DE LA LIGNE DROITE ET DE LA CIRCONFÉRENCE

La géométrie est une science mathématique qui a pour objet l’étude des propriétés do X étendue.

L’étendue se présente sous plusieurs aspects; ainsi, dans un corps on distingue : 1° son volume, c’est-à-dire la portion de l’espace qu’il occupe;

2° Sa surface, c’est-à-dire ce qui le sépare du reste de l’espace, son enveloppe.

La surface d’un corps est simple comme celle d’une sphère, d’un œuf (fig. 1), ou composée comme celle d’un dé à jouer, d’une tranche de fruit (fig. 2).

Fig. 1.

On appelle surface plane ou plan celle sur laquelle une règle peut être appliquée dans toutes les directions.

La surface du dé à jouer est composée de plusieurs plans ;

3° Ses arêtes, c’est-à-dire les intersections des différentes parties de sa surface, si celle-ci est composée ; ce sont des lignes ;

4° Ses sommets, c’est-à-dire les intersections de ses arêtes quand celles-ci se rencontrent ; ce sont des points.

Une surface n’a pas d’épaisseur.

Une ligne n’a ni épaisseur, ni largeur.

Un point n’a ni épaisseur, ni largeur, ni longueur, il n’a pas d’étendue.

Dans les arts, on donne souvent le nom de points à des portions de surfaces et de solides qui n’ont que des dimensions fort petites ; tels sont les points de l’écriture, les points du tailleur. Le point mathématique est purement idéal.

Les volumes , les surfaces et les lignes sont les trois formes de l’étendue. On les représente par des figures.

En géométrie, on étudie les figures indépendamment de la nature des corps quelles caractérisent.

Lignes. — Une ligne peut être regardée comme le chemin à parcourir pour se rendre d’un point à un autre.

On distingue parmi les lignes courbes les lignes planes et les lignes gauches ou à double

La ligne droite (fig. 3) est celle qu’on parcourt en suivant toujours la meme Fig. 3. direction ; c’est le plus court chemin d’un point à un

autre.

11 résulte de cette définition : 1° que d’un point à un autre on ne peut mener qu’une seule ligne droite ; 2° que, si l’on applique deux points d’une ligne droite sur une autre ligne droite, ces deux lignes coïncident dans toute leur étendue.

La ligne courbe (fig. 4) ne peut être parcourue qu’en changeant sans cesse de direction, elle n’est ni droite, ni composée de lignes droites.

Fig. 4 Fig- 5

Une ligne composée de lignes droites (fig. o) est dite brisée.

Une ligne composée de lignes droites et de lignes courbes (fig. 6) est appelée ligne mixte.

L’intersection de deux surfaces planes est une ligne Fig- 6 / droite, les arêtes du dé à jouer sont des lignes droites.

On appelle ligne horizontale ou ligne de niveau, celle qu’on peut parcourir sans monter ni descendre. Les droites situées sur la surface d’une eau tranquille sont horizontales. Une ligne horizontale peut être droite ou courbe.

On appelle ligne verticale, une ligne droite qui va de haut en bas, sans incliner ni à droite ni à gauche, et qui passerait par le centre de la terre, si

elle était prolongée suffisamment. Telle est la direction du fil à plomb (fig. T).

On appelle lignes parallèles, des lignes droites qui, situées sur un même plan, ne se rencontrent pas si loin qu’on les prolonge.

On dit qu'une droite, qui en rencontre une autre, est perpendiculaire à celle-ci lorsqu’elle est également inclinée sur les deux portions de cette droite. Dans le cas contraire, elle est oblique.

Fig. 10

Fig. 8

courbure. Les premières peuvent être appliquées sur un plan, comme la circonférence (fig. 8); les secondes, comme 1 hélice (fig. 9), sont dépourvues de cette propriété.

La circonférence (fig. 10) est une ligne courbe, plane, dont tous les points sont également distants d un point C, situé dans son plan et qu’on nomme centre.

La distance d un point de la circonférence au centre est le rayon.

Connaissant le centre d’une circonférence et son rayon, on trace facilement cette courbe à l’aide du compas (fig. 11).

On appelle arc (fig. 12), une portion ABC de la circonférence.

La droite AB (fig. 13) qui joint les extrémités d’un arc s’appelle corde.

On donne le nom de diamètre à toute corde qui passe par le centre, dans ce cas l’arc est égal à la demi-circonférence. Tous les diamètres sont égaux au double du rayon.

La circonférence est divisée en deux arcs égaux par un diamètre quelconque.

On appelle sécante (fig. 14), toute ligne droite AB qui a deux points communs avec la circonférence.

Fig. 13

Une ligne droite AB est tangente à une circonférence, lorsqu’elle n’a qu’un point G Fig4 16 commun avec cette courbe ; ce point est appelé point de

contact.

La tangente à la circonférence (fig. 15) est perpendiculaire au rayon 0 C du point de contact.

Deux circonférences sont tangentes en un point A qui leur est commun, lorsqu’elles ont la même tangente B G en ce point.

11 y a deux cas où deux circonférences peuvent être tangentes :

1° Lorsque les circonférences sont situées de part et d’autre du point de contact

(fig- 16);

Fig. 18

2° Lorsqu’elles sont toutes les deux situées du même côté de ce point de contact (fig. 17.)

On confond souvent la circonférence avec la portion de plan qu’elle limite, qui est un cercle, et on dit arc de cercle au lieu de dire arc de circonférence.

La circonférence ayant été divisée en 360 arcs égaux, un de ces arcs s’appelle arc de 1 degré. On dit un arc de 10 degrés, un arc de 275 degrés.

La longueur de la circonférence s’obtient en multipliant son diamètre par le nombre 3.1416 [représenté par abréviation dans les formules par la lettre grecque (pi) : C = ^D ou 2icR]. Les circonférences sont proportionnelles à leurs rayons.

Dans deux circonférences de rayons différents, les arcs d’un même nombre de degrés sont proportionnels aux rayons.

Pour élever une perpendiculaire sur le milieu d’une droite AB (fig. 18), on décrit des extrémités de cette droite comme centres avec un rayon plus grand que la moitié de AB des arcs qui se coupent au-dessus et au-dessous de cette droite, et l’on joint les deux points obtenus C et D par une droite, qui est la perpendiculaire, sur le milieu de AB.

Par trois points ABC non en ligne droite (fig. 19), il passe une circonférence dont le centre O est l’intersection des perpendiculaires élevées sur les milieux des lignes droites qui joignent ces points.

Cette circonférence est unique.

Pour abaisser une perpendiculaire du point donné A sur une droite CB (fig. 20), on

Cd

Fig. 19 Fig. 20

Fig 21

décrit du point A un arc de cercle qui coupe en DE la droite CB, puis on élève une perpendiculaire sur le milieu de DE.

Pour élever une perpendiculaire à l’extrémité A d’une droite AB (fig. 21) du point A comme centre avec une longueur arbitraire, on décrit un arc de cercle mn, puis avec la même ouverture de compas, du point m, on décrit un autre arc de cercle qui rencontre le premier au point C. On joint m à C, et l’on prolonge cette droite; enfin, du point C, toujours avec la même ouverture de compas, on décrit un troisième arc de cercle qui coupe ???C en D. — DA est la perpendiculaire cherchée.

Pour mener par un point donné A une droite parallèle à une droite donnée BC (fig. 22), Fig- 22 on prend deux points quelconques DE sur la droite, puis, du

— - — point A avec un rayon égal à DE, on décrit un arc de cercle, et,

du point E comme centre avec un rayon égal à AD, on trace un B ^ E ^ second arc qui vient couper le premier en F. — La droite AF

' ’ +— ’ est la parallèle cherchée.

On abrège beaucoup les constructions des problèmes qui précèdent, en faisant usage des instruments nommés règle et équerre.

La règle est une barre de bois ou de métal dont les faces sont planes et les bords droits.

L’équerre est une petite planche de bois de forme triangulaire dont deux côtés sont perpendiculaires l’un à l’autre ; pour qu’elle soit plus aisée à manier, on y pratique une ouverture circulaire qu’on appelle l’œil de l’équerre. Si les deux côtés perpendiculaires sont inégaux, l’équerre est dite allongée (fig. 23) ; si ces côtés sont égaux, l’équerre est dite à 45 degrés (fig. 24)

Lorsqu’on veut vérifier une équerre, c’est-à-dire reconnaître si le plus grand de ses angles est droit (Voyez chapitre II ce qu’on entend par angle et angle droit), on décrit (fig. 25) un demi-cercle AD B avec un rayon arbitraire CA, et l’on inscrit un angle droit ADB, en joignant un point quelconque D de la circonférence aux extrémités du diamètre

Fig. 23

AB par les cordes DA, DB. On applique ensuite le plus grand angle de l’équerre FEG sur ADB, de manière que le sommet E coïncide avec D et le côté EF avec DA. Si le côté EG de l’équerre prend alors une direction autre que celle deDB, l’équerre est fausse, mais au contraire si le côté EG prend la direction de DB, l’angle FEG est égal à l’angle droit ADB et l’équerre est juste.

Par un point donné 0 (fig. 26), mener avec l’équerre une perpendiculaire sur une ligne droite donnée MN.

Si le point 0 se trouve sur la ligne droite M N, je place un des côtés de l’angle droit d’une équerre sur cette ligne de manière que le sommet de cet angle coïncide avec le point 0, et j’applique une règle AD contre l’autre côté OC de l’angle droit de l’équerre. J’ôte ensuite l’équerre, et je tire une ligne droite le long du bord de la règle qui passe par le point 0.

Cette ligne droite AD est perpendiculaire à MN, puisque l’angle AON est égal à l’angle COB de l’équerre.

Si 0 n’est pas un point de la ligne droite MN (fig. 27). j’applique sur cette ligne le bord d’une règle, et contre cette règle le côté BG de l’angle droit ABC d’une équerre. Je fais glisser ensuite l’équerre le long de la règle immobile, jusqu’à ce que l’autre côté AB de l’angle droit ABC passe par le point 0, et je trace la perpendiculaire OP en suivant la direction AB.

Fig. 2S

Le même problème peut être résolu dans les deux cas à l’aide de l’équerre à 45 degrés. — On fait coïncider le grand côté (fig. 28) AC avec MN, et on applique une règle le long d’un des côtés BC de l’angle droit ; puis, la règle étant fixe, on déplace l’équerre qu’on fait glisser par son côté AB le long de la règle jusqu’à ce que AC passe par le point 0. Bans celte position, le grand côté est perpendiculaire à MN.

Fi*- 29 Par un point donné 0 (fig. 29), mener avec l’équerre une

parallèle à une ligne droite donnée MN.

J’applique une règle contre le petit côté A C d’une équerre ABC. Je place ensuite le système de ces deux instruments de telle sorte que l’hypoténuse AB de l’équerre coïncide avec la ligne droite MN, et que la distance du point 0 à la règle soit moindre que BC. Cette position étant trouvée, je fais glisser l’équerre le long de la règle que je tiens immobile jusqu’à ce que son hypoténuse AB passe par le point donné 0 ; puis je tire la ligne droite PQ en suivant ce côté de l’équerre.

Fig. 30 A