A , SB , 2L
A l'aide d'une suite de triangles rectangles on obtiendra x, cnr
5° Construire x = y A ±: \/B.
On suppose A et B rationnels, homogènes, et respectivement du second et du quatrième degré. ,
Écrivons
Si l'on construit d'abord
on aura
X = \/A ± Xa.
Enfin on peut construire [S et y tels que ^- = A, y- = T^a, de sorte (jue
iF2 = ^2 ± ,^2.
ce = v/«* ± 6*.
En écrivant
on construit successivement
a = et enfin
4 /rt* — a* 6'
lO
On a successivement
bi
en posant
Enfin, en écrivant
on construit y tel que et enfin
=\/Vt'
13. Applications. — Descartes fait remarquer, dans sa Géométrie, que la multiplication, la division, l'extraction de la racine carrée peuvent se ramener à des constructions graphiques. En effet, soit à effectuer le produit de deux nombres a. b. En prenant une longueur pour unité, cherchons une ligne dont la mesure x soit égale au produit des deux nombres a, b. Nous écrirons
Il suffira donc de construire une quatrième proportionnelle à la longueur prise pour unité et aux deux longueurs mesurées par les nombres a et 6; enfin la mesure de la ligne ainsi construite sera précisément égale au produit demandé.
De même si l'on doit calculer a? = ^ : en écrivant — = ^^ j il suffira de con-
struire une quatrième proportionnelle aux longueurs mesurées par b, a, i.
Pareillement si a: = y/a, en écrivant x = y/a x i, on est ramené à construire
une moyenne géométrique.
Supposons d'abord a > i ; nous prendrons (/ig- i) une ligne AG pour unité
et nous construirons la ligne AB mesurée par le
nombre donné a, puis nous décrirons sur AB
comme diamètre une demi-circonférence et nous
élèverons CD perpendiculaire à AB. La longueur AD
représentera la racine carrée de a. En prenant
AE = AD et décrivant sur AE comme diamètre une
demi-circonférence, la mesure de AF sera y/a, et
ainsi de suite.
Si a<i, en supposant (Jiff. a) que AG soit la ligne prise pour unité et
PRÉLIMINAIRES. I i
que AB soit mesurée par a, on décrira une demi-circonférence sur AG comme diamètre et on élèvera la perpendiculaire BD; AD représente /a. En prenant AE = AD et élevant la perpendiculaire EF, la mesure de AF sera y/a, . . ., et ainsi de suite. pj„ ^
Nous ferons encore la remarque suivante; en prenant {fig. 3) AB = a, BG = 6, O étant le milieu de AG, OA est la moyenne arithmétique des lignes a, b. En menant BD perpendiculaire à AG
BD = sfâb.
Enfin, si BE est la perpendiculaire à OD menée par B. on a
DE.D0 = BD' = a6
ou enfin
m^i±^=ab
