SPHÈRE ET CÔNE CREUX

Fig. I. — Ombre d’une demi-sphère creuse. — Les rayons qui frisent le bord supérieur acb de la demi-sphère, figurée en projection horizontale, forment un cylindre qui coupe cette demi-sphère suivant un grand cercle.

En effet, supposons la sphère entière (fîg. 1) ; par suite de la symétrie de la figure, il est

bien évident que le cylindre qui aura pour directrice le grand cercle projeté en a b, coupera cette sphère suivant un autre grand cercle dont le plan se projettera suivant ccl. C’est donc la moitié de ce grand cercle qui donne en projection la demiellipse cherchée.

Cela dit, par le centre o de la sphère, menons la trace horizontale d’un plan projetant le rayon lumineux; rabattons ce plan autour de cette trace : l'intersection de ce plan avec la demi-sphère se rabat suivant le demi-cercle c' oe' , la demi-sphère étant supposée sur le plan horizontal. Le rayon ao co se rabat suivant fo ; par le point c' , menons en c' cl' une parallèle à ce rayon rabattu ; ce nouveau rayon perce le grand cercle d’intersection en d' . Relevons ce point en d, od sera donc le demi petit axe de l’ellipse; le grand axe est donné par le diamètre ab.

En joignant d' au point a, acl' sera, en rabattement, le lieu géométrique des intersections de tous les rayons, menés suivant la demi-circonférence acb.

On a cherché l’ombre d’un point quelconque g et d’un point g[S qui lui est symétrique par rapport à l’axe ce.

Du reste, connaissant les deux axes de l’ellipse, on pourra la tracer avec une bande de papier par la différence des axes sans être obligé de rechercher les ombres d’autres points.

Fig. II. — Ombre d’un cône creux. — On peut regarder un cône droit comme étant un cylindre droit en supposant le sommet de ce cône droit à l’infini. Or, nous avons vu dansl’ombre du puits (PL YI, fîg. II), que la courbe d’ombre était une portion d’ellipse.

Fig. I.

La démonstration que nous avons faite à ce sujet peut s’appliquer au cas présent. L’ombre portée à l’intérieur clu cône doit donc être considérée comme étant une section plane de ce cône.

On trouvera d’abord les génératrices d’ombre propre S a o'a' , sb o'b' par les moyens connus.

La courbe d’ombre est donnée par l’intersection du cône et du cylindre des rayons lumineux qui reposent sur la portion a f'b’ de la circonférence directrice. Or, si nous coupons ces deux surfaces par des plans parallèles au plan vertical, nous déterminerons ainsi, pour le cône, une série de cercles qui iront en diminuant à mesure que le plan sécant se rapprochera du sommet ; nous obtiendrons également pour le cylindre une série de cercles identiques au cercle de tête, et transportés parallèlement au rayon lumineux, de quantités d’autant plus grandes que le plan sécant sera plus éloigné du plan de tête.

Si les deux cercles trouvés dans chacun de ces plans se coupent, on obtiendra généralement deux points qui feront partie de l’intersection du cône et du cylindre, c’est-à-dire de l’ombre cherchée.

Sur l’épure, on a indiqué cette opération pour un seul plan de\ ce plan coupe le cône suivant un cercle qui a toujours son centre en o' sur la projection verticale. Il coupe le cylindre suivant un cercle semblable au cercle directeur ; son centre se trouve transporté en m m ' .

Ces deux cercles se coupent aux points d'e' qui appartiennent à la courbe ; on déduira facilement les projections horizontales de sur la trace du plan.

Aux points a'b\ les rayons lumineux sont tangents au cône puisqu’ils sont contenus dans les plans tangents menés suivant les génératrices a o' b'o' . Les rayons lumineux frisent donc le cône aux points a et b', c’est-à-dire que ces points sont eux-mêmes leur ombre portée : la courbe d’ombre doit donc passer par ces deux points.

Le point ce' a été obtenu au moyen du rabattement d’un plan sécant perpendiculaire au plan vertical et dont la trace est figurée en f'ov Ce plan coupe le cône suivant deux génératrices. On a rabattu le plan de ces génératrices ainsi que le rayon lumineux.

Le rayon issu de l’extrémité d’une génératrice frappe l’autre génératrice en c{ ; on a relevé ce point en c' et on en a déduit sa projection horizontale c à une distance de la ligne de terre égale à c{c ' .

Le plan du cercle directeur est parallèle au plan vertical. L’ombre de ce cercle sur le plan vertical sera un cercle identique au premier. L’ombre horizontale sera une ellipse.

Le sommet du cône se trouvant dans le plan vertical, il suffira de mener du point o ' des tangentes au cercle d’ombre pour avoir l’ombre portée verticalement, car tous les points de ce cercle représentent les ombres portées des pieds de toutes les génératrices qui doivent tendre au sommet o' .

Des points de contact albi de ces tangentes, on pourrait en déduire les points a' b' d’ombre propre, mais ce procédé est peu rigoureux en application.

Au point n, intersection de l’ombre portée o'al et de la ligne de terre, menons la tangente na2 à l’ellipse d’ombre ; si l’on a bien opéré, le point de contact æ2 sera la trace horizontale du rayon lumineux partant du point aa.

Nous allons donner une seconde méthode pour déterminer l’ombre à l’intérieur du cône :

Par le sommet 55' (fig. 2), faisons passer un rayon lumineux sm, s’m'; sa trace sur le

plan du cercle directeur sera en

Fig. 2.

mm' . Tous les plans qui seront menés par la ligne sm, s'm seront donc parallèles à la direction du rayon lumineux. De plus, si ces plans coupent le cône, ils le couperont généralement suivant deux génératrices, puisqu'ils passent par le sommet du cône.

Nous pouvons donc mener, a priori, différentes traces mu — mni — mnt de plusieurs plans et déterminer les génératrices d’intersection.

Ainsi le plan qui a mil pour trace coupe le cône suivant les deux génératrices sa, sb; de l’extrémité a de la génératrice sa, menons un rayon lumineux ac, — ce rayon est contenu dans le plan sécant puisqu’il est mené d’un point de ce plan parallèlement à une ligne ms de ce plan. Ce rayon rencontre donc l’autre génératrice s b en c, qui est un point de l’ombre.

Le point cld' est obtenu de la même manière, en menant de l’extrémité b b' un rayon lumineux qui coupe l’autre génératrice en dd' .

Les plans sécants, dont les traces mnl — mn2 sont tangents en / et e au cercle, deviennent donc des plans tangents au cône. Les points e et f portent ombre sur eux-mêmes et sont, par conséquent, deux points de la courbe d’ombre.

On a construit (fig. 2) l’ellipse entière en cherchant l’intersection du cône et du cylindre qui aurait le cercle entier comme directrice, mais la partie eg f de l’ellipse est une ligne virtuelle dans le problème des ombres.

En projection verticale, on a supposé le cône coupé par le plan parallèle au plan vertical passant par son sommet.

Fig. III. — Application du cas précédent. — Cette figure représente une porte ou une fenêtre circulaire avec un ébrasement conique.

Dans la détermination de l’ombre du cercle de tête, sur des plans qui lui sont parallèles, son centre oo' se trouve transporté en ee' et en ff'; on tracera avec son rayon les portions de cercle a' b' — c'd’ .

Le point a' fait partie de l’ombre de la surface conique. Cette ombre s’obtiendra par les opérations indiquées plus haut.

Fig. IY. — Trompe cylindrique. — Une trompe cylindrique est formée par la pénétration de deux cylindres.

On s’est donné la directrice a b /du cylindre vertical et la directrice b{ d{ a{ du cylindre qui a ses génératrices horizontales, et on a cherché leur intersection par points.

Ainsi, la génératrice horizontale projetée en d a ses projections horizontale et verticale

en de et en d' e' ; la ligne de est obtenue par un mouvement de rotation. Cette génératrice perce le cylindre vertical aux points d et e , nous en déduirons d' et e' .

Par le point d{ menons en di ci la trace d’un plan projetant le rayon lumineux; cette trace coupe le cylindre horizontal suivant la génératrice projetée en c; le point d’ombre c' se trouve à l’intersection de cette génératrice et du rayon issu du point d’\ la projection horizontale c se déduit de c' . Il ne nous restera plus qu’à joindre par des courbes les points obtenus en plan et en élévation.

La partie supérieure de la figure représente un demi-cylindre droit surmonté d’une demi-sphère ; ces deux surfaces se raccordent suivant le grand cercle horizontal de la sphère.

La génératrice d’ombre du cylindre et l’ellipse d’ombre de la sphère forment sur ce grand cercle en m' un point de rebroussement.

L’ombre portée de la demi-sphère se raccorde au point ml avec l’ombre verticale du cylindre, parce que les deux surfaces ont même plan tangent en ce point.

PLANCHE XY