PM PA
QM QA -
OU
bx -h a y = o .
La droite OA a pour équation
bx — a y = o ;
ce qui montre que le faisceau des quatre droites O^, Oy, OA, OM est un faisceau harmonique.
La droite OM se nomme la polaire de A.
151. Le calcul ne serait pas plus compliqué en prenant des axes quelconques. Soient, en effet, P = o, Q = o les équations des côtés OP, OQ de l'angle donné, et Xq, j^o les coordonnées du point A; en appelant Po, Qo ce que deviennent P et Q quand on y remplace les coordonnées variables x, y, ou, comme on dit, les coordonnées courantes, par les coordonnées Xq, yo, on a
PM J^ QM Q
PA-Fo' QA ~ Qo'
l'équation du lieu est donc
Po Qo
PQo+QPo = o.
L'équation de OA est évidemment
PQo-QPo-o,
et l'on voit bien que le faisceau des quatre droites représentées par les équations
P = o, Q = o, PQo QPo=.o, PQo-+-QPo = o
est un faisceau barmonique.
152. Construction de la polaire d^un point par rapport à un angle. — Si l'on mène [fig- 58) AB parallèle à Ox et que l'on construise BC = AB, on sait que OC sera le ra^'on conjugué de OA par rapport à 0.r et Ojk; on a ainsi une première construction de la polaire du point A par rapport à l'angle xOy.
Voici une autre construction {fig. 09). On mène par le point A les deux sécantes rencontrant Ox en B et D et Oy en G et E et l'on mène les droites B£,
Fij
.OiJ.
CD; leur point de concours M appartient à la polaire de A. Eu
effet, soient R et S les conjugués de A
par rapport à B, C et à D, E. La droite RS
étant la polaire de A par rapport à l'angle
xOy et aussi par rapport à l'angle BMC
passe par les sommets O et M de ces deux
angles; donc OM est la polaire de A. C'est
d'ailleurs ce que l'on vérifie par le calcul
suivant. Posons 0B = a, OC=P; OD = a',
OE =^ ^' et appelons, comme plus haut, a, b les coordonnées de A.
Les coordonnées x^ y du point M vérifient les équations des droites
BE, CD; donc
Mais, le point A étant sur les droites BC et DE, ses coordonnées vérifient les équations
Or, en retranchant membre à membre les équations (i) et (:?), on obtient
Les équations (3) et (4) donnent de même
«(^-^')^Kp-f)="
On déduit des équations (5) et (6), en remarquant que les différence?
; et ô — q7 ne sont pas nulles,
bx -t- ay = o,
ce qui prouve bien que M est sur la polaire de A.
io6
Quadrilatère complet.
153. Soit {fig.Ç)o) ABGDEF un quadrilatère complet, c'est-à-dire la figure formée par quatre droites AB, BG, BD, DA. Désignons par X = o, Y = o, Z = o les équations des trois diagonales AC, EF, BD, rapportées à deux axes de coordonnées quelconques ; nous voulons former les équations des quatre côtés du quadrilatère. La droite AB a une équation de la forme
Fis. 60.
