection orthographique de la surface terrestre sur le plan horizontal d'un lieu donné quelconque. Nous supposerons ce plan horizontal mené par le centre de la lerre : c'est notre plan horizontal de projection (Rg. 3i.).

ss

La base de l'hémisphère dont le lieu donné est le pôle

féomélrique se projette horizontalement en vraie graneur suivant le cercle ÂCBD : le centre est la projection du lieu. Le plan méridien du lieu, que nous appellerons premier méridien, étant perpendiculaire au plan de l'horizon, nous le prendrons pour le plan vertical de projection ; sa trace horizontale CD servira de ligne de terre. CD esta la fois la projection horizontale de Taxe terrestre et celle du premier méridien. La projection verticale de Taxe terrestre sera la droite PQ

Fig. 34. — Projection orthographique horizontale.

faisant avec CD un angle considéré.

Projection des pâles. — des pôles sont les points P horizontales sont les pieds passant par ces points.

Projection de Véquateur. étant perpendiculaire à la seront les perpendiculaires de cette ligne. Ainsi AB est

égal à la latitude du lieu

Les projections verticales

et Q, et leurs projections

p et 9 des lignes de rappel

— Le plan de Téquateur ligne des pôles, ses traces AB et EF aux projections le grand axe de la projec-

PROJECTIONS ORTIIOGnAPIIIQUES. 59

lion horizontale de Téquateur, et e/*, projection horizontale de EF, en est le petit axe.

Construisons maintenant la projection horizontale d'un point quelconque de Téguateur, en nous donnant sa longitude. A cet effet, rabattons rcquateur sur le plan horizontal autour de sa trace AB : ce rabattement coïncidera avec le cercle ACBD. L'origine des longitudes sera D, et en prenant Tare DG é^»^al à la longitude donnée, G sera le rabattement du point dont nous cherchons la projection. Or, le point f^^ étant rabattu en D, la droite DGH a pour projection /"H, puisque H, étant sur Taxe AB, reste (ixe. Donc la perpendiculaire Gy à AB donne par sa rencontre en g avec /"H, la projection cherchée.

Projection des parallèles, — Tout parallèle étant perpendiculaire à Taxe terrestre, ses traces seront perpendiculaires Tune à PQ, Tautre à pq. D'ailleurs le premier méridien étant en vraie grandeur dans le plan vertical, si Ton prend Tare FI égal à la latitude, on aura en I le point où le parallèle rencontre le premier méridien, et dès lors les traces sont IJ etNN'. Lesprojectionsdu centre du parallèle sont J et^; les axes de la projection horizontale sont dirigés suivant les droites rectangulaires ^K et jO : la longueur du premier égale JI, et celle du second est jû projection de Jl. D'ailleurs les parties vues et cachées de ce parallèle sont séparées par NN', qui est la trace horizontale, rt aux points N et IN' la projection du parallèle est tangente au cercle ACBD, puisque le plan langent à la sphère en chacun de ces points est vertical.

Il nous reste à construire un point L du parallèle, connaissant la lon«iilude. Pour cela, nous commençons par faire la projection du point G de Téquateur, qui a même longitude que le point L. Il est clair que, dans l'espace, JL est parallèle à OG; donc .//est parallèle à 0^. De même les droites il et fg sont parallèles, 'd'où résulte le point L II faut remarquer d'ailleurs que les projections du parallèle et de l'équateur sont homothétiques, et que par suite les droites Ig qui joignent deux points homologues quelconques vont concourir aur pq.

Projection des méridiens. — La construction des méridiens par points résulte des tracés précédents, puisque nous pouvons construire autant de poiats que nous voulons, en nous en donnant la longitude.

Mais il reste à déterminer les axes des ellipses méridiennes. Le grand axe de VeMipse plgq est la trace horizontale du plan de la méridienne. est un point de de celte trace ; cherchons-en un second, par exemple la trace de la droite projetée en qg. Or q est projeté verticalement en Q, et la projection verticale de G est en g' y à l'intersection de EF et de la ligne de rappel de q. Donc la proiection verticale de la trace cherchée est le point m' où Qg' rencontre CD, et celle trace elle-môme M est à l'intersection de gq et de la ligne de rappel du point m'. Enfin le grand axe de l'ellipse méridienne est ROMS.

Le petit axe s'obtient sans difficulté par le moyen connu, puisque le cercle principal de cette ellipse est ACBD, et que l'on connaît par exemple l'un des points e de Tellipse.

pROJEcrrioNS polyédriques ou polycentriques

Dans ce système, on partage un territoire par des méridiens et des parallèles équidistants, en rectangles de faible étendue, dits coupures géographiques, et on projette chacun d'eux sur le plan tangent mené au globe terrestre par le centre du rectangle. La projetante de chaque point est la verticale, dont la direclion varie d'un point à un autre; ainsi la projection est conique^ et non orthographique..

Les méridiens se projettent suivant des droites, les parallèles suivant des ellipses, des hyperboles ou des paraboles.

Le ministère de l'intérieur publie actuellement une carte de France construite d'après ce principe à l'échelle de 1 0^0 ' Le territoire est partage en 500 coupures * par des méridiens et des parallèles, espacés les uns de 30', les autres de 15'. En conséquence les dimensions des feuilles varient avec la latitude.

Nous ajouterons que, dans le tracé de chaque carte partielle, on dépasse un peu les limites formées par les méridiens et les parallèles extrêmes du canevas.

Les avantages de ce système de projection, le plus rationnel de tous, sont nombreux. Chaque feuille est

PROJECTIONS STÉRÉOGHAPHIQUCS. 61

exactement orientée. Toutes les feuilles répondant à des coupures situées entre deux mêmes parallèles sont égales. Le numérotage des feuilles se fait par une table à double entrée, donnant les longitudes et les Uatitudes des coupures. Enfin la représentation du territoire se fait sans déformation appréciable.

Théoriquement, les cartes partielles ne peuvent s'assembler sur un plan, puisque la surface du polyèdre de projection n'est pas développable. Toutefois une carie se raccorde rigoureusement avec l'une quelconque de celles qui lui sont adjacentes. L'assemblage des cartes se ferait exaclement sur une sphère. Mais, grâce à l'extensibilité du papier, on peut, sans aucune difficulté, réunir sur un plan 16 ou 24 feuilles de la carte du ministère de l'intérieur.

On se rendra compte aisément de cette possibilité si l'on réfléchit que la flèche d'une calotte sphérique terrestre de 100 kilomètres de diamètre est égale à 200 mètres environ, ce qui donne 2 millimètres à

l'échelle de tôtctôô-

Depuis quelques années, les projections polyédriques sont en grande faveur.

Plusieurs États de l'Allemagne, l'Autriche, l'Italie, l'Espagne, ont construit leurs cartes de détail d'après ce principe.

voir note V, page 310, à la fin de ce volume, les calculs relatifs aux formules pour les projections polyédriques.

PROJECTIONS STEREOGRAPHlgUES

Imaginons le globe terrestre partagé en deux hémisphères par un grand cercle AB (tig. 35). Soit V le pôle géométrique de l'un de ces hémisphères, M un point quelconque de l'hémisphère opposé; menons la droite VM : le point m où elle rencontre le plan AB est la pro-jection stéréographique du point M. La projection stéréographique d'une ligure quelconque tracée sur

1. De (TTspeo;, solide, et ypàcpeiv, dessiner: dessin en relief. Pour la Uiéorie coaiplèle des projections stéréographiqucs, consulter le Cours de géométrie élémentaire de M. Combetlc. Nous démontrons seulement ici les propriétés qu'on utilise dans la construction des cartes.

le globe dans Thémisphère opposé à V, e^t le lieu (les projections stéréographiques des points de celte ligure.

En général les géomètres appellent perspective d'un point l'intersection de la droite qui joint ce point à un point fixe appelé point de vue, et d'un plan iixe appelé plan de perspective. La définition précédente peut donc s'énoncer ainsi : La projection stéréographique d'un point de la surface terrestre est la perspective de ce points lorsqu'on prend pour point de vue un point de la surface de la terre, et pour plan de perspective le grand cercle ayant le point de vue pour pôle.

Fig. 3« . — Projections stéréographiques.

Les projections stéréograptiijjues jouissent de deux propriétés qui les rendent précieuses pour la construction des cartes, et que nous allons démontrer.

Théorème I. — Tout Cercle tracé sur la sphère a pour projection stéréographique un cercle.

Observons d'abord que le quadrilatère ayant pour sommets deux points quelconques M, N de la sphère, et leurs projections stéréographiques m, n est inscriptible. Car si nous menons le plan des deux droites VM, VN, il coupe la sphère suivant un cercle VMN (fig. 36) (qui est en général un petit cercle), le plan du cercle AB

PROJECTIONS STÉRÉOGRAPHIQUES.

et le plan tangent en V à la sphère, qui sont deux plans parallèles, suivant des droites parallèles GmnD,

TT', dont la deuxième est é\^idemment tangente au cercle de section. Dans le quadrilatère MNnm, l'angle

Fig. 37. — Projection stéréographique d*un cercle .

inscrit N a la même mesure que la moitié de Tare

MC GV

compris entre ses côtés -^"+-^î l'angle DmV, dont le sommet est à l'intérieur du cercle, a la même mesure que

(i'i GLOBES ET CARTES GÉOGRAPHIQUES.

la demi-somme des arcs compris entre ses côtés et les

prolongements de ses côtés, '-^-f- -x- • Mais VD = CV.

comme arcs interceptés par deux parallèles; il s'ensuit que le quadrilatère MNnm a un angle intérieur N égal à l'angle extérieur opposé DmV, et est inscriptible.

Cela posé, considérons un cercle quelconque C mené sur la sphère (flg. 37), traçons la perspective m d'un de ses points M, puis imaginons la sphère S qui contient la circonférence C et le point m : il suffit pour l'obtenir, de faire passer une sphère par trois points pris à volonté sur la circonférence G et par le pomt m; car la sphère ainsi tracée, courant la sphère donnée suivant un cercle, contient la circonférence C tout entière. Faisons maintenant la perspective n d'un autre point quelconque N de la circonférence C. Les points M, N, m, n sont, comme on vient de le démontrer, sur une même circonférence, qui, contenant les trois points iVI, N, n, est située sur la sphère S. Ainsi les perspectives de tous les points de C appartiennent à rintersection de la sphère S et du plan AB; ils sont donc sur un même cercle.

Bemarque. — Toutefois un grand cercle qui passe par le point de vue a évidemment pour perpeclive une droite. On sait d'ailleurs que la droite peut être considérée comme la limite vers laquelle tend un cercle lorsque son rayon croît indéfiniment.

Théorème 11. — L'angle de deux courbes qui fie coupent sur la sphère est égal à celui de leurs projections stéréographiques.

Rappelons d'abord qu'on entend par angle de deux courbes qui se coupent l'angle formé par leurs tangentes au point d'intersection.

Soient MP, MQ (fig. 38) les tangentes à deux courbes qui se coupent sur la sphère, P, Q leurs traces sur le plan de perspective, P', Q' leurs traces sur le plan tangent mené par le point de vue V, m la projection stéréographique du point M. Menons les droites P'V, Q'V : elles sont tangentes à la sphère comme situées dans un plan tangent, et par conséquent égales respectivement aux droites P'M, Q'M, tangentes à la sphère issues des mêmes points. Il en résulte que les triangles P'MQ', P'VQ' sont égaux comme ayant leurs trois côtés égaux, et que les angles P'MQ', P'VQ' le sont aussi. Mais les angles P'VQ', PmQ sont égaux eux-mêmes puisque leurs côtés, intersections de deux plans parallèles par

PROJECTIONS STÉRÉOGRAPHIQUES.

un troisième, sont parallèles, et le théorème est démontré.

Fig. 38. — Conservation des angles dans les projections stéreographiques.

Corollaire. — Une figure de petiteë dimensions tracée sur la terre est semblable à sa "projection stéréogror' phique.

En effet on peut la décomposer en petits triangles. Les côtés de chacun d'eux sont de petites portions de courbes, et se confondent avec leurs tangentes; ainsi ces triangles et leurs projections stéreographiques sont semblables comme équiangles, d'où résulte la similitude des figures considérées.

• C'est là l'avantage le plus important des projections stéreographiques appliquées à la géographie. Car il est essentiel qu'au moins les petites portions de pays soient représentées sur une carte par des figures semblables.

L'inconvénient des cartes construites d'après ce système c'est que des étendues égales de la surface ter-

PoRCHON; Cours de cosmographie.

restre ne sont pas figurées par des aires égales. Les contrées situées au bord de riiémisphère sont égales à leur projection stéréographique : car une ligne dirigée suivant le berd de 1 hémisphère est à elle-même sa propre projection, et, pour que le tracé sur la carte soit semblable à la figure qu'elle représente, il faut que les autres dimensions se projettent aussi en vraie grandeur. Mais les régions situées au milieu de l'hémisphère sont réduites dans le rapport de 1 à 2 quant aux lignes, de 1 à 4 quant aux surfaces : car si MN (fig. 39) est une petite ligne située dans la région diav

Fîg. 39. — Altération des dimensions dans les projections stéréographiques.

métralement opposée au point de vue V, et mn sa projection, les triangles semblables donnent.

mn Vm 1