Quelques exemples de constructions particulières
Fig. 4.
On peut construire un angle o tel que tangip = -rt
de sorte que
X =^ a tang'"cp.
Traçons deux droites rectangulaires {Jig-^), et à partir de leur point de rencontre prenons sur l'une d'elles OA = a et sur la seconde OB = b. L'angle OBA = cp. Si nous menons la perpendiculaire AA) à AB, on a 0A| = a tango ; puis, si Ai A2 est perpendiculaire à AAj, 0A2 = atang2ç. En traçant A2A3 perpendiculaire à A1A2, on a OA3 = a tang'©, ....
X ■=■ a cos"c2.
Ayant construit un angle égal à cp {fig. 5), je porte OA = a sur l'un de ses côtés et de A j'abaisse AAj perpendiculaire à l'autre côté, puis Aj A2 perpendiculaire au premier côté, A2A3 perpendiculaire sur Is second, etc. On a
OAi = a coscp, OA2 = a cos-o,
0A„ = a cos"cj>.
cos"tp
Sur l'un des côtés d'un angle égal à 0 (yfig. 6), prenons OA = a et élevons AA| perpendiculaire au premier côté jusqu'à sa rencontre en Aj avec le second ; puis menons A1A2 perpendiculaire au second côté, etc. On a successivement
OAi OA,
coscp a
= /a2 t 62±:2aèsin6.
cos'*cp
On peut écrire
x' — s/a--\- b^ — -iab sinô =4/ a- -t- 6- — lab cos /
x"= /a2-H b'^-Ariab sin6 =zi/a^--\- b^ — -iab cos (- -t-
Pour construire ces lignes, prenons sur l'un des côtés de l'angle 0 (Jiff. 7) OB = b et abaissons de D une perpendiculaire sur l'autre côté de cet angle sur laquelle nous prendrons BC = BD = a. L'angle OBG = - — 6 et
OBD = - -
On écrit
Il en résulte que x' = OC, x" = OD.
On peut construire à l'aide de triangles rectangles les lignes a et p telles
que
et alors
Soient AB = a, BG = h {fig. 8); on a AG = p. En décrivant une demicirconférence sur AB comme diamètre et construisant la corde BD = BC, AD sera égal à a. Rabattons AD sur le prolongement de AG en AE et décrivons une demi-circonférence sur GE comme diamètre et enfin traçons la droite AF perpendiculaire à GE : x = AF.
Fig. 8.
6° ^ = « \ II, n étant un nombre positif. En écrivant
X = \ a \/7îa^,
on construira d'abord a = \J na"-, en remarquant que
aa-
et ensuite
15. Construire les racines dhuie équation du second degré. — Si Ton désigne par x une ligne inconnue et par a, b des longueurs données, une équation du second degré en x est de l'une des quatre formes
x^ — ax H- ^2 — o^ x"^-^ ax — b- = o, x"^ 4- ax -I- t- = o, x"- — ax — ù- =: o.
Il suffit de considérer les deux premières équations, puisque les deux autres sont leurs transformées en — x.
Considérons d'abord l'éfjualion (i); si ses racines sont réelles, elles sont positives, et si l'une d'elles est x, l'autre est a — x; en
outre
on est ramené à construire deux lignes connaissant leur somme et leur moyenne géométrique.
Les racines de l'équation (2) ont des signes contraires; en désignant par X la racine positive, la racine négative est égale à — (a-^x); nous construirons x et a -\- x en remarquant que leur différence esl
l4 CHAPITRE I.
égale à a et leur moyenne géométrique à b, car l'équation (2) donne
Nous sommes ainsi ramené à deux problèmes connus.
On peut procéder autrement. La formule de résolution de l'équation (i) étant
on construira d'abord, à l'aide d'un triangle rectangle,
et l'on a ensuite
Pour l'équation (2)
on construit successivement
En suivant la première marche, on retrouve aisément les formules de résolution.
On ramène au second degré l'équation bicarrée
En posante- = 0^5 on peut construire j)/", qui est donné par l'équation
on en déduit a; en construisant une moyenne proportionnelle.
16. Problème de Pappus. — Nous donnerons encore, pour terminer, un exemple de construction élégante due à Pappus. Il s'agit de résoudre le problème suivant :
Mener par un point A pris sur la bissectrice de l'angle xOy une sécante BG de longueur donnée l.
PRÉLIMmAIRES.
Nous prendrons comme inconnues {fig. 9) DB = x, EG ■=. y cx. nous poserons AD = AE = a, a désignant la distance du point A aux côtés de l'angle droit. Les deux triangles semblables AEG, ADB donnent
(i) xy — a«.
On a, en outre,
(2) {x-^ay-^{y-^aY=l'^.
En remplaçant j' par — , nous sommes conduit à résoudre l'équation
que l'on peut écrire
ha
en développant, on trouve
jx aV \a X J
A H Ig
'^pT'^^
,,7d • -'B ce
ou, en prenant comme inconnue auxiliaire la longueur u définie par l'équation
on a enfin
u^ -\- "xau — l^ —
En résolvant cette équation, nous obtenons
Pour construire, prenons AF = /, de sorte que EF = y/a^-t- l- et par suite, si la circonférence de centre E et de rayon EF coupe la parallèle à Oa; menée par A en G et G', AG = v/ÔM-T^ — a et AG'= /«^-i- l'^ -t- «• Gela posé,
Donc, si l'on abaisse BH perpendiculaire sur AG, comme AH = a:, on a
HG = — ; il en résulte immédiatement que l'angle ABG est droit. D'après
cela, on décrit une demi-circonférence sur AG comme diamètre. Si cette circonférence coupe Ç)x en B et Bj, les sécantes BG et BjGi répondent à la question. On obtient de même deux autres solutions BjGj et B3G3.
l6 CHAPITRE I.
EXERCICES
sina
i. Diviser une droite donnée dans le rapport
sin p
et
^ ^ . I 1 ' 1 r 1 ab -i- cd
