Ellipsoïde. — Soit

l'équation d'un ellipsoïde rapporté à ses axes de symétrie.

Les racines de l'équation en S sont — ^> r^> —', la racine moyenne

est, en vertu des hypothèses, égale à t^- Les plans cycliques diamétraux réels sont définis par l'équation

c'est-à-dire

On peut obtenir directement cette équation. En effet, les plans cycliques diamétraux doivent contenir un axe; or, la section par un plan contenant un axe est une ellipse dont l'un des axes est égal à la longueur de l'axe situé dans le plan sécant et dont l'autre axe est égal à la corde dirigée suivant la trace du plan sécant sur le plan de la section principale perpendiculaire à l'axe considéré. On voit ainsi que la section ne peut être un cercle que si le plan sécant passe par l'axe moyen; or, l'équation du faisceau des droites joignant l'origine aux points d'intersection du cercle et de l'ellipse représentés, dans le plan xOz, par les équations

a'- c^ est

Cette équation définit les plans cycliques réels.

SECTIONS CIRCULAIRKS. 38 1

On peut écrire l'équation de rellipsoïde de manière à mettre en évidence les plans cycliques réels. En effet, si l'on pose

on voit que l'équation cherchée est

a^^-h^--)- -2—62 = 62. PQ.

Elle exprime cette propriété : Le lieu des points tels que le carré de la tangente menée d'un de ces points à une sphère soit proportionnel au produit des distances de ce même point à deux plans diamétraux de la sphère est un ellipsoïde ou un hyperboloïde concentrique à la sphère et admettant pour plans cycliques les deux plans diamétraux.

401. Ombilics. — On appelle ombilic d'une quadrique un point de cette quadrique tel que le plan tangent en ce point la coupe suivant un cercle de rayon nul. Un ombilic est donc l'extrémité du diamètre conjugué à un plan cyclique.

On peut encore définir un ombilic : un point tel que les deux génératrices rectilignes qui y passent soient deux droites isotropes. Il y a sur chaque quadrique huit génératrices isotropes, quatre de chaque système. Chaque génératrice isotrope est rencontrée par les trois génératrices isotropes de l'autre système qui ne passent pas par le même point du cercle de l'infini. On obtient ainsi douze ombilics réels ou imaginaires.

Ombilics réels de l'ellipsoïde. — L'équation d'un des plans cycliques réels étant

le diamètre conjugué a pour équations

il coupe l'ellipsoïde aux points ayant pour coordonnées

ac y = o, x=±-^

y ai— ci ~ f> \ a^—c^

l'ellipsoïde a donc quatre ombilics réels situés dans le plan principal perpendiculaire à l'axe moyen.