DA DG
l^areillement, en divisant successivement par AB.GD et par AG.BD, on obtient
Enfin on vérifie immédiatement que X[jlv = — i.
Si les quatre points A, B, G, D sont distincts, aucun des rapports X, [ji, v ne peut être nul ni infini; il résulte des relations que nous venons d'obtenir qu'aucun des rapports ne peut être égal à -4-1; car, si X = +1, on aurait v = o. ce qui est impossible; on voit encore que deux des trois rapports X, ix, v sont positifs et le troisième négatif.
Il résulte de ce qui précède que. si deux systèmes de quatre points en ligne droite A, B, G, D et A', B', G', D' ont un rapport anharmonique égal, tous les rapports anharmoniques du premier système sont respectivement égaux à ceux du second.
Si X = — I, la division A, B, G, D est harmonique : dans ce cas [x = i, v = •^.
a/iharmonirjue Fig. 54.
144. Théorème fondamental. — Le rapport des points d^ intersection d'un faisceau de quatre droites concourantes par une transversale quelconque est indépendant de la position de cette transversale.
Soient {fig. 54) P = o, (^ = o les équations de deux droites passant par le point de concours O de quatre droites OA, OB, OC, OD ; ces droites ont des équations de la forme
P-t-XiQ = o, P-i-X,Q = o, P-i-X3Q = o, p hXvQ = o.
lOO CHAPITRE II.
Soient «, b^ c, d\es points d'intersection de la transversale avec ces droites et désignons par ^i , y^ et ^o, y^ les coordonnées des points a, h. En désignant par P, , Q, ce que deviennent P et Q quand on substitue k x el y^ x, et y, et par Pa et Q2 les résultats de la substitution àe x^k x et de y-> ky^ on a
ca P1-+-X3Q1
Cb P2-+-^3Q2'
mais, le point a étant sur OA, P, H- )., Q, = o, d'où P) = — ^m Qi ; de même Po = — ^^2Q2: de sorte que
>^3-Ài Ql.
ch '
on aura de la même manière
da db
X4-X, Ql
et, par suite,
ca da
cb ' db A3 — X2 * X4 — X2
Ce rapport est donc indépendant de la position de la sécante; on le nomme le /'apport anhaj^mo nique du faisceau et on le représente par la notation (O.ABCD), La démonstration subsiste évidemment si les quatre droites sont parallèles. On dit que le faisceau est harmonique quand (O.ABCD) = — i, c'est-à-dire
ou encore
(Xi-4-X2)(X3+X4)= 2(XiX2-i-X3X4).
145. Cas particulier. — Les quatre droites sont représentées par des équations de la forme
P = o, Q = o, P-+-XQ = o, P + [jiQ==o.
En procédant comme plus haut, ou bien en supposant X, = o, ^3= Xj );4= [j. et faisant croître Xo indéfiniment dans la formule précédente, on trouve
(O.ABGD)=-.
lOI
Dans ce cas, pour que le faisceau soit harmonique, il faut et il suffit que 'k= — [A, de sorte que le système d'équations
P-)-XQ=o, |»-XQ = o
représente un faisceau harmonique, les deux premières droites étant conjuguées par rapport aux deux autres et inversement.
En particulier, considérons les droites représentées par les équations
y — niix — o, y — m^a? = o, y — in^x =^ o, y — trit^x ^= o\ leur rapport anharmonique est égal à
et le rapport anharmonique des quatre droites
y = o, X — o, y — mx = o, y — /n'x = o
est égal à — ;; enfin y — mx = o, y -{- nix = o représentent deux droites conjuguées harmoniques par rapport aux axes.
146. Démonstration géométrique du théorème précédent. — Soit (yiff. 55) O.ABGD un faisceau de quatre droites coupées en a, b, c, d par une transversale, menons par c une parallèle à OD, qui rencontre OA en e, OB en/; on a pjg, 55
ca
ce cb do db
ca ^ da ce ^b'-lb ~7f'
do
Kn faisant les mêmes raisonnements pour une <leu\ième transversale a' b' c' d' . on aura
c' CL d! a' c' b' ' d' b'
, , ca da c a d a , ^
ce qui prouve que les deux rapports — p : -rp et -m : -jr-n sont égaux. En ^ ' ' ^^ cb db c b d b ^
regardant a', 6', c', d' comme les projections coniques de «, 6, c, d, on peut
dire que le rapport anharmonique est proj'ectif.
Pour que le rapport anharmonique soit égal à — 1, il faut et il suffit que
c soit le milieu de ef. Ainsi, pour que deu\ droites OC, OD soient con-
juguées harmoniques par rapport à OA et OB, il faut et il suffit que la' droite OC partage en deux parties égales une sécante parallèle à OD et comprise entre OA et OB.
Il convient encore de rappeler que
c« Oa.Oc.sin(G.A) da
~d) ~ 06.0c.sin(G.B)' lîb
Oa.Oc/.sin(D.A) 06.0c/.sin(D.B)
•de sorte que
da sin(G.A) sin(D.A) 'db ~ sin(G.B) ' sin(D.BJ'
Gette relation montre bien que le rapport —r '. -rr est indépendant de la po-
cb do
sition de la sécante et ne dépend que des positions relatives des i-ayons du
faisceau.
Mtl. Théorème. — Quand deux faisceaux ont un rayon commun et
même rapport anharmonique , les points d'intersection des rayons conjugués sont en ligne droite.
Soient, en effet {fig. 56), O.ABGD et O'.A'B'G'D' deux faisceaux ayant un rayon commun, OA coïncidant avec O'A', et tels que
(O.ABGD) = (O'.A'B'G'D');
soient b le point d'intersection des rayons correspondants OB, OB', et c le point d'intersection des rayons OG, OG' et supposons que la droite bc coupe 00' au point a\ je dis que bc passe par le point de concours des deux rayons OD, OD'. En effet, supposons que bc coupe OD en un point d et OD' en un point d' . On a vu que]
{O.P^BCY)) = {abcd) et (O'.A'B'G'D') = (aôc^').
Mais les premiers membres de ces égalités sont égaux par hypothèse, donc {abcd) =z {abcd'), ce qui exige que les points d et d' coïncident. Le théorème est donc démontré.
Polaire d'un point par rapport à un angle.
148. Définition. — On dit que deux points A, M sont conjugués harmoniques par rapport à un angle, lorsque ces points sont
lOÎ
Fig. 57.
conjugués harmoniques par rapport aux points d'intersection de la droite AM et des deux côtés de l'angle.
149. Théorème. — Le lieu géométrique des conjugués harmoniques dUin point A par rapport à un angle est une droite qui passe par le sommet de cet angle.
En edet, si l'on mène par le point A {fig- 07) une sécante quelconque coupant les côtés de l'angle donné en P et Q et que l'on détermine le conjugué harmonique de A par rapport à P, Q, le faisceau (O.AMPQ) est harmonique. Le point M est donc sur le rayon conjugué de OA par rapport aux droites Ox, Oy et réciproquement, si l'on prend sur le rayon conjugué de OA un point quelconque M, la sécante AM coupant Ox en P et Oy en Q, les quatre points A, M, P, Q forment une division harmonique et par suite A et M sont conjugués par rapport à l'angle xOy. Il en résulte que le lieu des conjugués harmoniques de A par rapport à l'angle xOy est une droite et en outre on voit que le lieu est le même pour tous les points de la droite OA.
150. On obtient simplement ces résultats par le calcul. Prenons pour axes de coordonnées les deux côtés de l'angle et soient «, b les coordonnées du point A; x, y celles de M. L'axe des x détermine sur le segment AM un rapport ayant pour expression
On a de même
et comme on doit avoir
l'équation du lieu de M est
