DÉVELOPPEMENT CONIQUE

Développement de Ptoiémée. — LoTsqu'on veut représenter une portion de la zone interceptée sur la terre par deux parallèles, on emploie le développement conique, dit de Ptoiémée.

Soient AB, CD (fig. 42) les parallèles qui limitent la

70 fil-OBES ET CARTES GÉOGItAPIlIOLES.

région, EF le parallèle moyen, c'est-il-dire partageant

ProjHtiDD «miqal.

en deux parties égales l'intervalle de leurs latitudes, AC, BD les méridiens limites, GH le méridien moyen.

PROJECTIONS STÉBÉOCRAPHIQUES. 71

On circonscrit à la sphère, suivant le méridien moyen, un cône SIK ; son sommet est sur la ligne des pôles. Cliaque point de la région considérée est à une Taible dislance de la surface du cône circonscrit; on l'y projette par une perpendiculaire à l'axe du cône, et on développe sur un plan la surface conique, qui est en effet développable.

. La portion de cône SEF a pour développement le

Pig. tS. — IMieloppentent coniqnt modillé.

secleur circulaire se/. Les parallèles sont représentés par des cercles ayant pour centre commun le sommet fi, et les méridiens par des rayons.

On apporte quelquefois à ce système diverses modliications dont voici les principales.

Développement eonl*|ao modIBé. — Après aVOlr Obtenu, comme dans le développement de Ptolémée, le point m qui représente le point central M de la région (fig. 431, le pôle s. et l'arc ef qui représente l'arc de parallèle moyen EF, on prend a partir du point m, sur

la droite «m, les longueurs mg, mhy égales aux arcs de méridien MG, MH, rectifiés. Du points comme centre, on décrit des cercles avec sg, sh comme rayons, pour représenter les parallèles extrêmes. Sur ces cercles on prend les arcs ga, gb^ hcj hd, me, m/*, égaux rospectivement en longueur aux arcs GA, GB, HC, HD, ME, MF pris sur la sphère : les trois points aec et les trois points bfd déterminent deux cercles qui représentent les mé* ridiens extrêmes.

Pour avoir les méridiens intermédiaires, on partage les trois arcs de parallèles ga, me, hc, en un même nombre de parties égales, et par les points de division a'eV on fait passer des cercles. Enfin les parallèles inlermédiaires s'obtiennent en partageant gh en parties égales, et en faisant passer par les points de division des cercles ayant s pour centre.

Développement de Flamsteed. — DanS Ce système, On

r^.présente le méridien moyen par une droite gh égale à l'arc GH rectifié (fig. 44) et les parallèles par des perpendiculaires équidistantes élevées sur gh. bur ces droites on porte les longueurs ga^ np^ me... hc, égales

Fig. 44. — Déreloppement de Flamsteed.

en longueur aux arcs de parallèles compris entre le méridien moyen et un autre méridien quelconque; on joint les points ape,.. c par un trait continu, qui représente cet autre méridien. Tous les méridiens, extrêmes ou intermédiaires, se construisent ainsi par points.

Carte de l'état-major. — Le développement conique a été adopté, avec d'importantes modifications, pour la carte de France publiée par Tétat-major. Considérons (fig. 45 et 46) le réseau des méridiens et des parallèles sur le globe terrestre ; soit A le point par lequel passe le méridien moyen et le parallèle moyen. Le méridien moyen CE est rej^ résenté par une droite cae. Pour tracer leparallèle moyen, on mène la tangente AS au méridien EC jusqu'à sa rencontre avec la ligne des pôles en S; on porte sur la droite ec,.à partir du point a, la longueur as égale à AS, et en lin on décrit un cercle du

Ctneias d* Ja carie de France di l'élaL-m^OT.

points comme cen lie avec sa pour rayon : ce cercle représente le parallèle.

Pour obtenir les autres parallèles, on porte sur le méridien moyen des longueurs ab, bc, ad, de égales aux arcs AB, BC, AD, DE rectiQés ; les parallèles sont figurés par des cercles décrits du point s comme centre et passant par les points 6, c, c/, e.

Sur ces cercles on porte les arcs aa\ bb\ cc\ dd\ ee' égaux en longueur aux arcs AA', BB', GC, DD', EE' : le lieu des points a', 6', c', d\ e', qu'on unit par un trait continu, est la représentation du méridien A'B'G'D'E'. De même en portant sur les parallèles aV = A'A", 6'6" = B'B", etc., on obtient Je méridien a"b"c"d"e'' et ainsi des autres.

Telle est théoriquement la construction du canevas.

Mais dans la pratique on sert de formules (Voir Note III) . L'avantage précieux de ce développement, c'est que les aires sont représentées par des aires équivalentes. Considérons en effet, sur le globe, le quadrilatère B'B^C'C", supposé très petit, et terminé par deux parallèles et deux méridiens. 11 peut être considéré comme la somme de deux triangles rectilignes, B'G"C', B'G"B", ayant respectivement pour bases G'G", B'B", et pour hauteur commune la distance BG des deux parallèles. Sur la carte, la figure correspondante b'b^c'c" est également la somme de deux triangles 6'cV, 6V'6", ayant aussi pour bases cV, b'b'\ et pour hauteur commune bc : ils sont équivalents aux premiers, chacun à chacun, comme ayant même base et même hauteur. Une portion de la surface sphérique et sa représentation surla carte, étant décomposables en petites portions équivalentes, sont équivalentes *.

D'un autre côté, ce mode de développement déforme peu les figures qu'il est destiné à représenter : on peut s'en convaincre en observant que, sur la carte (fig. 42), les méridiens et les parallèles se coupent sensiblement à angle droit. Ainsi les angles sont conservés à peu

[)rès avec leur véritable grandeur, d'où il résulte que a similitude est obtenue approximativement.

La carte de l'état-major, commencée en 1831, a été achevée en 1875. Construite à l'échelle de goiôc» elje

1. La démonstration généralement donnée par les auteurs, et consistant à regarder la figure h' h" de" comme un trapèze ayant pour bases Uh" et c^c"^ est inexacte. Car b'b"^ c'c" ne sont pas parallèles dès qu'elles sont situées à une distance finie du méridien moyen 6c.

CARTE Dfi L'ÉTAT-MAJOB. Va

comprend 274 feuilles de 50 cenlimëlrcsde haut sur 80 de large, en lout HO mètres carrés. Les plans desvilleij sont publiés à l'échelle de tuiao' '^s environs de Paris et le Monl-Blanc & loJoo- H existe aussi dans le commerce des agrandissements par l'héliogravure, notamment pour le département le I Se ne au ^aooo- Nos offe ers dé at major s occupent actuellement

Fig. 47. — Ensemble de la carte de FriDCa dnssée par rétat-major.

d'une revision complète de ce travail, dont les premières feuilles remontent à 50 ans.