TAILLOIRS SUR DIFFÉRENTS FUTS

Fig. I. — Les rayons lumineux qui s’appuient sur l’arête projetée verticalement en a' , déterminent un plan perpendiculaire au plan vertical ; toutes les droites de ce plan se projettent verticalement sur sa trace verticale. Le point ad a son ombre portée en g g' par suite de la symétrie de la figure par rapport au plan vertical qui a sa trace horizontale en ao ; les rayons lumineux qui s’appuient sur l’arête a! b' déterminent un plan qui coupe le solide en g’e'f d’une manière symétrique au premier ; e ’f se trouve donc sur la même horizontale que d' • de plus, d' g' et g'e' sont des lignes également inclinées à 45°.

Au point f le rayon lumineux quitte le solide et vient frapper le plan vertical en h' ; le point b' porte ombre en ï ; on joint l’horizontale h'ï ; c'b 'donne /V comme ombre, le point cc' porte ombre en jj' ; le point V étant la trace verticale de la ligne cl c’I on joint

/' à /' ; cette dernière ligne est la trace verticale d’un plan perpendiculaire au plan vertical. La face verticale fk du prisme ayant sa trace horizontale parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux, se trouve dans l’ombre, les rayons étant parallèles à cette face, la lumière est donc frisante et le plan se trouve par conséquent dans l’ombre ; l’ombre portée de l’arête //' sur le plan vertical, donne hh' .

Fig. II. — Comme pour le cas précédent, de même que pour les cas suivants, on considérera le plan de symétrie boc' , car dans ce plan se trouve un rayon qui donne un point d’ombre important.

Le rayon be b'e' qui se trouve dans ce plan frappe le solide en ee' , une portion de la ligne a' b' porte ombre suivant l’horizontale f'e' ; le point a' est lui-même son ombre, on joint donc /' à ci' . Il est à remarquer que cette ligne n’est pas dirigée à 45° comme dans le cas précédent ; b' c' donne comme ombre e' cj'lï ; une portion de c' d' , parallèle à la face gi, donne une horizontale h'ï ; l’autre portion q' d' porte ombre sur le plan vertical en h' l' ; on achèvera l’épure comme il a été dit plus haut.

Fig. III. — Le tailloir étant circulaire au lieu d’être à pans, son ombre sur les faces du fût, donnera donc des portions d’ellipses ; on les trouvera par points en ayant soin de choisir les plus importants ; le point f' est le point le plus bas de la courbe d' f e' ; d' et e' se trouvent sur la même horizontale ; le point g' est aussi un point intéressant. Pour l’obtenir, sur sa projection horizontale g, nous faisons passer un plan vertical parallèle à la projection horizontale du rayon lumineux, ce plan coupe l’arête inférieure du tailloir en pp' ; du point p' on mène une ligne p' g' à 45° qui coupe l’arête g g' en g') ce dernier point porte une ombre sur le plan vertical en h'.

Après avoir déterminé l’ombre propre du cylindre supérieur, il ne restera plus qu’à déterminer par points, l’ombre portée des portions de cercle p' b’ et m* V sur le plan vertical, ce qui donne les portions d’ellipses h! f et ï h' ; ces ombres doivent se raccorder avec la verticale k' j' , ombre verticale du cylindre supérieur.

Fig. IY. — Le plan d’ombre qui s’appuie sur la ligne a' b' coupe le cylindre suivant une ellipse qui se projette verticalement suivant un cercle, par suite de l’égale inclinaison de ce plan sur les deux plans de projection.

En effet, faisons tourner ce plan d’un quart de cercle, sa trace verticale se projettera suivant a' o' , il coupe donc la génératrice g g' en cl' ; ramenons ce point en e' ; du point o' ramenons de même en g' h' les deux points d’intersection de ce plan avec les génératrices g g' h't' dans le triangle rectangle d' e' o' ; e' o' qui égale d' e' par suite de l’inclinaison du rayon d' o' à 45°, e' o' disons-nous, égale bien g' o' ; les deux axes de l’ellipse étant égaux, elle se réduit donc à un cercle.

Pour les cas V et VI on opérera de même que pour les cas II et III; les cylindres peuvent être considérés comme des prismes dont on aurait doublé indéfiniment le nombre de côtés ; on recherchera toujours les points importants tels que : le point le plus haut, le point de perte, etc.

Au point appelé point de perte, le rayon lumineux dirigé à 45° est bien la tangente à la courbe d’ombre portée en ce point.

En effet, à ce point la tangente est donnée par l’intersection des deux plans tangents aux deux surfaces cylindriques — la surface cylindrique du fût et la surface cylindrique des rayons lumineux; — or, ce rayon lumineux est contenu dans chacun de ces plans ; ils se coupent donc suivant ce rayon qui est dès lors la tangente, C.Q.F.D.

Cette propriété est générale ; on l’énoncera donc sons la formule suivante :

Au point de perte d’une ombre portée dans une ombre propre, le rayon lumineux est tangent à la courbe d’ombre portée.

PLANCHE VI

CYLINDRES

Fia. I. — Ombre d’une coupe de pont. — La surface de la voûte d’intrados d’un pont est une surface cylindrique qu’on peut considérer comme étant engendrée par des génératrices horizontales perpendiculaires au plan de tète, pour le cas du pont droit, génératrices s’appuyant sur une directrice tracée dans ce plan de tête. Les rayons lumineux dirigés sur une partie de cette directrice abcd forment une autre surface cylindrique : c’est l’intersection de ces deux surfaces qui donne une partie de l’ombre cherchée. Nous la déterminerons par points en cherchant séparément les intersections de plusieurs rayons partant de différents points de la directrice.

Par le point b, par exemple, de la courbe de tête, menons une parallèle à la projection du rayon lumineux sur le plan de profil; cette ligne coupe la surface d’intrados du pont en un point qui est projeté en f sur le profil. De ce point, menons une horizontale ff sur la face intérieure du pont, la rencontre de cette horizontale avec le rayon issu du point b' , donnera le point /' qui sera un point de la courbe d’ombre.

Le point ««' , le plus haut de la directrice, a son ombre en g g' . Au point cld' le rayon lumineux est tangent à la surface cylindrique du pont. En joignant les points obtenus d'e'f'g' par une courbe, nous aurons l’ombre cherchée ; on les complétera en menant au

point l’horizontale g' i' , ombre de la génératrice suivant laquelle le pont est coupé.

Nota. — Le rayon lumineux partant du point ««'frappe la surface de l’eau en h h' et se brise en ce point en vertu des lois de la réfraction.

Nous allons donner quelques principes sur la réfraction, qui nous paraissent utiles.

On nomme plan d’incidence le plan mené par le rayon incident ro. et la normale ox menée à la surface de séparation s s' (fig. 1) au point d’incidence o ; angle

Fig. 1

d incidence, 1 angle rox du rayon incident et de la normale ; angle de réfraction, l’angle r'oy du rayon réfracté et de la normale.

La physique démontre :

1° Le rayon réfracté reste dans le plan d’incidence.

2° Le rapport des sinus des angles d’incidence et de réfraction est toujours constant pour les mêmes milieux.

L expérience prouve que pour un rayon lumineux passant de l’air dans l’eau, le rapport des sinus est de -2-.

En projection horizontale, la direction du rayon réfracté ac ne change pas.

Par suite de la similitude des triangles, les angles d’incidence et de réfraction ont, en

projection sur le plan vertical et sur un plan de profil, des sinus qui restent dans le rapport de 4 à 3 (fig. 2).

Au point h h' (pi. VI, fig. I), nous connaissons donc les nouvelles projections du rayon réfracté, nous chercherons sa trace en g g' ; ainsi nous pourrons donc également déterminer l’ombre dans l’eau, cette ombre doit partir du point f f .

La directrice du cylindre est une courbe composée de cinq portions de cercles qui s’accordent : elle est appelée anse de panier. L’ombre d,' f' est une courbe à double courbure.

Fig. II. Ombre d’un puits en coupe. — Ce puits est coupé suivant un diamètre de son cercle de base ; la surface cylindrique considérée a donc pour directrice un demicercle, et 1 ombre c'd'e' , portée par une partie de ce demi-cercle, est une portion d'ellipse. En effet, supposons le cercle a b entier (fig. 3). Les deux surfaces cylindriques, qui ont ce cercle de commun, se coupent suivant une courbe qui se projette sur la trace cd d’un plan qui serait perpendiculaire au plan formé par deux parallèles aux génératrices des deux cylindres. Cette courbe plane qui peut être considérée comme étant l’intersection d’un cylindre droit par un plan, est donc une ellipse.

Pour la détermination de l’ombre de ce puits on emploiera les mêmes procédés que ceux énoncés pour la recherche de l’ombre du pont.

Fig. III. — Ombre de cannelures. — Ces ombres, qu’on peut assimiler à celles du cas précédent, se déterminent également par points.

Fig. IV. — Ombre de la base d’un soubassement. — Sur différents points abc, a'b'c' de la courbe qui se trouve dans le plan bissecteur des deux corps de moulures, menons des parallèles aux projections des rayons lumineux ; nous avons en ed'c les projections verticales des points où ces lignes frappent la surface cylin-

Fig. 3

drique delà moulure; nous en déduirons les projections horizontales edc que nous joindrons par une courbe pour avoir l’ombre cherchée.

Au point e cette courbe se raccorde avec la génératrice ee' , ombre portée de la génératrice a a' . En effet, au point e la tangente à la courbe est l’intersection du plan tangent à la surface de la moulure et du plan tangent au cylindre des rayons. Or, ces deux plans se coupent suivant la génératrice ee' qui devient dès lors la tangente à la courbe d’ombre au point e .

Les moyens de détermination des autres ombres nous sont déjà connus.

Fig. Y. — Ombre d’une console. — Les ombres des surfaces cylindriques de la console s’obtiennent par les moyens employés précédemment.

Pour l'ombre portée sur le mur on cherchera les traces verticales des rayons lumineux qui s’appuient le long du profil, on la complétera en menant au nouveau profil obtenu des tangentes horizontales aux points les plus bas des courbes et des arêtes obtenues.

Ainsi, au point e le rayon lumineux est tangent au cylindre de la console ; à ce point, les rayons lumineux quittent la courbe du profil pour s’appuyer sur la génératrice ae ; le point g, un des points le plus bas de l’ombre du profil, est l’ombre du point e, nous mènerons donc l’horizontale fg qui représentera l’ombre de la portion lie de la génératrice ae. Comme vérification, le point /doit se trouver sur la ligne menée à 4o° du point cl déjà trouvé.

PLANCHE YII