OMBRE DES NICHES

Fig. I. II et III. — Les trois premières figures de cette planche représentent des niches ayant pour plans des sections rectangulaires ou demi-circulaires, et pour fermetures des plans horizontaux ou des cylindres droits.

Dans les deux premiers exemples, les ombres sont portées sur des plans parallèles aux plans des lignes qui produisent ces ombres ; les ombres portées seront donc semblables aux lignes de tête des niches et transportées parallèlement aux rayons lumineux d’une certaine quantité.

Dans la première figure, le point aa ' porte ombre en b b'; et le centre ce' de la deuxièm figure se trouve porté en dd' .

Pour la figure III, on remarquera que le plan des rayons lumineux qui s’appuient sur ab, ci' b' coupe le cylindre suivant une ellipse qui, en projection verticale, se réduit à un cercle (pi. V, fig. IV).

Fig. IV. — Niche sphérique. — L’ombre f'g'h'd' peut se diviser en trois parties suivant la nature de la ligne qui porte ombre et suivant la surface sur laquelle cette ombre est portée r

1° L’ombre f'g' portée par l’arête a' b' sur la surface cylindrique de la niche;

2° L’ombre g' h' portée également par une portion b'c' du cercle de tête sur la surface cylindrique de la niche ;

3° L’ombre h' cl' portée par une autre portion c'cl' du cercle de tête sur la. partie sphérique de la niche.

La première de ces ombres est l’intersection d’un plan et d’un cylindre. Or, comme ce plan est mené par la génératrice du cylindre, son intersection avec ce cylindre sera donc une autre génératrice. La trace horizontale de ce plan sécant est dirigée en plan à suivant b g ; cette intersection est limitée verticalement de f en g'.

Pour la deuxième courbe d’ombre g'h' , on pourrait de même la tracer par points en prenant, par exemple, un point quelconque sur b' c' , d’en déduire sa projection horizontale, et chercher l’intersection du cylindre et du rayon lumineuxqui passerait par ce point.

Pour cela, par la projection hQrizontale du rayon, menons un plan projetant ce rayon : il coupe le cylindre suivant une génératrice verticale qui, en projection verticale, rencontre le rayon lumineux, issu du point considéré, en un point qui est unpointde la courbe.

Enfin, la troisième partie h'd' de la courbe d’ombre est une portion de l’ombre portée d’une demi-sphère creuse ; cette ombre est une demi-ellipse qu’on tracera en se reportant au chapitre précédent (pl. XI Y, fi g. I).

Le point h' , où l’ellipse coupe le grand cercle b'e', est un point d’inflexion. En ce point, la courbure de la ligne d’ombre change de sens, et la tangente à la courbe, en ce point, se trouve de part et d’autre de cette courbe.

Pour obtenir cette tangente, on considérera qu’elle est donnée par l’intersection du plan tangent à la sphère en ce point, et du plan tangent au cylindre des rayons lumineux suivant la génératrice qui passe par le point h'.

Or, le premier de ces plans est un plan vertical qui a pour trace horizontale la tangente en h au cercle bge, il coupe le plan vertical suivant une verticale; le second plan tangent, suivant la génératrice c'h' , a pour trace verticale la tangente en c' au cercle b'c'e' . Les deux traces obtenues se coupent en un point qui se trouve hors des limites de l’épure.

Or, ce point est bien un point commun aux deux plans tangents, il ne nous restera donc plus qu’à le joindre au point h' déjà obtenu pour avoir la tangente cherchée.

En plan, cette tangente se projette suivant la trace du plan tangent à la sphère.

La projection horizontale de la ligne qui sépare l’ombre et la lumière peut s’obtenir par points en les déduisant de leurs projections verticales.

Ainsi, le point h se trouve sur le grand cercle horizontal bge. Le point d est sur le méridien qui se projette horizontalement en be.

Un point quelconque 1 se trouve à une distance de la ligne de terre égale à la distance l^^donnée sur le rabattement. Comme vérification, le rayon lumineux, issu du point 11', doit couper la courbe de tête en un point dont les deux projections doivent se trouver sur une même ligne de rappel.

Fig. Y. — Ombre d’une niche en coupe. — Cette ombre se compose de deux portions d’ellipse ac a'c' , bc b'c' , symétriques par rapport au plan vertical dont la trace horizontale est dirigée suivant la ligne à 45° de.

Après avoir construit l’ellipse bc, b'c' limitée en ce' , ombre du point dd' , on pourra en déduire la seconde ellipse en considérant une série de points de la première courbe, et en cherchant les points qui leur sont symétriques par rapport au plan vertical de.

Les nouveaux points se trouvent en plan sur une courbe symétrique à la première et, en projection verticale, sur des cercles horizontaux qui se projettent donc suivant des horizontales.

On pourrait obtenir la courbe ac, a’c' directement aussi par la méthode des plans sécants. Ainsi, le point 1 rabattu en porte une ombre en 2 ; ce dernier point est obtenu du point %l donné sur le rabattement du plan sécant et de la sphère.

PLANCHE XVI