SPHÈRE

Fig. I. — Ombre d’un cylindre surmonté d’un cône de même diamètre. — Nous avons expliqué, dans les chapitres antérieurs, les moyens de déterminer les ombres propres de chacune des deux surfaces qui nous occupent. Nous voulons seulement faire remarquer que ces deux surfaces, qui ont cependant un cercle de commun, ne se raccordent pas.

Il s’ensuit que leurs ombres déterminées par deux génératrices du cylindre et deux génératrices du cône, présentent deux ressauts en a' b' et en c 'cl' .

Aux points a' et c', les rayons lumineux sont tangents à la surface du cylindre; aux points b' et cl\ les rayons sont tangents à la surface du cône.

Fig. IL — Ombre d’un cylindre et d’un cône creux ayant un cercle commun. — Les

rayons qui frisent les génératrices a b et as' déterminent deux plans : le premier de ces plans coupe le cylindre suivant la génératrice /' g' ; le second plan coupe le même cylindre suivant une portion d’ellipse f’e'c’ dont on a déterminé le point e' , ombre d’un point quelconque dcl' de la génératrice as' . On pourrait de même tracer autant de points que l’on voudrait.

Le second plan que nous considérons passe par le sommet du cône : il coupe donc ce

■cône suivant une génératrice. Il suffit de connaître un point de cette génératrice pour la déterminer. Soit à chercher le point c' qui se trouve sur le cercle commun.

Pour cela, déterminons la trace horizontale du plan en cherchant la trace horizontale a de la génératrice as ' et la trace horizontale u du rayon lumineux su, s'u' mené par le sommet ss’ ; cette trace au coupe le cercle de base du cône en c; c est donc la trace horizontale de la génératrice d’intersection; nous en déduirons sa projection verticale c’ s' .

Fig. III. — Ombre d’une sphère. — Les rayons tangents à une sphère forment un cylindre circulaire ; la ligne d’ombre est un grand cercle de la sphère dont le plan est perpendiculaire à la direction lumineuse. En projections horizontale et verticale, ce cercle donnera donc deux ellipses.

Sur le centre oo' de la sphère, menons le rayon lumineux oa o’ a' , rabattons autour de ces lignes les plans projetant horizontalement et verticalement ce rayon lumineux. Les sections de ces plans projetant avec la sphère donneront des grands cercles qui se rabattront en vraie grandeur en et en oz ; les rayons lumineux se rabattent en o{a ojj' .

Le grand cercle qui détermine l’ombre propre étant situé dans un plan perpendiculaire au rayon, il se projettera sur les rabattements par les diamètres 7, — 52 112 perpendiculaires aux rayons rabattus; en ramenant les extrémités de ces diamètres sur oao'b' , nous aurons les petits axes 1,7 — S'il' des ellipses. Les extrémités des grands axes 4,10 — 8 '2' de ces ellipses sont déduites des points o{ o2 ; ces grands axes sont égaux au diamètre de la sphère.

Du reste, on peut obtenir les points 4,10 — 8 '2 ' en menant aux projections de la sphère des tangentes parallèles aux projections du rayon lumineux; car la sphère se raccorde suivant ses grands cercles de projection avec des cylindres perpendiculaires aux plans de projection.

La courbe d’ombre propre d’une sphère présente douze points importants ; nous allons en faire la description en désignant leurs positions relatives.

Lorsqu’on aura déterminé les points 4,10,1,7 qui déterminent les axes de l’ellipse horizontale, nous déduirons, en projection verticale, les points 4 '10' sur le grand cercle horizontal et 1 '7 ', points les plus bas et les plus haut de la courbe d’ombre ; ces points sont situés à des hauteurs, de la ligne de terre, données sur le rabattement or

De même lorsque nous aurons obtenu les points 2 ' 8' 5' 11 ', nous déduirons les points 2 et 8 en projection horizontale sur le grand cercle parallèle au plan vertical, et les points h et 11, points les plus haut et les plus bas de l’ellipse horizontale, leurs distances à la ligne de terre sont données sur le rabattement or

Les points 3,9,6,12, sont respectivement symétriques aux points 11,5,8,2; les deux premiers se trouvent sur les horizontales des points 7,1, et les autres sont sur le méridien perpendiculaire au plan vertical.

De même en projection verticale, les points 3' 9' 6 '12' sont symétriques aux points 7'1'4'10' ; les deux premiers se trouvent sur les horizontales des points 11 ' 5 ' et les derniers sont situés sur le méridien perpendiculaire au plan vertical. Aux points 3,3' 9,9' les tangentes aux cercles sont verticales.

On trouvera les ombres portées de la sphère sur les deux plans de projection, en cher-

chant les traces horizontales et verticales ccl, ef — gh, ij des rayons lumineux dirigés par les extrémités des axes des ellipses d’ombre propre ; ces traces sont données directement par les rayons rabattus. Les points obtenus sont les extrémités des axes des ellipses d’ombre portée.

Les deux ellipses se coupent sur la ligne de terre. De plus, leurs points les plus bas et les plus hauts se trouvent respectivement sur des parallèles à la ligne de terre.

PLANCHE XIV