CD
aX — Z'Y + cZ = o.
En posant aX = X', 6Y = Y', cZ = Z', les équations des diagonales sont X'= o, Y'= o, Z' = o et celles des quatre côtés du quadrilatère
Nous pouvons effacer les accents et représenter l'ensemble des quatre côtés par les équations contenues dans la formule
sX + c'Y-^^'Z^o
154'. Théorème. — Les milieux des diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite.
LIG.XB DKOITE.
Prenons pour axes {fig. 61) deux côtés consécutifs OA, OC du quadrilatère OABG et soient L, M, P les milieux des diagonales OB, AC, DE. Si l'on pose ÔA = a, Fig. 61.
OC = c, OD = d, OE = e, les coordonnées
de M sont-j - et celles de P 2 2
suite MP a pour équation
(i) ix{c — e)—iy{a — d)-\- ae
-> - et par
cd = o.
Le point L est à l'inlerseclion des droites menées parallèlement à AE et à CD et à des
distances de l'origine respectivement deux fois plus petites; ces parallèles ont pour équations
■lex -+- -lay — «e = o, 2ca: -H i.dy — cd — o.
En multipliant par — i le premier membre de la dernière équation et ajoutant ensuite membre à membre avec les deux autres, on trouve identiquement zéro; donc les trois droites représentées par ces équations sont concourantes, ce qui démontre la proposition.
Triangles homologiques.
135. Théorème. — Scies côtés de deux triangles ABC, A'B'G'se coupent deux à deux en trois points L, M, P situés en ligne droite, les droites AA', BB', ce joignant les sommets opposés sont concourantes, et réciproquement .
Donnons-nous les équations des droites BG, AG, AB {Jig. 62) et soient respectivement Xi = o, Yi = 0, Zi = o les équations de ces trois droites. L'équation de LMP est de la forme a Xi -h pYi.-+- yZi = o; par suite, en posant aX,==X, pYi=Y, yZi = Z, les équations des côtés du triangle ABG seront X = o, Y= o, Z = o, et l'équation de LMP devient
Les équations des côtés B'G', G' A', A'B' seront respectivement de la forme
(B'G') aX^ Y+ Z =0,
(A'B') X-^ Yh-cZ = o.
I08 CHAPITUE II.
L'équation de AA' doit être de la forme ^ Y -+- yZ = o; mais celte équation doit être aussi une combinaison linéaire des équations de C'A' et de A'B'; son équation est donc
Pareillement BB' et GC ont pour équations
on voit que ces trois droites sont concourantes, puisqu'on obtient une identité en ajoutant leurs équations membre à membre.
156. Réciproquement, si les trois droites AA', BB', CC sont concourantes, soient
les équations des droites BG, OG, OB.
On peut supposer, en employant un artifice analogue à celui qui nous a servi plus haut, les coefficients de X, Y, Z déterminés de façon que AG et AB aient respectivement pour équations
(AG) X + Y = o,
(AB) X+Zr=o;
en retranchant membre à membre, on obtient l'équation
qui représente évidemment la droite OA.
Soit T = o l'équation de B'G'; on peut supposer les coefficients de T déterminés de façon que A'G' ait pour équation
or, en retranchant membre à membre les équations de OA et A'G', on obtient
Cette équation représente une droite passant par B' et par le point de rencontre A' de OB et A'G'; c'est donc l'équation de A'B'. En résumé les côtés du triangle ABC ont respectivement pour équations
et ceux du triangle A'B'G'
LIGNE DROITK. IO9
Il est évident que les côtés du premier triangle rencontrent les côtés corres,pondants du second en trois points situes sur la droite ayant pour équation
157. Le théorème précédent, dû à Desargues, peut être énoncé d'une autre manière. En regardant ABGet A'B'C comme étant deux positions successives d'un triangle qui se déplace et se déforme, on a cette proposition : Si les trois côtés d'un triangle variable ABC pivotent autour de trois points L, M, P situés en ligne droite, deux des sommets A, B glissant sur deux droites fixes A, A', le troisième sommet C décrit aussi une droite fixe A" qui passe par le point commun à A et A'.
158. Il est facile de généraliser : Si les côtés d'un polygone plan pivotent autour de points fixes situés en ligne droite et que tous les sommets sauf un décrivent des droites fixes, le dernier sommet décrit aussi une droite fixe. Il suffit de faire voir que si le théorème est vrai pour un polygone de n — I côtés, il sera encore vrai pour un polygone de n côtés, attendu qu'il vient d'être prouvé pour n = 3. Or soit un pentagone ABCDE, et supposons que les sommets A, B, D, E décrivent des lignes droites, tous les côtés d'ailleurs pivotant autour des points situés en ligne droite. Prolongeons AB et DG jusqu'à leur point d'intersection M.
Les sommets A, D, E du quadrilatère AMDE décrivant des droites, il en sera de même du point M, si l'on suppose le théorème vrai pour le quadrilatère; or, en appliquant le théorème au triangle BMC, on voit que le point G décrit aussi une droite. On peut donc regarder la proposition comme établie dans toute sa généralité.
EXERCICES
1. Démontrer par la transformation des coordonnées que l'équation d'une droite est du premier degré, et réciproquement.
— On prend la droite donnée pour axe de x. Réciproquement, on fait une transformation de coordonnées qui fasse disparaître un coefficient de l'équation générale.
2. Vérifier que Kx -H By -t- G = o représente une droite en faisant remarquer que, si les coordonnées de deux points M], M2 vérifient cette équation, celles d'un point'quelconque de MiMj la vérifient aussi.
3. Construire la droite qui a pour équation (axes rectangulaires)
— Ghercher le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée de l'origine sur la droite qui joint les traces sur les axes de la droite demandée.
4. Une droite se meut de manière que les segments qu'elle détermine sur les côtés d'un angle donné, à partir de son sommet, aient une somme ou une différence constante. Trouver le lieu du point qui partage la portion de cette droite, comprise entre les côtés de l'angle, dans un rapport donné.
5. Une droite se meut de manière que les segments qu'elle détermine sur les côtés d'un angle, à partir de son sommet, aient une somme ou une différence constante. Lieu du point de concours des perpendiculaires menées aux côtés de cet angle par les points où ils rencontrent la sécante considérée.
6. Une sécante à un angle se meut de manière à être coupée par les côtés de l'angle dans un rapport donné, trouver le lieu du point d'intersection des perpendiculaires menées, par les traces de cette sécante sur les côtés de l'angle, à ces côtés.
7. Des points d'une droite fixe on abaisse des perpendiculaires sur les côtés d'un angle; lieu du point qui partage dans un rapport donné la droite joignant les pieds de ces perpendiculaires.
8. Démontrer que les bissectrices des angles extérieurs d'un triangle rencontrent les côtés opposés en trois points en ligne droite.
9. Démontrer que deux bissectrices intérieures d'un triangle et une bissectrice extérieure rencontrent les côtés opposés en trois points en ligne droite.
10. Si des sommets d'un triangle on mène des droites faisant avec les côtés opposés des angles dont les bissectrices soient parallèles à une direction donnée, les trois droites obtenues sont concourantes.
11. Étant données cinq droites qui se coupent deux à deux, on mène les droites qui joignent les milieux des trois diagonales de chacun des quadrilatères formés. Démontrer que les cinq^fcroites ainsi obtenues sont concourantes.
12. Une transversale étant menée dans le plan d'un triangle, démontrer que les droites joignant chaque sommet au milieu du segment déterminé par la transversale dans l'angle correspondant rencontrent les côtés opposés en trois points situés en ligne droite.
13. Étant donné un quadrilatère, trouver le lieu des centres des parallélogrammes y inscrits et dont un côté est parallèle à une direction donnée.
14. Etant données les coordonnées de trois points A, B, G ou les équations de trois droites BG, GA, AB, reconnaître si un point M, dont on donne les coordonnées est à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle ABG.
15. Les deux côtés OA, OG d'un rectangle variable OA, BG sont sur deux droites fixes OX, OY ; démontrer que la perpendiculaire abaissée du sommet B sur la diagonale AG passe par un point fixe, si la différence des côtés de ce rectangle est constante.
LIGNE DROITK. I l i
16. Etant donnés quatre points A, B, C, 1) et une droite A qui coupe AB ♦•n M, CD en P; on construit le point M' conjuj^ué harmonique de P par rapport à A et B et P', conjugué harmonique de P par rapport à G et D. Vm faisant une construction analogue relative à AC, BD et AD, BC, on obtient trois droites. Prouver que les droites obtenues sont concourantes.
(De Laffitte.)
17. Les sommets B, C du triangle ABC sont fixes et le troisième se meut sur une droite. Prouver que les sommets et le centre du carré inscrit doni un côté repose sur BG décrivent des droites. (Neiiberg.)
18. Étant donné un parallélogramme ABCD, on prend sur les côtés consécutifs AB, AG des segments AM et AN, tel que -r—: — m, -^ = n. La droite MN coupant la diagonale AD en P, prouver que
PM n AD
PN m AP
19. Quatre points étant donnés sur une droite, prenant ces points deux à deux, on obtient trois systèmes de deux couples chacun et à chacun de ces systèmes correspond sur la droite un couple de points simultanément harmonique aux deux couples du système; les trois couples ainsi déterminés, pris deux à deux, sont harmoniques entre eux.
Cette propriété donne la résolution des équations biquadratiques.
(Hesse.)
20. On donne trois points en ligne droite Mi, Mj, M3. Soient Ni, Nj, N3 les conjugués harmoniques d'un quatrième point A de cette droite par rapport aux couples Mj, M3; M3, Mj; Mj, Mj. Les abscisses des points M étant les racines de l'équation
ax^ -h bx-^ cj? -h d — o,
et celle du point A étant c, former l'équation aux abscisses des points M.
(Le Paige.)
21. Si l'on appelle A, B, G les angles d'un triangle dont les sommets ont respectivement pour coordonnées Xx, yi\ Xi,yi', ^3, yz, l'orthocentre a pour coordonnées
a^i tangA-t-aratangB-HaratangC ^1 tangA-HjK2tangB-t->'3tangC
tangA -i- tangB -+- tangC ' tangA 4- tangB -t- tangC
22. Avec les mêmes notations, le centre du cercle, circonscrit au triangle ABC, a pour coordonnées
(a:j-+-a73) tangA -\-{x3-h Xi) tangB ■+- (a^i-t-arj) tangC 2(tangA -+- langB -f- tangC)
(.ri-^r3)tangA-f-(jK3-+-^i) tangB + (ji-4-^t)tangC 2(tangA -h tangB ■+- tangC)
23. En appelant a, b, c les côtés du triangle ABC, les coordonnées du centre du cercle inscrit sont
acCi-h bx->-\- CX3 (tyi-h- by.2-\- cy^
et celles des cercles exinscrits s'obtiendront en changeant dans les expressions précédentes successivement a en — a, b en — 6, c en — c.
Points et droites imaginaires.
159. Si l'équation f(^x,y)=^o admet la solution imaginaire X =L a-\- bi, y =: a' -{- b' i, on convient de dire que la courbe représentée par l'équation précédente passe par un point imaginaire ayant pour coordonnées a + bi, «'+ b' i.
Les deux systèmes de nombres imaginaires respectivement conjugués
X = a -i- bi, y = a'-{-b'i; x' = a — bi, y' =: a' — b' i
constituent deux points imaginaires conjugués.
Par opposition, un point défini par deux coordonnées réelles est dit réel.
160. Théorème. — Toute ligne droite passe par une infinité de points imaginaires conjugués deux à deux.
Soit Kx -\- By + 0 = 0 une équation du premier degré à coefficients réels représentant une droite A; il s'agit de déterminer des nombres réels p, q, yo', q' , tels que l'équation donnée admette la solution X =^ p -\~ qi, yz=p'-\-q'i, c'est-à-dire tels que
A/> -I- B/>'-4- G = o, A^-hB^'=o.
11 est évident que ce système admet une infinité de solutions, et l'on voit qu'il suffit, pour en trouver une, de prendre pour p et p' les coordonnées d'un point quelconque M de la droite donnée et pour q et q' les coordonnées d'un point quelconque P de la parallèle à cette droite menée par l'origine des coordonnées, de sorte qu'un point imaginaire de la droite A est représenté par l'ensemble des deux points réels M, P. En outre, si P' est le symétrique de P par rapport à l'origine, à l'ensemble des deux points M, P' correspond un point
LIGNE DROITE. I l3
imaginaire conjugué du premier. En faisant varier M et P arbitrairement, on obtiendra autant qu'on voudra de couples de points imaginaires conjugués appartenant à la droite A.
161. Définition. — On appelle droite imaginaire l'ensemble des solutions réelles ou imaginaires d'une équation du premier degré à coefficients imaginaires.
Plus généralement, l'ensemble des solutions réelles ou imaginaires d'une équation à coefficients imaginaires constitue une courbe imaginaire. Si une équation à coefficients réels n'a que des solutions imaginaires, on dit aussi que cette équation représente une courbe imaginaire.
Une équation algébrique entière à coefficients imaginaires peut se mettre sous la forme f{x, y) + //, {x, j) = o, f{x, y) et /, {x, y) étant deux polynômes entiers à coefficients réels. Cette équation admet en général des solutions réelles que l'on obtient en calculant les solutions réelles communes aux deux équations f(^x, y) =:o^ y, (x, y) = o. On écarte le cas où J\ (x, jk) serait égal à f{x, y)x a, a étant une constante, car dans ce cas l'équation précédente se réduirait h f{x, y) = o et aurait en réalité des coefficients réels.
162. Théorème. — Sur toute droite imaginaire il y a un point réel et un seul.
En effet, l'équation d'une droite imaginaire est de la forme P-(-Q/=o, P et Q désignant deux polynômes réels. On suppose que les droites représentées par les équations P = o, Q = o soient distinctes; elles ont donc un point réel commun, à distance finie ou infinie, qui appartient à la droite imaginaire considérée. Il est d'ailleurs évident qu'il ne peut y avoir plus d'un point réel sur une droite imaginaire, car la droite qui passe par deux points réels est réelle.
163. Théorème. — Deux points imaginaires conjugués déterminent une droite réelle.
Soient p 4- qi-, p' -\- q' i\ p — <//, p' — q' i les deux points imaginaires donnés. Il s'agit de déterminer A, B, C de façon que
k{p -+- qi) 4- B(/)'-^ <7't )-+- G = o,
A(/) — qi)^ B{p'— q'i)-h C = o.
NiEWENGLOWSKi. — G. an., I. 8
1 l4 CHAPITRE II.
Ce système est équivalent au suivant
A/> -f-B/)'-i- G = o, Ag -i-Bq' = o.
La solution la plus générale est
A = lq', B = — \q, C = 'k(qp' — pq'),
X étant arbitraire^ on obtient ainsi la droite réelle ayant pour équation
q'x — qy^qp'—pq'^o.
164. Corollaire. — Une droite imaginaire ne peut posséder deux points imaginaires conjugués.
165. Définition. — On appelle courbes imaginaires conjuguées deux courbes dont les équations sont de la forme
et
f{x, y) et fi (x., y) ayant des coefficients réels. Deux pareilles courbes ont les mêmes points réels. En particulier, deux droites imaginaires conjuguées ont un point réel commun.
166. Convention. — Toute expression ayant un sens géométrique quand les éléments dont elle dépend sont réels conservera^ par définition, le même nom quand cjuelques-uns de ces éléments deviendront imaginaires.
En voici quelques exemples. L'expression [x — x'Y-^{y — y')représente, quand x, y et x' ., y' sont réels, le carré de la distance des deux points M(^, y) et M'(x', y'). Si l'un de ces points devient imaginaire, ou si tous les deux deviennent imaginaires, nous dirons encore que l'expression précédente est le carré de la distance de ces deux points. Ainsi, par exemple, si l'on pose x=zi, y=zi^ x' ^ — if y ^ o, l'expression précédente devient égale à — 3 ; nous dirons que le carré de la distance des deux points considérés est égal à — 3. Il convient de remarquer que le carré de la distance de deux points imaginaires peut être un nombre positif.
LIGNE DROITE. I l5
De même
y/Aî+B*
est, au signe près, la distance du point (x^^ j'q) à la droite définie
par l'équation
A 37-1- By -I- G = o,
quand on suppose les axes rectangulaires et que le point et la droite sont réels. Nous conserverons le même nom à l'expression précédente quand le point et la droite seront imaginaires.
Pareillement, nous continuerons à appeler coefficient angulaire et ordonnée à l'origine de la droite ayant pour équation
\ c les expressions — ^> — jt si cette droite est imaginaire. Si les
coefficients angulaires de deux droites imaginaires A, A' sont respec-
tivement éffaux a /n et m, nous dirons toujours que ^ est la
° '' * I -t- mm
tangente trigonométrique de l'angle que A' fait avec A ; et si I -T- /n/n' = o ou AxV-h BB'=: o,
nous conviendrons de dire que A et A' sont des droites perpendiculaires.
11 est bien entendu qu'on ne doit attribuer à ce langage aucune réalité géométrique.
Si la transformation des coordonnées
ir=:aX+-a'Y-f-a", j = pX + ^'Y -^ (î"
donne l'identité f(x, y) ^FÇX.,Y), à la solution x = jjq, yt^y,^ de l'équation f{x,y)= o correspond la solution X = Xo, Y =^ Y„ de l'équaiion F(X, Y)= o. Quand Xo et y^ sont réels, il eu est de même de Xo et Y^; (xo, yo) et (Xo, Yq) définissent alors le même point rapporté aux deux systèmes d'axes. Quand Xo ety^ sont imaginaires, il en est de mênie de Xq, Yq. Il est naturel de dire encore que Xo,yo et Xq, Yq définissent le même point imaginaire.
107. Droites isotropes. — Parmi les droites imaginaires, il faut étudier d'une manière toute particulière celles qui ont pour cocffi-
Il6 CHAPITRE II.
cients angulaires i ou — t, les axes étant rectangulaires. Ces droites, ou, plus exactement, les équations qui les définissent, jouissent de propriétés remarquables.
1° Par la substitution
x = \cosa. — Ysina, j' = X sina -f- Y cosa,
on obtient
a? -f- 1^ =(X T- iY)(cosa 4- t sina) et
X — ijK=:=(X — iY)(cosa — tsina).
Donc, si l'on considère deux systèmes d'axes rectangulaires ayant même origine, les équations
œ -{- iy ^= o et X -f- i Y = o
représentent une seule et même droite. 11 en est de même pour les équations
X — «y = o et X — / Y — o. On vérifie de même que
y — 6 -+- i{x — a);^[ Y — B -i- t(X — A )J(cosa -i- t sina),
AetB étant les coordonnées du point (a, b) dans le nouveau système. Remplaçons l'axe Oy par un nouvel axe OY faisant avec Ox un angle 0; les formules de transformation
:r r:^ X + Y cose, 7 = YsinO donnent
X ^ iy — \ -\- Y(cosO -i- i sinO) et
X — ty = X -j- Y(cos8 — isinO).
Si l'on fait tourner ces nouveaux axes d'un angle a en posant
X'sin(e — a)— Y'sina X' sin a -f- Y'sin (6 -l- a)
sinÔ sinO
on trouve
X -H Y(cosO -f- isin6)=: [X'-H Y'(cos6 + t sin6)](cosa -f- i sina).
Il en résulte que, si l'on fait tourner les axes d'un angle quelconque, les droites ayant par rapport aux anciens, et aux nouveaux axes respectivement pour équations
X 4- Y(cosO 4- t sinS) — o
et
X'-H Y'(cos6-4- isin6)= o
sont les mêmes; et en combinant ce résultat avec le premier, on voit que, quels que soient les axes de coordonnées passant par un point donné, l'équation précédente représente toujours la même droite et cette remarque s'applique à l'équation conjuguée; on suppose, bien entendu, que 0 soit l'angle des axes.
11 est bon de remarquer encore que
x^-i-y^~{x^ iy){x—iy), X2-i--.>.XYcosO-t- Y«==[Xh- Y(cosO-H/sin6)][X-f- Y(cosO — f sinO |
et, d'autre part.
a;2^^!^X*-+- îXYcosÔH- Y2 ou
(.r-+- iy){x— t7) = [X-t- Y(cosG-+-«sinO)][X-<-X(cose — /sinO)].
Si OX fait avec Ox un angle a, on a trouvé plus haut
X -- /;^ = [X -•- Y(cos6 -+- « sinO)] (cosa - / siaa), X — iy =[X -~ Y(cosO — i sinô)] (cosa — i sina),
ce qui fournit une vérification.
Les droites singulières que nous venons de définir ont reçu le nom de droites isotropes.
Pour bien préciser le sens des résultats précédents il convient de remarquer que, si m est réel, et si jc, ^ et X, Y sont les coordonnées d'un même point rapporté à deux systèmes d'axes rectangulaires ayant même origine, les équations
y = nix et Y = /nX
représentent deux droites difTérentes; si l'on passe du premifir système au second par une rotation d'un angle égal à a, la seconde droite fait avec la première un angle égal à a; au contraire, si m = «" les deux équations définissent une seule et même droite.
2" Une droite isotrope est perpendiculaire à elle-même; cela signifie que l'équation 1 -\- mm'=^ o est vérifiée si l'on pose m = m'= i et aussi quand ni = ni'= — i.
Il8 CHAPITRE II.
3" La distance de deux points pris sur une droite isotrope est nulle.
Soient x,y et x'., y' les coordonnées de deux points appartenant à une droite isotrope; on a, par exemple,
y — jk'= i{x — ^')<
donc
4° La distance d'un point du plan à une droite isotrope est infinie ou indéterminée.
L'expression
yo— ixo—h
«st, par définition, la distance du point (a^o, JKo) à la droite isotrope
ayant pour équation
y =^ ix -{- h,
mais 1 -1- «2 = o ; donc, l'expression précédente est infinie, à moins •que le point (^o? J'o) n'appartienne à la droite isotrope. Dans ce cas, l'expression considérée est indéterminée.
5° L'angle d'une droite isotrope avec une autre droite quelconque est infini.
Si dans la formule tangV = — ,> on pose m'= ^, on obtient,
^ 1-4- 7nm ^ ' '
dans le second membre,
c'est-à-dire /. De même, pour m' = — ?, on obtient — i. Pour les mêmes substitutions, les expressions qui représeçtent sinV et cosV, quand les droites sont réelles, sont infinies.
En supposant tangV = i, la formule d'Euler tangV = i-ziiy ^'
donne e^-=o. Mais si l'on pose V=m + /it, de sorte que /3'^'= e""X e~", on voit que /i= + oo. Ainsi, l'angle V est imaginaire et le coefficient de i est infini. On peut donc dire qu'une droite isotrope fait avec une droite quelconque un angle infini.
Si tangV = — ï, on trouvera de même /î = — oo.
Une droite isotrope fait avec cHe-même un angle indéterminé.
COORDONNÉES HOMOGÈNES, COORDONNÉES TRILINÉAIRES. f \<)
G" Le rapport anharmonique p d'un faisceau de quatre droites Aj, A2, A3, A^, ayant pour coefficients angulaires mj, niz, /»?,, m<„ a pour expression
nii — ms rrii — m^
Si 1 on suppose 013 = i, m^ = — i, et si 1 on pose tangV = > on ob-
tient
cosVh- i sinV ' cosV — tsinV ou
(Laguerre. )
Ainsi, en désignant par V l'angle de la droite Ai avec la droite Aj, on voit que l'expression e*'^' repi'ésente ce que l'on peut appeler le rapport anharmonique du faisceau formé par ces deux droites et par les droites isotropes menées par leur point de rencontre.
Dire que deux droites réelles sont rectangulaires, revient à dire que ces droites forment un faisceau harmonique avec les droites isotropes menées par
leur point d'intersection ; en effet, siV= -> on a p= — i.
Coordonnées homogènes.
168. Jusqu'ici, la position d'un point dans un plan a été déterminée à l'aide de deux paramètres qui sont les coordonnées de ce point par rapport à un système donné d'axes. On a été conduit à faire usage de trois paramètres, au lieu de deux, de la manière suivante.
Soient ûc, y les coordonnées rectilignes d'un point M; on pose
en convenant que X, Y, Z auront dans tous les cas des valeurs finies et non toutes trois nulles. Supposons qu'on prenne pour unité une ligne de la figure. Je dis qu'à tout point M correspondent des valeurs de X, Y, Z proportionnelles à des nombres déterminés, et réciproquement. Supposons en effet .x = a, y = b; on en déduit
ou, )- désignant un facteur arbitraire,
Réciproquement, soient a, b, c trois nombres donnés; si l'on donne à X, Y, Z des valeurs proportionnelles à ces nombres, de sorte que
X = al, Y = bl, Z = cX.
On a, en supposant c^o,
et, par suite, les coordonnées du point M sont déterminées, puisque
ces équations donnent x ^= - > y = - •
La position du point M est donc déterminée par les trois nombres a, ^, c, ou mieux, par un système quelconque de nombres proportionnels à a, 6, c; de sorte que, quelle que soit la valeur de \, les nombres \a, \b, Xc déterminent un seul et même point M.
Nous nommerons "ka, \bj \c les coordonnées homogènes du point M.
Cela étant, supposons que le point M soit variable, et, pour plus de simplicité, supposons qu'il décrive une ligne droite B'B ayant pour paramètres directeurs a, p (Jig. 63). Si le point M s'éloigne indéfiniment de l'origine, ou, comme on dit, si le point M disparaît à l'infini, en restant toujours sur B'B, le rayon OM se confond à la limite, soit avec OA, soit avec OA', A'A étant parallèle à B'B. Par suite,
le coefficient angulaire de OM a pour limite -• C'est ce que l'on
