BE - CD)2— (B2 AGKE2- GF) =- GA
Le coefficient de x"^ est d'ailleurs égal à — 6, puisque nous avons
posé AC — B-=:5. Nous sommes ainsi amenés à distinguer plusieurs cas.
1° 8 > o. Ce cas se subdivise en trois autres.
(a) CA<:;o. Les racines de l'équation T = o sont réelles et inégales; désignons-les par x' et ce" et soit, pour fixer les idées, x' <i x" .
On peut poser
soit
Y= -ç^yj —1{'X — x' ){x — x"~),
on aura
r=-"-"-jf^±|V|.
Pour que y soit réel, il faut et il suffit que Y le soit; par suite, x doit être compris entre x' et x" .
Remarquons maintenant que, si x croît de x' à — ; — - ? le trinôme 1
, , . , . ,, . , 1 ^ ^ix" — X'y • 1
croit depuis zéro jusqu a un maximum égal a -^ — -; puis, quand
X croît depuis — ; — - jusqu'à x" , T décroît depuis son maximum
jusqu'à zéro; donc, dans les mêmes conditions | Y j croît depuis zéro jusqu'à un maximum déterminé et décroît ensuite jusqu'à zéro. D'après cela, construisons la droite AB {fig. 76) ayant pour équation
y z= Y^— -% et construisons les segments OC = .r', OD = jc",
puis menons par leurs extrémités les parallèles à Oy^ qui coupent la droite AB aux points C et D'. Il résulte de ce qui précède que la courbe est entièrement comprise entre CC et DD'. D'autre part, à chaque valeur de x comprise entre x' et x", correspondent deux valeurs àe y qu'on obtient en augmentant et diminuant l'ordonnée
'---, — de la droite AB d'une longueur égale à 1 Y |, ce qui donne,
pour chaque valeur de x^ deux points M, M' situés sur une parallèle à l'axe des y et tels que le milieu de la corde MM' se trouve sur la droite AB. On obtient ainsi une courbe fermée {Jig- 76). La droite AB, qui est, comme on vient de le voir, le lieu des milieux des cordes MM' parallèles à l'axe desjK» se nomme le diamètre conjugué à Vaxe des y.
Faisons un changement de coordonnées et prenons pour axes la droite AB et la parallèle à l'axe des y menée par le milieu de CD';
2l8 CHAPITRE Vllf.
Q étant le milieu de MM', les coordonnées du point M, par exemple^ seront coQ = X, QM = Y. Or, si l'on pose
Fig. 76.
on peut remarquer qu'il y a entre le segment coQ et sa projection HP sur l'axe O^, faite parallèlement à l'axe desj^, un rapport constant A', de sorte que
Par cette substitution, on obtient
en posant x" — x' = h. L'équation de la courbe rapportée à ces nouveaux axes est donc
'•2 ù li-
on
en posant a^z=z —, 0^= j^ •
Sous cette forme très simple de l'équation (2), on reconnaît qu'à deux valeurs égales et de signes contraires de X, correspondent les mêmes valeurs de Y, ce qui prouve que les cordes telles que MN, parallèles à wX, ont leur milieu sur wY; de même que, comme nous le savons déjà, le milieu d'une corde MM' parallèle à toY est sur wX. Par suite, chacune des droites wX, wY partage en deux parties égales les cordes qui sont parallèles à l'autre. Les quatre points M, M', N, N' qui correspondent àX = ^ et X'^ZTR^ — ^ sont les sommets d'un parallélogramme dont les diagonales se coupent au point co situé sur AB. Les points de la courbe, tels que M, N', sont donc deux à deux symétriques par rapport à o). Ce point est un centre.
On peut remarquer encore que
c'esl-à-dire
)JV] Enfin, en remarquant que
QM =-G'Q.QD'.
on reconnaît que les tangentes en C et D' sont parallèles à l'axe (les Y et que les tangentes en E et E' sont parallèles à l'axe des X.
La courbe que nous avons tracée se nomme ellipse. Nous verrons plus loin qu'elle ne diffère pas de la courbe que nous avons désignée déjà par le même nom.
(^) A ^ o. Le trinôme Test carré parfait, x' = x'^et, par suite,
Téquation représente évidemment deux droites imaginaires conjuguées. C'est d'ailleurs ce que nous avons déjà établi.
Bemarqiie. — Supposons les coefficients de l'équation (i) tous constants à l'exception de F; donnons à F des valeurs telles que CA soit négatif, 0 étant toujours supposé positif; l'équation f{x, y) ^ o représentera une série d'ellipses; la droite AB et le point w resteront invariables, toutes ces ellipses auront même centre; si A devient nul, l'ellipse dégénère en deux droites imaginaires conjuguées; elle n'a plus qu'un seul point réel qui est le point w.
(c) CA > o. Les racines de l'équation T = o sont imaginaires et le coefficient de x'^ dans le trinôme T est négatif; donc, quelle que soit la valeur réelle attribuée à x, ce trinôme est négatif et, par suite, y est imaginaire; l'équation donnée ne représente plus rien de réel. On convient de dire qu'elle représente alors une ellipse imaginaire. Le point to est encore réel et, en prenant wX et co Y pour axes, on pourra mettre l'équation sous la forme
Il convient de remarquer que, si ô est positif, A et G sont nécessairement différents de zéro et ont le même signe.
Remarquons tout d'abord que, comme dans les cas précédents, la droite AB, ayant pour équation
est le diamètre des cordes parallèles à l'axe des y. Cela étant, nous avons encore trois cas à considérer :
(a) CA <; o. Les racines x', x" du trinôme T sont réelles et inégales.
Supposons x'<i x" \ pour que y soit réel, il faut et il suffit que x
soit compris entre — 00 et ^' ou entre x" et + oc. La courbe n'aura donc aucun point compris entre les droites CC, DD' parallèles à l'axe des j- et ayant respectivement pour équations x=^x' et X =■ x" {fig. 77).
Lorsque x croît indéfiniment en valeur absolue, il en est de même de y et l'on en conclut que la courbe a des branches infinies. D'ailleurs, pour étudier ces branches avec plus de précision, posons
Ayant égard à l'identité
