Cosinus de l'angle de deux demi-droites. — Soient OA

OA'deuxdemi-droiles {fig. 6); a, p, y et a', P', y' les angles qu'elles font avec les axes. Prenons sur OA un point M(.r, y, z)^ et projetons OM et le contour des coordonnées de M sur les axes et sur OA', ce qui donne

a7=/cosa, jK = ^cosp, ^ = /cosy, X cosa'-f-jK cos P'-f- z cosy' = l cosV,

V désignant l'angle AO A' et /la longueur OM. En éliminant x,y^ z entre ces quatre équations, on obtient

cosV = cosa cosa'+ cos ^ cosp'-f- cosy cosy'.

Pour simplifier l'écriture, désignons par a, 6, c; a', h\ c' les cosinus directeurs des deux demi-droites, de sorte que

cosV = aa'-t- bb' -\- ce' .

Condition d'orthogonalité, — Pour que les deux droites OM, OM' soient rectangulaires, il faut et il suffit que cosV = o, c'està-dire

aa' -\- bb' -^ ce' =^ o .

il. Calcul de sinV :

sin^V = I — {aa' -^ bb' -+- cc'Y, ou

sin2V = (a2+ ^,2 j c2) (a'2| £,'2, ^'2) (aa'-H 66'-h cc'y-,

et, en vertu de la formule de Lagrange,

sin2V = {bc'— cb'y-h (ca' — ac'y^-i- (ab'— ba'y-.

Les deux droites OM et OM' auront la même direction si sinV = o, ce qui a lieu si

La valeur commune de ces rapports est égale à

c'est-à-dire rh i ; si a=r a' , b =::^h\ c = c' les deux demi-droites OM, OM' sont confondues ; si a = — «', b = — b\ c ^= — d , elles sont opposées.

12. Expression de cos V en fonction des coordonnées de M et fi(. M'. Oq a, / et /' désignant les longueurs OM et OM' (/^. 7),

d'où c'esl-à-dirc

cosV =

/' — x' -^y -h z', II' cos V = xx' -+■ yy' -h zz\ xx'-hyy'-h zz'

Fis. 8.

13. Angles de deux droites, connaissant des nombres proportionnels à leurs cosinus directeurs. — Supposons

cosa a

cosp

cos Y

cosa

cos^' cosy'

cosa = t —,

cosa — £ --,

cosp cos^'

cos Y =:

cos y' =

iT'

Soit V l'un des angles que font entre elles les demi-droites deux à deux opposées dont les cosinus directeurs sont proportionnels aux nombres donnés, on a

bb' -\- ce'

cosV

, aa