COORDONNÉES HOMOGÈNES, COORDONNÉES TRILINÉAIRES. I >. I

vérifie aussi par le calcul. En effet, les coordonnées de M sont

^oj J'o étant les coordonnées d'un point déterminé de la droite BB'; on en déduit

ce qui montre que - a pour limite -> quand p croît indéfiniment.

Or, d'une part, pour que les coordonnées -^j -j grandissent indéfiniment, il est nécessaire que Z tende vers zéro, puisque X, Y, Zont,

par convention, des valeurs finies; d'autre part, ^=-, ce qui

Y S prouve que lim ^ = -• Les coordonnées homogènes de M n'étant

déterminées qu'à un facteur près, on peut poser X = a, et, par suite, lim Y = [3. On peut donc dire que les coordonnées du point M ont alors pour limites : à, [Si, o. En d'autres termes, le système (a, [5, o) définit le point à l'infini dans la direction A' A.

Supposons que le point M s'éloigne indéfiniment sur une parallèle à l'axe des y, ayant pour abscisse a. Dans ce cas, Z tend

vers zéro, mais l'abscisse x, c'est-à-dire le rapport ^ » devant conserver une valeur finie «, il faut que X tende vers zéro ; Y n'est assujetti à aucune condition. On peut dire, par suite, que le système (o, A, o) représente un point à l'infini dans la direction y'y\ si l'abscisse de ce point est égale à a, il faut supposer en outre

lim j = a. Pareillement Çk, o, o) représente un point à l'infini dans

la direction de l'axe des x.

D'une manière générale, si X, Y, Z tendent vers des limites a, ^, y, le point M tend vers le point qui a pour coordonnées carté-

siennes -, -; si y =: o, le point M est à l'infini, la direction OM

ayant pour limite la direction définie par les deux paramètres directeurs a, p. Donc, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point (X, Y, Z) soit à l'infini est Z = o.