CA

r—yi

'^' v/8a;2-+-2Pa;-)-Q-i-arv/— 0

Quand a; croît indéfiniment par valeurs positives, le dénominateur

croît indéfiniment; donc y — y^ tend vers zéro et a le signe de — s; — > c'est-à-dire le signe — .

On peut arriver encore à ce résultat en remarquant que

a ayant pour limite zéro quand x grandit indéfiniment.

D'après cela, ayant construit le diamètre AB et la droite HK., dont l'ordonnée j>^j est supérieure à l'ordonnée de AB qui correspond à une

même valeur de x, dès que l'on suppose x > ; donnons à x

une valeur représentée par le segment OP et menons par l'extrémité P de ce segment une parallèle à l'axe des y. Cela fait, à partir du point Q oîi cette parallèle rencontre AB, nous portons un seg-

ment QM et un segment QMi ayant respectivement pour valeurs :

QMi= r^,

Il résulte de ce qui précède que le segment MM, est positif et tend vers zéro quand ^ grandit indéfiniment par valeurs positives; donc, la distance MU du point M à la droite HK tend vers zéro. Pour celle raison, on dit que la droite HK est asymptote à la branche que décrit le point M.

On appelle, en effet, asymptote crime branche infinie de courbe une droite telle que la distance d'un point M de la branche considérée à cette droite tende vers zéro quand le point M s'éloigne indéfiniment sur la courbe donnée.

On verrait de la même façon que la droite HK est asymptote, du côté des X négatifs, à la branche de courbe définie par l'équation

Enfin la droite H'K' i^eprésentée par l'équation

et qui coupe HK au point to de la droite AB qui a pour abscisse ^ ou

- est asjmptote aux deux autres branches infinies, ce qui est

d'ailleurs évident en remarquant que, si l'on construit les points M' et M',, tels que Q soit le milieu commun de MM' et de M, M',, le point M' appartient à la courbe et M', à la droite H'K'.

Si l'on prend pour axes la droite isi^^ dirigée suivant toB et coY parallèle à jk'j^, et que l'on fasse les mêmes calculs que pour l'ellipse, on obtiendra l'équation de la courbe rapportée à ces nouveaux axes.

En premier lieu, si nous posons x = -^ — '■ — \- ^, nous obtiendrons,

en remarquant que \ est proportionnel à X,

ou

et, en posanl -j^ = a-, ^ = 0^,

Dans ce système, les asymptotes ont pour équations

Y=^X et Y^-^^X.

On voit que rt^toD'. Les droites GC et DD' rencontrent les asymptotes en des points L, L', R, IV qui sont les sommets d'un parallélogramme dont les côtés ont pour longueurs 2 a et 26. Les asymptotes sont les diagonales de ce parallélogramme. Les axes wX et 10 Y sont deux diamètres conjugués; w est le centre de la courbe. Cette courbe a reçu le nom à^ hyperbole.

(6) A = o. Dans ce cas, ^'= x" et, par suite,

l'équation (i) représente alors deux droites réelles. Supposons que le coefficient F àe f{x, y) soit seul variable et conservons les hypothèses ô <; o, G A <^o. En donnant à F dilFérentes valeurs, la courbe représentée par l'équation y (^, j^) = o sera toujours une hyperbole ayant pour asymptotes les droites HK et H'K'. SoitFi la valeur qu'il faut attribuer à F pour que A = o; lorsque F devient égal à F< , la courbe se réduit à ses deux asymptotes.

(c) GA^o. Les racines du trinôme T sont alors imaginaires el,

par suite, ] Y | est toujours réel 5 si x varie de — ce à + 00, le trinôme T

décroît de + QO à un minimum qu'il atteint quand x =:r. - , puis croît

ensuite jusqu'à +00. Il en résulte que la courbe représentée par l'équation f(^x,y)=:-0 a encore des branches infinies. Si l'on suppose que F varie seul et prenne des valeurs telles que GA, d'abord négatif, devienne positif, on verra, par le même calcul que plus haut, que les droites HK. et H'R' sont encore des asymptotes; mais le

signe dey — yt ayant changé, les arcs infinis ne seront plus situés dans les mêmes angles formés par les asymptotes considérés plus

haut, mais dans les deux autres.

On obtient ainsi la courbe représentée par Idijig. 78.

En faisant les mêmes calculs que plus haut et en prenant pour axes la droite AB et la parallèle à l'axe des y menée par w, l'équation de la courbe aura , dans ce cas, la forme suivante :

If'

b^ est précisément le minimum de Y*; les asymptotes sont toujours les diagonales du parallélogramme R, L, R', L' construit comme plus haut. La courbe a donc la même forme, sinon la même position par rapport aux axes, que dans le cas précédent; on lui donne encore le nom ai' hyperbole.

3° 5 = o. Le trinôme T se réduit à un binôme du premier degré

T = 2Pa7+Q = 2P(:zr — a)

en posant a := -fr- D'ailleurs, dans ce cas, CA =^ — P^. Soit

d'abord P >> o. Alors, pour que j^ soit réel, il faut supposer x ^a et, par suite, si l'on construit la droite CD ayant pour équation x ^a,

la courbe n'aura de points que

^'8- 79- d'un côté de cette droite, du côté

des X positifs. Quand x croît de a

à +00, I Y I croît de o à -h 00. La

droite AB est toujours le diamètre

conjugué à l'axe des y. La courbe

a donc deux arcs infinis partant

de D situés sur AB et s'étendant

du côté des x positifs et de part et

d'autre de AB; on obtient ainsi la courbe représentée par Isijig. ^g.

En D, la tangente est parallèle à l'axe des y.

En prenant pour axes DX, dirigé suivant AB et DY parallèle

àyy, l'équation sera de la forme

Yî = 2PX,

comme on s'en assure aisément.

Si l'on suppose P <^ o, on devra prendre x^a', on aura une courbe ayant encore la même forme, mais tournée en sens contraire {Jig'- 80).

Enfin si P=o, c'est-à-dire si A = o, l'équation se réduit à