PROBLÈME

Construire un polygone p semblable à un polygone donné P, le rapport de similitude de la figure demandée à celle donnée devant être égal à

lre Solution. — Sur une ligne indéfinie xy (fig. 136) prendre ab = AB, faire abc'

— ABC; prendre bc = ~ BC, faire bcc' = BCD ; prendre ccl = — CD, joindre da.

Vérifications. — 1° cda = CDA ;

2° da = f DA;

3° dab = DAB.

Remarque. — Si xy a été prise parallèle à AB, on fera b = B et c = C et menant b b' parallèlement à BC et cc' parallèlement à CD, on devra obtenir da parallèle à DA.

2e Solution. — Prendre un point 0 quelconque à l’extérieur de la figure 137 et joindre

ce point aux différents sommets AB CD ; diviser l’une des droites ainsi obtenues (OA par exemple) en quatre parties égales, prendre le point a à l’extrémité de la troisième division à partir de 0; mener a a' parallèle à AB jusqu’à sa rencontre b avec OB, b b' parallèle à BC jusqu’à sa rencontre c avec OC, cc' parallèle à CD jusqu’à sa rencontre d avec OD, enfin joindre cl a.

Vérifications. — 1° da parallèle à DA.

2° Chacun des côtés du polygone abccl égal à -J- des côtés parallèles du polygone AB CD.

3° Les lignes OB, OC, OD divisées par les points bc et d aux-| de leurs longueurs à partir du point 0.

Fig. 136

Deux lignes courbes semblables sont telles qu’on peut y inscrire des polygones ou des Fj r 138 lignes polygonales semblables, c’est-à-

dire ayant les angles égaux et les côtés homologues proportionnels .

Cette propriété permet de construire une courbe c (fig. 138 et 139) semblable à une courbe donnée C, le rapport de similitude des deux courbes étant donné (-|-par exemple).

On opérera de la manière suivante.

(Voir : Construction des polygones semblables, 2e solution, 3e vérification). La courbe

donnée sera divisée en arcs de longueurs égales ou inégales, mais d’autant plus petits qu’on voudra obtenir un résultat plus exact.

Les points de division seront joints à un point 0 (fig. 140) pris arbitrairement par des droites qu’on partagera en quatre parties égales. La courbe cherchée sera celle qui passera Fja 140 par les extrémités des 3es divisions comptées à partir du

point 0.

Deux cercles sont des figures semblables.

Deux secteurs de cercles, correspondant à des angles au centre égaux, sont semblables.

Le rapport de similitude de deux cercles ou de deux secteurs semblables, est égal au rapport des rayons.

Deux ellipses dans lesquelles le rapport du grand axe au petit axe est le même, sont semblables.

Le rapport de similitude de deux ellipses semblables est le même que celui des grands ou des petits axes.