DB EG FA

DG ^ EA ^ FB -^''

en comparant les deux égalités précédentes, on trouve

FA FA FB ~ F'B'

ce qui démontre que les points F et F' coïncident; autrement dit, les trois points D, E, F sont en ligne droite.

On peut aussi énoncer une réciproque dans le cas général : si les points Pi, P2, ..., P(j, vérifient la relation trouvée plus haut, et si [jl — i de ces points sont sur une ligne droite, le [a''™" est aussi sur cette droite. La démonstration se fait comme dans le cas du triangle.

Il convient de remarquer que le théorème subsiste lorsqu'on suppose que un ou plusieurs points sont à l'infini. Si la transversale est parallèle au côté

M1M2 par exemple, il faudra remplacer le rapport - ' ' par -i-i.

rj IVI2

13o. Démonstration géométrique. — Poncelet a donné une démonstration très simple du théorème précédent.

Supposons que le côté M1M2 par exemple ne soit pas parallèle à la transversale et projetons sur la droite indéfinie MiMales sommets M3, M4, .. ., Mjj, parallèlement à la transversale en m^, m^, ..., m^; les points de rencontre de la transversale avec les différents côtés du polygone seront tous projetés

en Pj. Considérons l'un quelconque des rapports ' — — par exemple, ce

. .^ ,. P^M^. P,mA , , , .

rapport est projectif, autrement dit = ^5 ? et le théorème a

démontrer revient à une égalité évidente

Pi M, P, M, Pi m. Pi '«a-i Pi^u.

X rr — - X -=^ — - X. . .X ,, ^ X i" — . -

P1M2 Pim3 P1W4 ■ ■ Pi/«(j. Pi Ml

Remarque. — Il est à peine utile d'ajouter que si l'on parcourt le périmètre du polygone en sens contraire on forme des rapports inverses des précédents, dont le produit est encore égal à -f- 1

P[,Mi Pix-,Ma P1M2

P(,M(, P,.iM(,i Pi Ml ' '•

136. Théorème. — Les droites joignant les sommets d'un triangle à un point P pris dans le plan du triangle déterminent sur les côtés du

triangle des rapports segmentaires dont le produit égale — i; et réciproquement.

En effet, rapportons la figure (Jlg. 49) ^ deux axes quelconques et soient ^ijJKi! ^2) yi'y ^3) ya', ^»» y* les coordonnées des sommets A, B, G et du point P. On a trouvé plus haut (128)