Construire x
«62 4- a2 6 -4- 6c2 H- c62 -4- ca* -i- ac^ -^labc
11. Résoudre le problème de Pappus en prenant pour inconnue la distance du sommet de l'angle droit à la sécante.
(Gergonne.)
12. Résoudre le problème de Pappus en prenant pour inconnue la distance du milieu de la sécante au sommet de l'angle droit.
(Newton.)
13. Résoudre le problème de Pappus pour un angle quelconque, le point donné étant toujours sur la bissectrice de cet angle.
14. Mener par un point pris dans le plan d'un angle une sécante qui détermine avec les côtés de cet angle un triangle d'aire donnée.
Segments.
17. Considérons une droite indéfinie x' x {fi g- 10) sur laquelle sont marqués des points A, B, C, . . . . Nous représenterons par AB
le segment de droite décrit par un point se mouvant sur la droite x' x et allant de A vers B; BA représente ce segment décrit en sens contraire. i>Jous
conviendrons de regarder comme posî- âP ^ g c ^'
tifs tous les segments décrits dans un
sens déterminé, choisi arbitrairement; et comme négalifs ccu\ (iiii
sont décrits en sens contraire.
D'après cela,
ÂB = — BA ou
ÂÏÏ-i-BÂ = o.
18. Théorème. — Etant donnés un nombre quelconque de points A, B, . . . , L situés en ligne droite, on a
AB -h BC -+-...-+- LA = o.
La relation est vraie, par définition, pour deux points. Considérons trois points en ligne droite A, B, C. Si B est entre A et C {fig. lo), il est évident que
ÂB + BG=ÂG;
donc, en tenant compte de l'équation
ÂC-i-GÂ = o, on a
ÂB4-Ï3G-+-CÂ = ().
De même, si le point A est entre B etC, on a
BÂ-4-ÂG-i-GB = o,
et, en changeant les signes de chaque segment, on retrouve la m«Miie relation que dans le premier cas. Même raisonnement quand le point G est entre A et B. La proposition est donc vraie pour trois points. Cela étant, si elle est vraie pour n — i points A, B, . . , , k, elle sera encore vraie avec un point de plus, car des relations
ÂB-hBGH-...-f-KÂ = o,
ÂK -t- KL M- LA = o,
on tire
ÂB + BC -i- . . . + KL -h LA = o.
La relation précédente est donc vraie quel que soit le nombre des points.
