DES SOLIDES

Fig. I. — Ombre d’un cube. — Les arêtes verticales cl h d'h', bf Æ'/'et les rayons lumineux dirigés le long de ces arêtes forment deux plans perpendiculaires an plan horizontal de projection ; de plus, leurs traces horizontales sont dirigées parallèlement à la projection horizontale du rayon lumineux ; de même l’arête horizontale cd c'd' et les rayons lumineux., déterminent un plan perpendiculaire au plan vertical de projection et sa trace verticale est parallèle à la projection verticale de la direction lumineuse.

Nous mènerons donc en projection horizontale, aux points h et f. deux lignes parallèles à 45° ; les points dd' b b' de la face supérieure du cube, ont respectivement leur ombre portée horizontalement aux points ij ; les ombres des arêtes verticales dh d'h! et bf b' fr sont donc limitées en hi et en f j. Les arêtes bc b'c' , cd c'd' et les rayons lumineux, déterminent des plans qui ont leurs traces horizontales en jk et hi, kk' étant la trace horizontale du rayon lumineux partant de l’angle c du cube. Comme vérification, les ombres horizontales des lignes bc et cd devront leur être respectivement égales et parallèles à ces lignes*

De même que nous avons obtenu l’ombre portée horizontalement par le cube en cherchant les traces horizontales de certains rayons lumineux et en les joignant par des lignes droites, de même nous devrons chercher les traces verticales de ces mêmes rayons, et les joindre pour obtenir l’ombre portée sur le plan vertical.

Remarque I. — Les ombres portées sur les deux plans de projection se coupent sur la ligne de terre.

Remarque II. — Par suite de l’égale inclinaison du rayon lumineux sur les deux plans de projection, les traces horizontale et verticale d’un rayon lumineux, se trouvent sur une parallèle à la ligne de terre.

Fig. II. — Ombre d’un parallélipipède. — On devra opérer de la même façon que précédemment ; on” remarquera que les arêtes horizontales du solide étant situées d’une manière quelconque, par rapport au plan vertical ; dans la détermination des ombres, il ny aura pas de plan perpendiculaire au plan vertical, et par conséquent, pas de trace dirigée à 45°, comme cela existe dans le cas énoncé plus haut.

Fig. III. — Ombre d’un prisme. — Les rayons qui s’appuient sur les arêtes verticales ci c'i', ag a! g' , déterminent des plans perpendiculaires au plan horizontal, leurs traces horizontales sont dirigées à 4o° en laissant dans l’ombre les faces cibh et cigbh ; les ombres portées horizontales des arêtes considérées, sont limitées en i f et en gel ; les deux

arêtes horizontales ab et bc portent horizontalement en de et ef des ombres respectivement parallèles et égales à ces lignes. Les ombres sur le plan vertical s’obtiennent en joignant les traces verticales des mêmes rayons lumineux dont nous nous sommes servis pour déterminer l’ombre sur le plan horizontal.

Fig. IV. — Ombre d’une pyramide. — Prenons une des faces de la pyramide, la face es b par exemple ; pour savoir si cette face est éclairée, il nous suffira de mener par son arête es un plan parallèle aux rayons lumineux, ou simplement, un plan contenant un rayon lumineux, car, il est bien évident que tous les rayons lumineux qui s’appuient le long de l’arête es seront contenus dans ce plan ; nous mènerons de préférence le rayon lumineux par le sommet ss' ; la trace horizontale du plan considéré, nous est donnée en ex ; or, cette ligne qui est l’ombre portée par l’arête es, se trouve en dehors de la base cb, ou autrement dit, la facecsÆ se trouve dans l’ombre ; nous obtiendrons de la même façon la trace ax, ombre portée horizontale de l’arête as ; on déduira facilement les traces verticales, c’est-à-dire, les ombres portées sur le plan vertical.

Fig. V. — Ombre d’un cylindre. — Les rayons lumineux tangents à une surface cylindrique déterminent un plan ; ce plan tangent est dès lors parallèle à la direction lumineuse.

Or, pour mener un plan tangent à une surface cylindrique parallèlement à une ligne donnée, il suffit de déterminer un plan avec une parallèle à la ligne, et une parallèle aux génératrices de la surface, d’en chercher la trace sur un plan auxiliaire qui couperait la surface cylindrique, et de mener à la courbe d’intersection, une ou plusieurs tangentes parallèles à la trace du plan ; aux points de tangence, on a ainsi les traces des génératrices qui déterminent les ombres propres.

Dans le cas qui nous occupe, le plan tangent sera perpendiculaire au plan horizontal de projection, puisqu’il doit contenir une génératrice verticale du cylindre ; de plus, sa trace horizontale sera parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux ; le problème revient donc à mener deux tangentes à 45° sur le cercle de base ; les points de tangence sont en a et b, on en déduit les génératrices verticales a! c' et b'd' , lignes de séparation de l’ombre et de la lumière.

Pour l’ombre portée sur les plans de projection, on recherchera les traces limitées des plans tangents sur ces plans ; les lignes obtenues doivent se raccorder à l’ombre portée de la portion cgd du cercle supérieur. Le plan de ce cercle étant parallèle au plan horizontal, son ombre horizontale sera un cercle identique au premier, on trouvera facilement son centre. Quant à son ombre verticale, elle donnera une portion d’ellipse qu’on tracera par points.

Pour plus de justesse on a construit l’ellipse entière, on a indiqué sur l’épure huit poinls principaux ; les points 1 et 2 sont les points les plus haut et les plus bas ; en ces points, les tangentes à la courbe sont horizontales ; les points 3 et 4 sont les points où l’ellipse est tangente aux deux rayons lumineux issus des extrémités du diamètre hi, h' ï ; aux points 3 et 6 l’ellipse se raccorde avec les lignes verticales d’ombre portée ; enfin, les points 7 et 8 qui se trouvent sur une même verticale et sur les mêmes horizontales que

5 et 0, sont les ombres portées par les deux points du cercle qui se trouvent dans le plan de symétrie og.

Fig. VI. — Ombre d’un cône. — Pour obtenir l’ombre propre d’une surface conique, il s’agit de mener à cette surface un plan tangent parallèle aux rayons lumineux et de déterminer la génératrice de contact ; on opérera donc de la manière suivante :

Sur le sommet s' s du cône, on mènera une parallèle aux rayons lumineux, on cherche la trace x' x de cette ligne avec un plan quelconque. On a choisi de préférence le plan horizontal de projection. Bu point xx' s’il y a lieu, on mènera des tangentes à la courbe directrice ; les points de tangence ab seront les traces horizontales des génératrices qui déterminent l’ombre propre du cône ; on trouvera facilement leurs projections verticales.

Il est à remarquer que la trace xx' peut se trouver à l’extérieur, sur la directrice, ou à l’intérieur du cône, ce qui donnerait la possibilité de mener deux tangentes dans le premier cas, une seule dans le deuxième cas et l'impossibilité d’en mener dans le dernier.

A la première solution seulement, répond la position d’un cône ayant une ombre propre: dans les deux autres solutions le cône est entièrement éclairé.

Pour obtenir l’ombre portée sur les deux plans de projection, on remarquera que les lignes qui déterminent cette ombre sont les traces des plans tangents sur ces plans.

Pour un de ces plans tangents, par exemple, nous avons les deux traces horizontales b b' et xx' de deux lignes de ce plan ; du reste, nous connaissons cette trace ; en effet, cette trace est la tangente bx qui a été menée comme ligne du plan tangent.

Nous avons de meme la ligne ax.

On déduit facilement les traces verticales.

PLANCHE II

APPLICATION

Soit à trouver les ombres propres et portées d’un prisme surmonté d’une pyramide, le tout reposant sur le plan horizontal.

Projetons ces solides sur un plan perpendiculaire aux arêtes du prisme. Ce prisme s'y projette suivant un octogone et la pyramide suivant un triangle.

Projetons de même sur ce plan le rayon lumineux yx, y'x\ on obtiendra comme rayon rabattu x y vyi étant égal à zy' .

Par tous les angles des solides en rabattement menons des parallèles à ce rayon rabattu. En remarquant les points où ces rayons rencontrent l’autre solide, ou le plan horizontal , il nous sera facile, au moyen de lignes de rappel perpendiculaires à LT, d’en déduire les

points marquants de l’ombre, car ces points se trouvent aux intersections de ces lignes de rappel et des rayons lumineux menés des points considérés.

Ainsi les deux points d’ombre //', projetés en sont portés par les points g et e des arêtes de la pyramide, ces points étant déduits de g{ et c, du rabattement. De plus, les points / et /' donnent des ombres horizontales en h et h', déduites de hr

La droite AB, qui repose sur le prisme et sur la pyramide aux points a et b, porte une ombre sur le plan horizontal en CD ; elle donne sur les solides des ombres droites qui se brisent aux arêtes de ces solides.

Ainsi le pointa porte une ombre sur lui-même ; pour avoir le point qui fournit l’ombre c sur l’arête du prisme, nous le déduirons du point d{, donné sur le rabattement, en menant le rayon lumineux inverse cldit c’est-à-dire qu’au lieu de chercher l’ombre portée par un point, on cherche le point qui porte une ombre dont on connaît la projection dans une certaine position.

PLANCHE III

PERRONS

Fig. I. — Perron carré. — Les arêtes horizontales aa\ bb' , ce et les rayons lumineux déterminent des plans perpendiculaires au plan vertical ; leurs traces verticales sont dirigées à 45° et leurs traces horizontales sont parallèles aux projections horizontales de ces arêtes. De plus, les arêtes verticales projetées horizontalement en abc ont leurs ombres portées parallèles à la projection horizontale du rayon lumineux ; les marches portent en plan des ombres d’une largeur égale à leur hauteur.

Fig. II. — Perron à pans. — Les faces verticales des marches ad, be, cf inclinées à 45° en plan, sont dans l’ombre ; pour le reste de la figure, mêmes opérations que précédemment.

Fig. III. — Gradins circulaires. — La partie inférieure de cette figure, dont le plan est figuré en A, représente un perron demi-circulaire. Dans la partie supérieure on a figuré des degrés demi-circulaires disposés en amphithéâtre.

Les parties verticales des marches représentent des portions de cylindres droits; pour un de ces cylindres, le cylindre moyen par exemple, dont nous avons tracé le cercle sur la figure, nous aurons en aa! , bb' les points de tangence des rayons dirigés en plan à 45°.

On remarquera ensuite que les arêtes supérieures des marches peuvent être contenues dans des cônes dont les sommets seraient en x et y ; si nous joignons ces points x et y aux points a' et b' déjà obtenus, et si nous prolongeons ces lignes jusqu’en c' et en d' , nous

aurons à chaque intersection du bord supérieur des marches avec ces lignes les points

1,2,3. . . . l'2'3'. . . . qui seront, pour chaque cercle correspondant, la projec¬

tion verticale de la tangente à 45° menée à ce cercle.

Des points i, 2, 3 on abaissera des verticales; ces verticales sont les génératrices qui déterminent les ombres propres des cylindres droits ; les ombres portées sur le plan vertical, sont de petites portions d’ellipses qu’on fera de sentiment ; si on voulait les tracer exactementil faudrait se reporter à l’ombre portée d’un demi-cercle horizontal. (Voir pl. I, fig. V. et pl. V, fig. III et VI.)

Les ombres portées partant des points l'2'3'. . . . sont aussi des portions d’ellipses qu’on tracera à vue ; si on voulait les dessiner rigoureusement, on trouverait plus loin (pl. VI, fig. II) l’ombre intérieure d’un demi-cylindre droit, qu’on peut assimiler à celle qui nous occupe ici.

Fm. IV. — Perron droit avec mur rampant. — Dans ce cas, la projection du perron sur un plan de profil est utile car, avec les projections horizontale et verticale de la ligne AA', qui se trouve dans un plan de profil, il est impossible de déterminer les projections d’un point quelconque de cette ligne.

Nous nous contenterons d’expliquer l'ombre sur une marche : par les angles abc d une marche menons en a\{, Æ2{, c31? les traces de plans projetant les rayons lumineux sur le plan de profil ou autrement dit, des parallèles à la projection d’un rayon lumineux sur ce plan de profil ; ces parallèles sont dirigées à 43°, elles coupent l’arête At aux points 1,, 2t, 3r

Nous projetterons ces points sur l’arête verticale À' en V 2' 3'. Par un mouvement de rotation, nous reporterons également ces points sur la projection horizontale A en 1, 2, 3. Des trois points ainsi obtenus en projections horizontales et verticales, menons des parallèles aux projections du rayon lumineux; ces parallèles coupent les arêtes des marches en des points qui doivent se trouver sur les mêmes lignes de rappel si l’on a bien opéré ; on joindra par des lignes droites, les ombres des points 1 2, 2 3, 3 4, .

Pour l’ombre portée, on cherchera les traces horizontales et verticales des rayons lumineux passant par les points defghi du profil et, en les joignant deux à deux, on aura les ombres portées des lignes de , ef, fg. . . .

PLANCHE IV

PERRONS

f1Gm p Perron droit. — Le plan des rayons qui s’appuient sur l’arête AA' perpendi¬

culaire au plan vertical, a sa trace verticale dirigée à 45° comme nous l’avons vu dans les exemples précédents ; ce plan coupe les parties verticales des marches suivant les

lignes T 2', 2' 3' . . . .En projection verticale, ces lignes se confondent avec la trace de ce plan, il coupe les girons des marches suivant des lignes 1, 2, 3 parallèles à la projection horizontale de cette arête.

De même le plan des rayons qui s’appuient sur l’arête BB', perpendiculaire au plan horizontal, a sa trace horizontale dirigée à 45° ; il coupe les parties verticales des marches suivant des verticales qu’on trouvera en relevant en 4' 5' les points 4, 5, intersections de sa trace horizontale avec les projections horizontales des marches.

Pour obtenir en plan les lignes 1, 2, 3, on n’aura qu’à les déduire de leurs projections verticales l'2'3'.

Quant à l’ombre portée du perron, nous retrouvons encore deux plans parallèles aux deux plans considérés plus haut ; ces plans coupent les plans de projection suivant des traces dirigées à 45°. La partie verticale a' b' porte ombre suivant la ligne ed parallèle à cf; au point b1 la lumière frise l’arête inférieure b' c' ; cette dernière ligne donne l’ombre horizontale ef.

Fig. II. — Perron droit avec mur en gradins. — Les ombres portées par ces gradins sur les marches peuvent être assimilées aux ombres du cas précédent.

En effet, en regardant le profil on voit que les arêtes At Bt d’un gradin ne peuvent, donner que des plans perpendiculaires aux plans de projection ; les intersections de ces plans avec les marches seront limitées en 1 1 2t, 2^,. . . Ces intersections ne donnent

que des horizontales, des verticales et des lignes inclinées à 45°. 11 suffit donc de se reporter à ce qui a été dit plus haut.

Dans ces deux derniers cas, on a figuré la coupe du perron, mais cette figure n’est utile que dans le cas où l’on n’a pas le plan.

PLANCHE Y