Exprimer que le plan

Ix -4- my -h nz -h p = o coupe l'hyperboloïde

suivant deux droites (Exercice de calcul).

28. Lieu des points par lesquels passent deux génératrices d'un hyperboloïde ou d'un paraboloïde faisant entre elles un angle donné.

29. Un tétraèdre ABCD est partagé en deux parties équivalentes par le paraboloïde hyperbolique qui passe par deux couples d'arêtes opposées.

30. Quand les six arêtes d'un tétraèdre sont tangentes à une quadrique, les quatre droites, suivant lesquelles le plan des trois points de contact des arêtes issues de chaque sommet rencontre la face opposée, sont des génératrices d'un hyperboloïde.

31. Quand un tétraèdre est inscrit à une quadrique, les plans tangents, menés par les sommets, rencontrent les faces opposées suivant quatre droites qui sont les génératrices d'un hyperboloïde.

32. Quand les six arêtes d'un tétraèdre sont tangentes à une quadrique, les plans tangents, menés par les arêtes d'une même face, se coupent en un même point, ce qui donne quatre points. Les quatre droites obtenues en joignant chacun de ces points au sommet opposé à la face considérée sont des génératrices d'un hyperboloïde.

33. Lieu du pied de la perpendiculaire commune à une génératrice G d'une quadrique et aux génératrices de même système, sur ces dernières; ce lieu est une conique. Enveloppe du plan de cette conique quand la génératrice G décrit la quadrique donnée.

34. Enveloppe de la projection conique d'une génératrice rectiligne sur un plan diamétral parallèlement à la direction conjuguée à ce plan.

35. Enveloppe de la projection conique d'une génératrice rectiligne sur un plan quelconque, le point de vue étant le pôle de ce plan.

36. Trouver les droites situées sur la surface normopolaire d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde (on trouve huit droites parallèles).

37. Trouver les droites situées sur la surface normopolaire d'un paraboloïde.

38. Trouver les droites situées sur une surface du troisième ordre.

— II y a au moins une droite réelle. On rapporte la surface à un tétraèdre de référence, dont une arête est cette droite. Un plan mené par cette arête coupe la surface suivant une droite et une conique; on peut déterminer le plan de façon à avoir trois droites : alors, si ces droites sont AB, BG, CA, on suppose que ces droites soient des arêtes du tétraèdre ABCD. Le plan T = XZ coupe suivant AB et une conique; en écrivant que cette conique se réduit à deux droites, on a une équation du cinquième degré en X, admettant la solution X = o. Donc, par AB passent cinq plans, donnant chacun trois droites; mais AB est comptée quatre fois de trop, ce qui réduit à onze; ne comptant ni BG, ni GA, restent neuf droites. On en obtient autant pour BG et pour GA ; donc en tout vingt-sept droites. Chacune de ces droites en rencontre dix autres.

Remarque. — Les vingt-sept droites peuvent être représentées par

«1, a», «3» «4' fi-^i «e! ^1, ^ïj ^3) 64» ^5) l>(,'i C12, Ci3, Ci4, C16, Cje; C23, C2V, Cjj, Caej

^34) C35, C36; C43, C46 ; Cge-

Se rencontrent :

i" Une droite a et une droite b d'indices différents;

2° Une droite a ou 6 et une droite c ayant un indice commun;

3° Deux droites c n'ayant pas d'indice commun. (Gremona.)

39. Démontrer que les perspectives des sections planes d'une quadrique sur un plan quelconque, le point de vue étant sur la quadrique, ont deux points communs. (Ghasles.)

SEGTIONS GIRGULAIRES.

397. Nous nous proposons de déterminer tous les plans qui coupent une quadrique donnée suivant des cercles. Pour cela, nous établirons le théorème suivant :

Théorème. — Si deux quadriques ont une courbe plane commune, elles en ont une seconde.

3y6 CHAPITRE XXV.

Il s'agit d'établir cette proposition sans supposer que le plan de la courbe commune soit /•ee/(car nous l'appliquerons plus loin dans le cas où ce plan est imaginaire).

Supposons que l'équation du plan de la courbe commune soit

mise sous la forme

V ^ z -î- ax -^ by -r- c = o,

ce qu'on peut toujours supposer en choisissant les axes convenablement, et soienty*(^,y, 5) = o, g{x, y, z) = o les équations des deux quadriques considérées. Divisons les polynômes f(x,y, z) et g(x,y, z) par le poljnome P du premier degré en z; nous obtiendrons les identités

Q, Qi étant des polynômes du premier degré entiers en z, x^y, et f^ (x, y), gi (x, y) deux polynômes du second degré au plus, entiers en X ely.

Or /, (x, y) = o est l'équation du cylindre dont les génératrices sont parallèles à l'axe des z et qui a pour directrice l'intersection de la première quadrique par le plan P; de même gf {x,y) = o est l'équation du cylindre de même direction et admettant la même directrice 5 donc

a étant une constante, car ces deux cylindres sont identiques. Il en

résulte que

^{^,r,z) — af(x,y, z)= P(Qi — aQ);

ce qui prouve que les points communs aux deux quadriques sont dans le plan P ou dans le plan ayant pour équation Q, — aQ = o; en d'autres termes, l'intersection complète des deux quadriques se compose de deux courbes planes. Il pourra arriver d'ailleurs que Qi — «Q soit identique à P à un facteur constant près, c'esl-à-dire que les deux courbes planes coïncident.

Remarque. — Il convient de remarquer que l'on a trouvé une constante a telle que g — a/ soit un produit de deux facteurs du premier degré qui, égalés à zéro, fournissent les équations des deux courbes planes communes aux deux quadriques.

Autre démonstration. — On peut démontrer le théorème précédent d'une

SECTIONS CIRnULAIHES. 877

manière plus simple au moyen des coordonnées tétracdriques. Supposons, en effet, que l'une des faces T du tétraèdre de référence (face qui n'est pas nécessairement réelle) soit dans le plan de la courbe commune aux deux quadriques. On pourra mettre les équations de ces deux, quadriques sous la forme

/(X,Y,Z, T)^ cp(X, Y,Z)-f-TP = o,

ff{\, Y, Z, T) =a'^(X, Y, Z) -h TQ = o,

P, Q étant des fonctions linéaires de X, Y, Z, T et (5( X, Y, Z) = o étant l'équation du cône ayant pour sommet le sommet du tétraèdre opposé à la face T et pour directrice la courbe commune. On a immédiatement

ce qui démontre la proposition.

Plans cycliques.

398. On nomme plan cyclique tout plan qui coupe une quadrique suivant un cercle.

Soient /(j7, y, :;) = o et U = o les équations d'une quadrique et d'un plan; si la section de la quadrique par ce plan est un cercle, on peut faire passer une infinité de sphères par ce cercle-, soit o- :^ o l'équation de l'une de ces sphères. La quadrique / et la sphère d ayant une première courbe plane commune en ont une seconde; on peut donc déterminer une constante S telle que

/— Sj = UV,

V étant un poljnome du premier degré en x^y, z. Si l'on désigne par ^, P, Q les ensembles de termes du second degré de t et du premier degré de U et de V, on a donc

o — S'j.^ PQ,

ce qui prouve que S est une racine de l'équation en S.

Réciproquement, à toute racine non nulle de l'équation en S correspond un système de deux plans cycliques. En effet, soit S une quelconque des racines de l'équation en S, supposée différente de zéro; en vertu de l'identité précédente, l'équation de la quadrique peut se mettre sous la forme

S'i^-^ PQ-+- R =0,

R étant un polynôme du premier degré. La section de cette quadrique par un plan parallèle à P, ou par un plan parallèle à Q, est

un cercle, car l'une de ces sections est représentée par les équations

S<L + aQ-i-R = 0, P = a, OU par

S<{;-l-pP + R = 0, Q=p,

et chacun de ces systèmes représente un cercle.

Si la racine S était nulle, les sections obtenues se réduiraient à des droites.

Il résulte de ce qui précède qu'une quadrique a, en général, trois systèmes de deux plans cycliques. Cherchons combien il y a de systèmes de plans cycliques réels.

399. Théorème. — Le seul système de plans cycliques réels correspond à la racine moyenne de V équation en S.

En effet, si S est une racine de l'équation en S, nous savons que cp(a?, jK, ^) — Sdi(^, y, z) est la différence de deux carrés, c'està-dire le produit de deux facteurs du premier degré à coefficients réels, uniquement quand S est la racine moyenne. Il y a donc, au plus, un système réel et deux systèmes imaginaires.

400. Théorème. — Le système de plans cycliques correspondant à une racine déterminée de V équation en S est formé de plans perpendiculaires au plan principal qui correspond à cette racine.

On peut, en effet, au moyen d'une transformation de coordonnées, poser

(p(^,JK,^)=SiX2-+-S2Y2-t-S3ZS

a;2 ^^2 + ^2 = X2 + Y2 ■+■ Z2 ; on en déduit, par exemple.

On voit que les plans cycliques obtenus passent par la droite Y=:o, Z = o. Ils sont donc perpendiculaires au plan principal X = o.

Les plans cycliques menés par le centre d'une quadrique passent donc par un axe de symétrie de la quadrique.

On peut établir par la Géométrie que le plan d'une section circulaire est perpendiculaire à un plan principal. En effet, soit F un plan cyclique; les

sections par les plans parallèles au plan P sont des cercles. Soit A le lieu des centres de ces cercles, c'est-à-dire le diamètre conjugué au plan P; considérons le plan projetant A sur P; ce plan partage évidemment en deux parties égales les cordes qui lui sont perpendiculaires; c'est donc un plan principal, et, par suite, le plan P est perpendiculaire à un plan principal.

401. Théorème. — Les sections circulaires obtenues par deux plans non parallèles et correspondant à une même racine de l'équation en S sont sur une même sphère. (Hachette.)

En eflfet, supposons, en prenant des axes rectangulaires,

et coupons la quadrique par les deux plans ayant pour équations

L'équalion de la quadrique est

/= S(57î-+- jK- + -'-) -I- PQ -t- 2Gar + 2G> -H sC^ H- D = o. Or

+ 2 G's + D -+- P p 4- Qa - a3,

L'équation/ — (P — a) (Q — [j) =: o représente donc une sphère ; or cette équation est évidemment vérifiée par les coordonnées des points de chacun des cercles tracés sur la quadrique f que nous avons considérés; donc ces deux cercles sont bien sur une même sphère.

Autre méthode.

•402. Nous savons que les sections d'une quadrique et de son cône asymptote par un même plan ou par des plans parallèles sont des coniques homothétiques; pour trouver les plans cycliques d'une quadrique, il suffit donc de trouver les plans cycliques de son cône asymptote. Or nous avons déjà montré comment on peut obtenir les plans cycliques d'un cône quelconque du second degré.

D'après cela, il suffit de déterminer S de façon que

?(^, J> -) — S4/(ar, j, z) = o

représente deux plans.

Il convient de remarquer que si l'on coupe par un plan quelconque le cône des directions asymptotiques de la quadrique et le cône isotrope ayant pour sommet commun l'origine des coordonnées, on obtient deux coniques. Les sécantes communes correspondent aux plans cycliques de la quadrique et les

38o CHAPITRE XXV.

sommets du triangle conjugué commun aux deux coniques, aux axes de la quadrique. Les plans cycliques sont, en effet, les plans menés par l'origine et les sécantes communes; les axes sont les droites menées par le centre de la quadrique et parallèles aux droites joignant l'origine aux sommets du triangle conjugué. Si l'on remplace le cône isotrope par le cône des directions asymptotiques d'une seconde quadrique, on obtiendra, par le même procédé, des plans coupant les deux quadriques suivant des coniques homothétiques, et un système de diamètres conjugués commun aux deux quadriques.

Application aux formes réduites.