TOME m

Fit

\. Soient {^/Ig. i) x'x,yj, z' z trois droites ayant un point comnuin O, mais non situées dans un même plan, et soit M un point (juelconque. Les plans menés par M parallèlement aux trois plans yOz^ zOx^ xOy forment avec ces derniers un parallélépipède, dont trois sommets A, B, G sont smt x'x, .y'y'i ^' ^ respectivement. Si la position du point M est déterminée par rapport au trièdre Oxyz, ces trois points sont déterminés ; le point A est commun à x' x et au plan mené par M parallèlement au plan yOz; B est à l'intersection de y' y et du plan parallèle k zOx mené par M; G est l'intersection de z' z avec le plan parallèle au plan xOy mené par M. Réciproquement, si les points A, B, G sont donnés, le point M est déterminé; c'est le point commun aux trois plans ADF, BDE, GEF, respectivement parallèles aux plans yOz, zOx^ xOy. A tout point M correspond un système de trois points A, B, G et réciproquement.

Sur chacune des droites x' x^ y'y, :;':; on fixe un sens positif; nous conviendrons de désigner par 0.r, Oj-, Oz les demi-droites positives; Ox', Oy, O z' seront, par suite, les demi-droites négatives.

NiEWENQLOWSKI. — G. art., III. 1

CHAPITIIE I.

Si l'on connaît les mesures algébriques des segments OA, OB, OC, les points A, B, C sont déterminés sans ambiguïté, et il en est de même du point M. SiOA = a, OB ^ 6, OC = c, ces trois paramètres a, b, c sont les coordonnées du point M.

Les deux vecteurs AD et OB sont, égaux, parallèles et de même sens, c'est-à-dire, en un mot, éqcipollents ; de même DM et OC sont équipollents; pour cette raison, le contour OADM se nomme le contour des coordonnées du point M.

Si l'on représente par ^, y^ z les coordonnées d'un point M, on voit, par ce qui précède, qu'il faut donner trois équations x = «, y z= b, z = c pour déterminer ce point, que nous représenterons par la notation M(a, b, c). On nomme souvent a: l'abscisse, y l'ordonnée, z la cote du point M.

Remarquons immédiatement que tous les points du plan MAD ont même abscisse; on peut dire que x = a est l'équation de ce plan. De même tous les points de la droite MD ont même x et même y, le système des deux équations x ^= a, y = b représente donc cette droite.

De même y = b est l'équation du plan MBD ] y =z b, z = c représentent la droite EM.

Le planyO:;a pour équation ^ = 0; l'équation du plan zOx est y = o; enfin ^ = o représente le plan x Oy. Ces trois plans sont appelés souvent les plans de coordonnées.

L'axe des x a pour équations y = 0,^ = 0. Les équations de l'axe des y sont 5 = 0, ^ = o, et celles de l'axe des :; sont x =^ o, y = o.

On voit, par ce qui précède, qu'une parallèle à l'un des axes de coordonnées est représentée par deux équations; nous verrons bientôt qu'il en est ainsi pour une ligne quelconque.

Lorsque le trièdre Oxyz est trirectangle, on dit que les coordonnées a:^,jKj -3 sont rectangulaires ; elles sont dites obliques dans le cas contraire. Nous supposerons toujours les demi-droites O^, Oy, Oz dirigées de telle sorte qu'un observateur, placé les pieds en O et la tête en un point de la demi-droite O^, voie Ox à sa gauche et Oy à sa droite, quand il regarde l'angle xOy.

Tout système de coordonnées rectangulaires ou obliques, défini comme on vient de le faire, est appelé système de coordonnées rectilignes ou encore cartésiennes.

Fig. 2.

2. Représentation d'une surface. — Considérons une surface quelconque S et un système de coordonnées Oxyz {Jig. 2); toute parallèle à l'axe des z menée par un point quelconque P, pris dans le plan Ojcy^ rencontre la surface S en des points déterminés M, M', . . . , ce qui revient à dire que le z d'un point quelconque de S est une fonction déterminée des deux autres coordonnées X, y. En d'autres termes, les coordonnées œ, y, z de tout point appartenant à une surface sont liées par une même équation f(x^y, z) = o, que nous appellerons l'équation de cette surface. On a supposé que la surface S n'est pas un cylindre ayant ses génératrices parallèles à l'axe des z.

3. Réciproquement, toute écjuation f{x, y, z) ■:= o définit, en général, une surface déterminée.

En effet, supposons d'abord que l'équation ne renferme qu'une seule variable : soit, par exemple, f(^x) = o. A toute racine a de celle équation correspond un plan parallèle au plan Oyz; donc, le lieu des points dont l'abscisse x vérifie l'équation précédente est un système de plans parallèles au plan Oyz', ce système contient autant de plans que l'équation proposée a de solutions. Si cette équation admet une solution imaginaire a-i-^i, nous dirons que l'équation x = a-i- ^i représente un plan imaginaire parallèle au plan Oyz. D'après cela, une équation algébrique de degré m à une seule inconnue représente un système de m plans réels ou imaginaires, distincts ou confondus, parallèles à l'un des plans de coordonnées.

L'équation sin.r = o représente une infinité de plans dont les équations sont comprises dans la formule x = A tt, /{ étant un entier quelconque, positif ou négatif. (On suppose, bien entendu, une ligne de la figure prise pour unité.)

Considérons, en second lieu, une équation à deux variables f{^iy) = Oj X et y désignant des coordonnées rectilignes. Si l'on construit, dans le planxOy, la courbe C qui a pour équation, dans ce plan, f{oc, y) =: o; et si l'on considère le cylindre qui a pour liaso

Fig. 3.

];i courbe G {fig- 3), et dont les génératrices sont parallèles à l'axe (les ;, tout point M de ce cylindre a même ^ et même y que la

trace P sur le plan xOy de la génératrice MP qui passe par M, et réciproquement, tout point qui a même x et même y^ qu'un point quelconque P de la courbe C est sur le cylindre considéré. Donc, le lieu des points dont les coordonnées vérifient l'équation donnée est un cylindre dont les génératrices sont parallèles à Taxe des z.

On verrait de même que les équations /(y, :;) = o, /(s, x) = o représentent, la première : un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe des x\ la seconde : un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe desjf.

Soit enfin fi^x^ y, ^) = o une équation à trois variables x^ y, r, ces lettres désignant des coordonnées rectilignes. L'équation z = h représente un plan parallèle au plan xOy', l'équation y(x,j)", h) = o est celle d'un cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe des z; le système de ces deux équations représente la courbe C commune au plan et au cylindre considérés. Si l'on fait varier d'une manière continue le paramètre A, la courbe C se déplace et se déforme d'une manière continue; elle engendre une surface S. Considérons un point quelconque M de cette surface, et soient Xg, y^, :-o ses coordonnées. D'après le mode de génération de la surface S, il passe par le point M une courbe Cq définie par les équations z = z^, /{x, y, Zq) = o, d'où il résulte que /{xq, y^, Z(,) = o. Réciproquement, si cette condition est remplie, le point M(xo, yo, Zq) est sur la courbe Cq et, par suite, appartient à la surface S. Le lieu des points dont les coordonnées vérifient l'équation donnée est donc la surface S.

Remarque. — Une équation entre x, y, z peut se décomposer en plusieurs autres et représenter plusieurs surfaces distinctes. Il peut encore arriver que l'équation considérée n'ait que des solutions imaginaires, ou encore qu'elle n'ait qu'un nombre déterminé de solutions réelles et, par suite, représente un certain nombre de points

réels. Ainsi, par exemple, l'équalion

n'a ([u'une solution réelle, el représente le point ayant pour coordonnées «7, h, r.

L'équalion

ix — ay-h-if — 0)--hiz — c)2-H <:/■•! = o

n'a aucune solution réelle.

Plus loin, en tenant compte des solutions imaginaires, nous interpréterons autrement ces équations, et nous dirons que la première définit un cône imaginaire, la seconde une sphère imaginaire. Pareillement, l'équation

repi'ésenle une droite si l'on ne tient compte que des solutions réelles, car on en tire

Mais nous pourrons aussi la considérer comme représentant deux plans imaginaires, car

{x — a)'^^{y — by^ [x — a ^ i{y — b)][x — a — i{y — b)].

4. Représentation d'une ligne. — Une ligne peut être considérée comme l'intersection de deux surfaces; il en résulte que les coordonnées J", y, z d'un point quelconque de celle ligne vérifient les équations de deux surfaces :

f(x,y,z) = o, fi{x,y,z) = o.

Réciproquement, le lieu des points donl les coordonnées vérifient deux équations est l'ensemble des points communs aux surfaces définies par ces deux équations : c'est donc une ligne.

Nous verrons plus loin un autre mode de représentation d'une surface ou d'une ligne.

o. Cylindres projetants d\ine ligne. — Soient f{x, y,z) ^ o, J\[x, y, z)^=o les équations d'une ligne C, el a, h, c les coordonnées d'un point M de cette ligne. Les équations /{a, b, 3) = o,

b CHAPITRE I.

fi{ci.j b, z) = o ont au moins une solution commune z=^c; donc, si l'on élimine z entre ces équations, on a R(rt,Z>) = o, ce qui prouve que le point M est sur le cylindre qui a pour équation R{a;,y) ^o. Réciproquement, soient a, b, c les coordonnées d'un point P de la trace de ce cylindre, de façon que R(a, b) = o; les équations /{a, 6, z) = o et /, (a, b, jz) = o ont au moins une solution commune c, et, par conséquent, le point M(«, b, c), situé sur la parallèle à Os menée par le point P, appartient à la ligne C. Le cylindre ayant cette ligne pour directrice et dont les génératrices sont parallèles à Oz a donc pour équation T{(x, y) =: o; on obtient cette équation en éliminant jz entre les deux équations données. Les parallèles à l'axe des z menées par les différents points de la ligne C étant des projetantes, le cylindre que nous venons de déterminer a reçu le nom de cylindre projetant parallèle à l'axe des z.

On déterminerait de la même manière le cylindre projetant parallèle à l'axe des y en éliminant y^ et le cylindre projetant parallèle à l'axe des a: en éliminant .r.

6. Remarque. — 11 est indispensable d'observer qu'une courbe n'est pas complètement déterminée quand on connaît deux des cylindres projetants de cette courbe parallèles aux axes de coordonnées; il peut arriver en effet que l'intersection complète de ces deux cylindres se décompose, de sorte que la courbe considérée ne soit pas toute cette intersection. Par exemple, si l'on donne les cylindres projetants d'une ellipse parallèles à l'axe des y et à Taxe des z, ces deux cylindres ont en commun, comme on le verra plus loin, non seulement l'ellipse donnée, mais en ovitre une seconde ellipse distincte de la première; pour achever de déterminer celle-ci, il faut connaître encore le cylindre qui la projette parallèlement à l'axe des X.

Donner deux cylindres projetants revient à donner les projections de la courbe sur deux plans de coordonnées; on voit donc qu'une courbe n'est pas entièrement déterminée quand on connaît deux de ses projections. C'est d'ailleurs ce dont on peut se rendre compte de la manière suivante :

Supposons que les projections d'une courbe C sur xOy et sur/0- soient des cercles C, G" ayant même rayon et leurs centres dans un plan parallèle au plan xOz. *

Fig. 4.

Pour dclcnnincr le point de la courbe C qui se projette en un point P du cercle G', menons par P un plan parallèle au plan zOx] ce plan coupe le cylindre parallèle à Ox ayant pour base G" suivant deux génératrices qui rencontrent la parallèle à O^ menée par P en deux points M,

La courbe C peut donc cire le lieu des points M ou le lieu des points M', et il peut se faire que ces deux lieux soient deux courbes distinctes, et c'est précisément ce qui arrive dans le cas particulier considéré, car les équations des deux cylindres étant

-af

ir-

-by-

si l'on considère l'intersection complète de ces deux surfaces, le troisième cylindre projetant a pour équation

Celte équation, qui est celle de la base de ce cylindre sur le plan xOz, représente deux droites; ce cylindre dégénère donc en deux plans perpendiculaires au plan xOz, d'où il résulte que la courbe G est l'une ou l'autre des sections de l'un des deux premiers cylindres par ces deux plans.

D'une manière plus générale, si l'on regarde une courbe comme l'inlersection de deux surfaces, il peut se faire que cette courbe ne soit pas toute l'intersection. La courbe ne sera donc pas entièrement déterminée par la connaissance de ces deux surfaces seulement.

Angles d'une demi-droite avec les axes de coordonnées.

Premieu cas. — Axes rectangulaires.

7. Considérons {fig. 5) d'abord trois axes rectangulaires et soient x^ y, z les coordonnées d'un point M pris sur une demi-droite OA issue de l'origine. Désignons par a, P, y les angles que la demidroite OA fait avec Ox, Oy, Oz respectivement, c'est-à-dire les angles AO.r, AOj', AO:;. 11 est évident a priori c^n'W existe une relation entre ces trois angles, car, si l'on donne a et (3, la droite OM est une génératrice commune à deux cônes de révolution.

ayant pour axes Ox clOy; elle est donc déterminée, et, par suite, Y ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs.

Effectivement, si l'on désigne par / la longueur OM et si l'on projette orthogonalement OM sur les trois axes successivement, puis le contour des coordonnées de M sur OA, on obtient

(i) :r==/cosa, y — l co?<'^, z ~ l cos^r,

(l) X COSac -{- y 005*^ -h Z COS'l ~ l,

d'où

(3) cos^a H- cos^ ^ -i- cos'y = I-

Réciproquement, si l'on connaît trois nombres réels rt, 6, c tels que

il existe une demi-droite OM faisant avec trois axes rectangulaires des angles dont les cosinus sont égaux à a, 6, c. En effet, prenant une ligne de la figure pour unité, construisons le point M ayant pour coordonnées a, b, c, et soient a, ^, y les angles que OM fait avec les axes; en nommant / la distance OM, ou a

d'où

et, par suite,

— /cosa. é=^cos3, c = / cosy, / = !, cost = a, cos'^ = b, cosY = C-

Réciproquement, si une demi-droite 0/V fait avec Ox, Oy^ Oz des angles dont les cosinus sont respectivement égaux à a, b, c, le point M pris sur cette droite à l'unité de distance de l'origine a pour coordonnées a, b, c] le problème a donc toujours une solution et une seule.

Remarque. — Pour abréger, nous dirons que.cosa, cos^, cosy sont les cosinus directeurs de OM.

On a

sin-a -(- sin-^ -+- sin^Y — a,

d'où l'on déduit que la somme des carrés des projections d'un segment sur

trois plans rectangulaires deux à deux est égale à deux fois le carré de ce segment.

8. Trouver une demi-droite dont les cosinus directeurs soient proportionnels à des nombres donnés. — Supposons

cosa cos^ cosy .

(Il désignant par \ la valeur commune de ces rapports, on a

cosa — la, cos^ = lu, cosv = Xc;

IHa'- -h b^ -^ c'-) ^ i ,

cl, par suite,

en posant Ou a ainsi

-hc^.

COSa = î — , COSfJ=:î— , COSY = ôîr-

En prenant successivement £ = -f-i etî = — i,ona deux demidroites OM, OM' directement opposées, portées sur une droite AA' répondant à la question (^). Nous dirons que a, b, c sont proportionnels aux cosinus directeurs de la droite AA'.

9. Carre de la distance dhin point à l'origine. — En éliminant cosa, co5,3, cosy entre les équations ( i) et (a), on a

On déduit aussi cette formide de l'égalité géométrique

l ~ X -^ y ~\- z, qui donne immédiatement (I, 38)

li = {x-'ry + ly — x'^+y"--^ z^.