ABC ( I, 2,3) A'B'C
Gela étant, supposons (fiff. 4- ) que A', B', G' soient respectivement l'origine, le point D(i,o) cl le point E (o, i), de sorte que l'aire du triangle ODE soit
égale à |^sin6; en remarquant que, dans ce cas, le déterminant (4,5,6) est égal à -h I, on a
Fig. 47.
l sin 6
c'est-à-dire
ABC =^| sine
^1 Ji 1
Bemargue. — On comprend maintenant pourquoi on exprime que les trois points (.ri, jki), (cr^^ y^), (^3, yz) sont en ligne droite en écrivant que le déterminant précédent est nul.
130. Trouver l'aire d'un triangle connaissant les équations de ses trois côtés. — Soient
A^ -^ BjK -f- G = o, A'x -4- B> + G' = o, A" x -h B"j + G" = o
les équations des côtés BG, CA, AB. On obtiendra les coordonnées Xi, yi du point A en résolvant le système formé par les deux dernières équations. Désignant par a, b, c, . . ., c" les coefficients de A, B, G, . . ., G" dans le déterminant du système complet des trois équations précédentes, on a cci = —>
jKi = - ; de même les coordonnées du point B sont a?2= -7» ^2= t ^t
celles du point G : 3^3 — -„-* 73 — -j- j par suite.
ABG
sinO — r-r, \ a' ^' c' , ce c \
ou, en vertu de la propriété fondamentale des déterminants adjoints,
cin n
ABG
ABG
Remarque. — Gette formule explique pourquoi la condition pour que les droites représentées par les équations précédentes soient concourantes s'obtient en égalant à zéro le déterminant de leurs coefficients.
131. Aire d'un polygone convexe. — Soit ABG. . .L un polygone convexe; joignons tous ses sommets à l'origine des coordonnées; on a, en grandeur et si ''"ne
OAB + OBG M-. . .-I- OLA = S,
S désignant l'aire du polygone comptée avec le signe -+-, si un mobile parcourant le périmètre ABC. . .L de manière à rencontrer successivement les sommets A, B, , . ., L a constamment l'aire à sa gauche. On trouve ainsi
Centre de gravité, centre des moyennes distances.
132. Considérons dans un même plan un nombre quelconque de points Ml, M2, ..., M|j|. et autant de coefficients mi, m^, ..., /«jj. leur correspondant respectivement; prenons sur le segment MiMj un point Gj tel que
OTi . Gi M, H- mj , Gi M2 = o.
Prenons ensuite sur GiMs un point Go défini par la relation
( m, -+- nii ) G2 Gi -<- ma Gj M3 = o,
puis sur G2M4 un point G3 défini par la relation
ot ainsi de suite; nous arriverons finalement à un point Gjx-i défini par l;i relation
Il s'agit de calculer les coordonnées du point Gjji-i que nous désignerons par G. L'abscisse de Gi est
l'abscisse de G2 est donc
niiXi -4- mtXi-+- m^x^ mt-h m^-h nii
SI l'on suppose que l'abscisse de G^-i soit donnée par la formule
^ mtXi-+- niiXi-h. . .-h nikX/c ,
relie de G>t sera
( m. H- 7^2 -+-... -f- m A- ) Xa-1 -+- mk+\ ^/c+i
/Wi -t- m2 + . . . H- nik -t- mf:+i
ou
ntiXi-i- niiX^-h. . .-t- mkcrk-h nik+\Xk-ir\ . — ,
il en résulte que l'abscisse du point G est donnée par la formule
~ mi-4- W2 +-. . .-H /«(j.
et l'on verrait de même que son ordonnée est définie par l'équation
on peut donc poser
La symétrie de ces formules montre que, quel que soit l'ordre dans lequel on compose les points donnés, on arrivera toujours au même point G.
Les formules précédentes expriment que le produit de la distance du point G à l'un quelconque des axes, c'est-à-dire à une droite quelconque du plan, par la somme des coefficients est égal à la somme des produits de la distance de chaque point à la même droite, multipliée par le coefficient correspondant. Cette propriété est caractéristique. En effet, cherchons un point X, Y satisfaisant à cette condition relativement à une droite que nous pouvons définir par l'équation
a? cosa H-jK cos^ô — a)^/) = o,
nous devons avoir, en posant 2m = M,
M[X cosa ■+- Y cos(6 — a.) — p\= I.mk[xk cosa +j'^.cos(6 — '^) — p]
ou, en simplifiant,
cosa(MX — 'Lmx)-\- cos(6 — a)(MY — '^my)= o.
Cette condition doit être vérifiée quelle que soit la droite donnée; en particulier, si l'on suppose a = -7 elle se réduit à MY = ^my et si 0 — a = ->
à MX = S/na;; ces deux conditions sont donc nécessaires, et elles sont évidemment suffisantes.
En supposant que inx, m^, . . ., m^ soient les masses d'un système de points matériels Mi, M2, . .., Mjx, le point G se nomme le centre de gravité de ce système. Lorsque les coefficients mi, m-i, ..., m^ sont égaux entre eux, le centre de gravité prend le nom de centre des moyennes distances ; ses coordonnées sont
Xi-+-Xi-h...+ x^t, ri+JaH-- •.-+-7(JL
on voit que la distance à une droite du centre des moyennes distances d'un
système de points est la moyenne arithmétique des distances de coe |»<>ii)i« à la droite.
Il résulte de ce qui précède que le point de concours des médianes d'un triangle a pour coordonnées les moyennes arithmétiques des coordonnées de ses sommets. En effet, si nous attribuons aux sommets des coefficients égaux à -i- (, on devra prendre d'abord le milieu D de BG par exemple et lui attribuer le coefficient 1 ; et ensuite on partagera AD au point G dans le rapport 1 de sorte que 2 DG -h GA = o; le point G aura pour coordonnées
37, -<- a-î -t- a?3 7i-4-yî-f-j3 ,
ce point ejt sur la médiane AD; la symétrie de ces expressions montre qu'il est sur chacune des deux autres médianes.
Transversales.
133. Théorème. — Le produit des rapports segmentaires déterminés sur le périmètre d'un polygone par une droite quelconque est égal à -\- i.
Soit M1IVI2 . . . M[x un polygone quelconque; une droite quelconque A coupe les côtés M1M2, M2M3, ..., Mj^Mi aux points Pi, P2, ..., Pjx respectivement; je dis que
Pi M, P2M2 P,jlM(x
P1M2 ^ P2M3 P[,Mi ^'•
En effet, soit Xx -\- By + G = o l'équation de la transversale A. Représentons par A/i le résultat de la substitution de Xk et yk À x e\. y dans le polynôme kx -r- By -+- G ; on a
p,Mi Al P2 M2 ^ A2 lyivv A
PlM2~A2' P2M3~A3' *"'
Donc
Pi Ml P2M2 PjxMjj
P1M2 ^ P2M3 ^--'^ Pj,M,
Al A2 ^(1
A2 A3 Al
En particulier, soit {fig. 48) un triangle ABC B coupé par une transversale DEF, on a
DB EG FA DG ^ ËX ^ FB ""*"'•
134. Réciproquement , si la relation précédente est vérifiée, les trois points D, E, F sont en ligne droite.
En effet, soit F' le point où la droite DE coupe le côté AB; on a
