I- [Jlî = o

Le problème ainsi posé est impossible. Il faut remarquer que la

bissectrice d'un angle fait avec ses côtés des angles égaux et de signes contraires.

122. Problème. — Trouver V équation de la perpendiculaire menée par un point A à une droite A, ainsi que les coordonnées du pied de cette perpendiculaire.

1° Axes rectangulaires. — Soient x^., y,, les coordonnées du point donné A et

(i) Ax-^By + C=o

l'équation de la droite A.

La perpendiculaire abaissée de A sur A a pour équation (i 19)

On aura les coordonnées du pied de la perpendiculaire en résolvant le système formé par les équations (i) et (2). Pour cela, on prend comme inconnue auxiliaire la valeur commune des deux rapports (2) et l'on pose

(3) x = Xo-h\p, j'=jo+Bp;

en portant ces valeurs dans l'équation (i), on obtient immédiatement

. , A^o-+- BjKo-f-G <4) P- jjTb-^

Les formules (3) et (4) résolvent la question proposée.

2° Axes obliques. — On procède de la même façon, mais le calcul est un peu plus long. La perpendiculaire a pour équation

x — xo ^ y—yo ^

A — BcosO B — Acos6 P'

en exprimant les coordonnées d'un point de cette perpendiculaire au moyen de p et écrivant que ce point est sur la droite donnée, on

obtient

Axo-+-Byo-+- G

P """" A2+B2— 2ABCOS6'

ce qui détermine, comme plus haut, le pied de la perpendiculaire.

123. Exercice. — Vérifier que les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. — Soient

Aa: + B^ -h C = o, Mx -\- B'j -i- G' = o, \" x -+■ Wy h- G" = o

les équations des trois côtés BG, GA, AB du triangle ABG. La hauteur correspondant au côté BG passant par le point de concours des deux autres côtés, son équation est de la forme

Mx -+- B> -f- G' -)- X ( rVx -+- B"jK + G") = o. La condition

A(A'-^ X A") -h B(B'-f- XB") = o

t'xprime qu'elle est perpendiculaire au côté BG; on en tire

AA'-4-BB' AA"-hBB"

et, par suite, cette hauteur a pour équation

(A'ar -f- B> -f- G') (AA"-4- BB") — (A'x -4- B> + G") (AA'-i- BB') = o.

On formera de la même manière les équations des deux autres hauteurs et l'on vérifiera que la somme des premiers membres est identiquement nulle, ce qui prouve que ces trois droites sont concourantes.

Problèmes relatifs aux distances.

124. Problème. — Trouver la distance d'un point défini par ses coordonnées à une droite représentée par son équation.

Soient ;ro,^o les coordonnées du point donné M {/ig. 45) et

Xx ■+- By -i- G — o

l'équation d'une droite A; enfin, soit 0 l'angle des axes coordonnés.

Abaissons de l'origine des coordonnées une perpendiculaire sur la droite A et prenons sur cette droite un sens déterminé OZ; ^ si MP est la perpendiculaire abaissée du point M sur la droite A, nous désignerons paru? le segment PM compté avec le signe -fsi PM a même sens que OZ, et avec le signe — dans le cas contraire, ainsi que nous l'avons fait plus haut (82).

L'angle que la demi-droite OZ fait avec la demi-droite O^ étant désigné par a, nous avons trouvé les formules

d = a^ocosa -i- /oCos(0 — a) — p et

cosa=AA, cos(0 — a) = AB, — /) = AL, A

V/A2+B2— sABcose

Il en résulte que

(!) ^^JA^o+B^o-^C)sin9

/A2-f-B2 — aABcosO

Quand les axes sont rectangulaires

(i)' ^^.Aa^o+Bjo-i-G

V/ÂJ+~B2 Dans tous les cas, on peut poser

(^= A- (A 370-+- Bj'o-i- G),

/r étant une constante indépendante des coordonnées du point M.

En résumé, nous appellerons distance d'un point M à une droite A le segment PM, P étant le pied de la perpendiculaire abaissée de M sur A. Si l'on prend s =+ i, la formule (i) ou (i)' donne pour c^ une valeur positive quand le point M est dans la région positive du plan par rapport à A, et une valeur négative quand le point M est dans l'autre région. Quel que soit le signe de s, les distances de deux points situés d'un même côté de A auront le même signe, et les distances de deux points situés de part et d'autre de A auront des signes contraires.