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tels que ;== = k, et l'on mène des droites DD', EE' parallèles à une direc-

EG tion fixe; D' et G' étant les points de rencontre avec AB et AC. Trouver le lieu du point de rencontre des droites BE', CD' quand les points D et E se déplacent, le rapport k demeurant constant.

9. Les données étant les mêmes que dans le problème précédent, trouver le lieu du point de concours des droites DE', ED'.

10. Généraliser le problème 7 en remplaçant les deux parallèles par deux droites concourantes.

Classiâcation des courbes du second degré.

265. Avant de nous occuper de la classification des courbes du second degré, nous allons donner la définition et la détermination de la tangente en un point d'une courbe. Soit M un point appartenant à un arc de courbe ( fig. 'j^) x eX. y étant les coordonnées du point M et X H- Ax, y ■+■ ^.y les coordonnées d'un second point M' appartenant au '^' ^ * même arc. Nous supposerons que l'ordonnée y soit une fonction bien déterminée de or, pourvue d'une dérivée y', pour toutes les valeurs de x auxquelles correspondent les points de l'arc considéré. Puisque y est supposé fonction continue de x^ quand A^

tend vers zéro, il en est de même de Aj"et, par suite, le point M' s'approche indéfiniment de M, sans cesser d'appartenir à l'arc considéré; on dit, pour abréger, que M' est un point infiniment voisin

2l6 CHAPITRE VIII.

de M. Le coefficient angulaire de MM', c'est-à-dire ■-- , a pour

limite j-^. quand A^ tend vers zéro. Par conséquent, si l'on mène par le point M une droite MA ayant pour coefficient angulaire^', l'angle que la sécante MM' fait avec MA a pour limite zéro; on dit

que MA est la tangente en M. Si, au point M, -^ grandit indéfiniment, la droite MM' tend à devenir parallèle à Oy et, par suite, si, pour le point M, y' est infini, la tangente en ce point est parallèle à l'axe desjK- En résumé, le coefficient angulaire de la tangente en un point M d'un arc de courbe est égal à la dérivée de l'ordonnée, prise par rapport à l'abscisse.

266. Construction de la courbe représentée par V équation à coefficients réels

(i) Aa?2H- 2BarK-t- Cj^2 f .^I3-j;( 2EjK -t- F = o.

Supposons l'un des coefficients des carrés A ou C différent de zéro. Soit, par exemple, G^o. L'équation ordonnée par rapport ky peut s'écrire

CjK^-t- 2(Ba74-E)j-f-Aa;2-+-2DirH-F = o,

d'oij l'on tire

y=— ^^^^ ± ^ /(B^H-E)2— C(Aa^24.2Da7-f-F).

Il s'agit de savoir entre quelles limites on doit faire variera pour que l'ordonnée "K soit réelle. Le trinôme placé sous le radical a pour expression

T = (B2— AC):p2-l-2(BE — CD):r + E2— GF;

les coefficients de ce trinôme sont des mineurs du discriminant A du polynôme

et, en vertu d'une propriété bien connue des déterminants adjoints, on a l'identité, facile d'ailleurs à vérifier directement :