L'équation du système des plans cycliques du cône étant
l'équation du cône peut s'écrire ainsi
On obtient ainsi ce théorème : Le lieu des points dont le produit des distances à deux plans est proportionnel au carré de leur distance à un point de l'intersection de ces plans est un cône ayant ce point pour sommet et admettant ces plans pour plans cycliques.
On peut transformer cet énoncé. Soient M un point du lieu et S le sommet du cône, MP et MQ les distances de M aux plans cycliques; on a
MP MQ
j^.^=const.
Donc, en appelant a et ^ les angles que MS fait avec les deux plans cycliques, on a : sina.sin p = const.
Si l'on coupe le cône par une sphère ayant son centre au sommet du cône, les plans cycliques coupent la sphère suivant deux grands cercles et le cône détermine, sur la sphère, une courbe ou, plutôt, deux courbes symétriques nommées ellipses sphériques. Si d'un point de l'une de ces ellipses, on abaisse des arcs de grands cercles perpendiculaires sur les deux grands cercles obtenus, le produit des sinus de ces arcs sera constant.
409. Paraboloïdes. — Le paraboloïde hyperbolique ne peut pas avoir de plans cycliques, car la racine moyenne de l'équation en S est nulle. Au lieu de plans cycliques, la méthode générale donne les plans directeurs. Un système de deux droites situées dans un même plan, et dont l'une est à l'infini, est en effet un cercle, car c'est une conique passant par les points cycliques de son plan.
Considérons au contraire un paraboloïde elliptique rapporté à ses plans principaux et au plan tangent au sommet, dont l'équation est
i i -iX = 0.
384 CHAPIIHE XXV.
Les racines de l'équation en S sont o, — , - • La racine moyenne est — si l'on suppose /? >■ ^; les plans cycliques sont alors donnés par l'équation
ou plus simplement
qx- — s-C/» — ^) = o.
On arrive au même résultat en coupant le paraboloïde par un plan passant par l'axe des jk et en rapportant la section à cet axe et à une perpendiculaire à Oy menée dans son plan par l'origine. On calcule aisément les coordonnées des ombilics.
410. Cylindre elliptique. — Si l'on considère le cylindre ayant pour équation
ce cylindre a les mêmes plans cycliques que le paraboloïde que nous venons de considérer. On peut les trouver directement; il suffit de couper la section par le plan xOz par un cercle de centre O et de rayon p ; on obtient ainsi, en combinant les équations
l'équation
ou
— pq = O, x''--{- z'
/>2 \ p pq
qx'-~z^-{p — q)
qui représente les deux plans cycliques; on obtient donc les traces de ces plans en joignant à l'origine les points de rencontre des génératrices du cylindre situées dans le plan xOz el du cercle de centre O et de rayon p.
EXERCICES
1. D'un point pris sur un paraboloïde hyperbolique, on abaisse des perpendiculaires sur les génératrices d'un même système; le lieu de ces perpendiculaires est un cône du second degré : trouver ses plans cycliques. Lieu des pieds des perpendiculaires.
2. Exprimer que le plan Ix ■+- my 4- nz coupe la <\\idiér\(\\i(t f{x, y, z) =^0 suivant un cercle.
— On peut exprimer qu'il y a une valeur de S telle que
soit divisible par Ix -\- my 4- nz et par suite égal à
{Ix -h m y -i- nz){l' X -+- m'y -h n' z),
V, m', n' étant des inconnues.
On peut aussi déterminer l\ m', n' de façon que
o{x,y, z) — (Ix ■+■ my -+- nz ){r x -h m'y -i- n' z) = o
représente un cône isotrope.
3. Lieu des sommets des cônes circonscrits à une quadrique et qui sont coupés par un plan donné suivant des cercles.
A. Si l'on coupe un cône du second degré et ses plans cycliques menés par le sommet, par un plan passant par le sommet, les deux couples de droites obtenues ont les mêmes bissectrices.
5. Trouver les plans cycliques d'un paraboloïde elliptique en se servant de cette propriété : les projections des sections planes sur un plan perpendiculaire à l'axe sont des coniques homolhétiques (Ex. Sg, Ghap. XXIV.)
6. Soient A un ombilic d'une quadrique, S et B le second point d'intersection de la normale en ce point avec la surface. On joint un point quelconque M de la surface S aux points A et B ; par A on mène un plan perpendiculaire à AM qui coupe BM en P. Le point P décrit un plan cyclique. (Genty.)
7. Sur une normale menée par un ombilic O à une surface du second degré, il existe un point P tel qu'en menant par ce point une transversale rencontrant la surface en des points M, M', l'angle MOM' soit droit, quelle que soit la direction de la transversale. Le plan polaire de P est un plan cyclique.
8. Etant donné un ellipsoïde, trouver un point P sur cet ellipsoïde et une droite L, tels que les cônes qui ont pour sommet le point P et pour bases les sections faites dans l'ellipsoïde par des plans passant par L, soient de révolution. Lieu de L quand la longueur de l'axe moyen de l'ellipsoïde varie.
(Concours général, 18G7.)
9. Trouver les points d'où l'on peut mener à un ellipsoïde des normales quadruples. Les pieds de ces normales sont les ombilics.
10. Lieu des ombilics des quadriquesjj'-hj^'-i- 32 — -iuyz — ibzx — ?.cx^=i quand abc = i .
11. Étant données une conique G et une droite D située dans son plan, mais ne la coupant pas, trouver un point S tel que le plan déterminé par le
NiEWENQLOWSKi. — G. an., in. ai
point S et la droite D soit un plan cyclique du cône ayant la conique G pour directrice et le point S pour sommet.
— Le plan (S, D) doit couper le cône suivant deux droites isotropes; on en conclut immédiatement que si M' et M" sont les points d'intersection imaginaires conjugués de D et de S et si l'on pose M'M"=: ihi, le point S doit être sur le cercle de rayon h ayant pour centre le milieu réel de M'M" et dont le plan est perpendiculaire à D. Traiter la question par le calcul,
12. La proposition précédente résout cette question de Géométrie plane : Etant données une droite D et une conique G, trouver un point S et un plan P, tels que la perspective de G sur le plan P, le point de vue étant S, soit un cercle et que la perspective de D soit la droite de l'infini. G'est une des propositions les plus utiles de la théorie des propriétés projectives des figures, de Poncelet.
411. Étant donnée une équation du second degré/(.37,y, z) = o, nous savons déjà reconnaître la nature de la surface qu'elle représente, au moyen de la décomposition du premier membre en somme algébrique de carrés, ou au mojen de l'équation en S.
Il j a encore d'autres méthodes, que nous allons indiquer dans ce Chapitre ; mais nous ferons d'abord une remarque. Une même équation rapportée à deux systèmes différents d'axes de coordonnées représente des surfaces de même nature. Pour plus de clarté, considérons deux systèmes d'axes de coordonnées, un système d'axes rectangulaires et un système d'axes obliques, et représentons par J7,jK, ^ et X, Y, Z les coordonnées relatives à ces deux systèmes. Comparons les surfaces représentées par les équations /(^,y, ;î) = o et /(X, Y, Z) = o. Ces deux équations représentent des surfaces du même degré; supposons d'abord qu'il s'agisse du second degré.
Dans ce cas, si l'on décompose /(^,JK, z) en carrés et si l'on a, par exemple,
/( 07, j, ^ ) = ( «a: -t- 6/ H- cz -+- dY
on aura évidemment aussi
f^X, Y,Z) = (rtX + ^»Y + cZ-f-f/)2
et par conséquent si l'on suppose, pour fixer les idées, h<C o, chacune des équationsy(j7, y, z) = o ou y(X., Y, Z) = o représentera un lijperboloïde à une nappe.
Il convient toutefois de remarquer que si Vespèce est conservée, la variété peut être modifiée. Ainsi, par exemple, l'équation
représente une sphère, si les axes sont rectangulaires seulement, et un ellipsoïde rapporté à trois diamètres conjugués égaux, si les axes sont obliques. De même, l'équation
représente un hyperboloïde de révolution si les axes sont rectangulaires; un hjperboloïde encore si les axes sont obliques, mais non plus de révolution.
D'une manière générale, on peut passer de l'une des figures à l'autre au moyen d'une transformation homographique , car les coordonnées X^ Y, Z sont des fonctions linéaires des coordonnées
X = ax-Jr-^y-\-'{Z-\-o,
Y = ol'x -\- ^'y -h y'- + 0',
et, par conséquent, les deux surfaces rapportées aux mêmes axes sont définies par les équations
f{x,y,z) = 0, f{'xx-^ p/-f- Y^ ~i~ ^» ^'-^ "+" P'.X"^ ï- ~*~ ^'i «"374- ^"y -\- y'-z -+- 0") = o.
Or, à un point correspond un point; à une droite, une droite; à un plan, un plan. Les surfaces représentées par les deux équations précédentes se correspondent point par point; si un point esta distance finie ou infinie, son transformé est aussi à distance finie ou infinie respectivement, ce qui prouve qu'à une nappe de la première surface correspond une nappe de la seconde. Si tous les points de la première surface sont à distance finie, il en sera de même pour
la seconde. A une section plane de l'une correspond une section plane de l'aulre; 'ces deux sections sont des courbes de même degré et à chaque branche infinie de l'une correspond une branche infinie de l'autre. A une tangente correspond une tangente, à une asymptote correspond une asymptote. Ces sections sont de même espèce. On voit donc que les deux surfaces sont, elles aussi, de même espèce : l'une peut être considérée comme une déformation de l'autre. Mais si l'une est une surface de révolution, la seconde ne sera pas, en général, une surface de révolution.
On peut encore remarquer qu'aux génératrices rectilignes de la première surface correspondent les génératrices rectilignes de la seconde ; mais à des cercles tracés sur la première correspondent, en général, des ellipses sur la seconde.
Méthode des contours apparents.
412. On peut former d'abord les équations du centre ; la discussion de ces équations donne, comme nous l'avons vu, une première indication. Si la surface a un centre unique à l'infini, c'est un paraboloïde; nous savons distinguer le paraboloïde hyperbolique du paraboloïde elliptique en cherchant, par exemple, la nature des plans directeurs. Si la surface a une ligne de centres à distance finie, c'est un cylindre à base elliptique ou hyperbolique : l'un au moins des plans de coordonnées ne sera pas parallèle à la ligne des centres et, par suite, l'espèce de la section par ce plan déterminera l'espèce du cylindre, ou indiquera s'il s'agit de deux plans sécants. Le cylindre parabolique a une ligne de centres à l'infini, et le système de deux plans parallèles, un plan de centres; on voit ainsi que la discussion des équations du centre suffit, sauf pour les surfaces de la première classe. Pour ces dernières, on peut d'abord transporter l'origine des coordonnées au centre; l'équation prend alors la forme
Si D, = o, on a un cône; on coupera ce cône par les plans de coordonnées. Si l'une des sections se compose de droites réelles, le cône est réel; mais si les trois sections obtenues sont imaginaires, on ne peut rien conclure. Dans ce cas, on coupera encore par des plans parallèles aux plans de coordonnées ; si le cône est réel, l'une des sections ainsi obtenues doit être réelle.
ÉQUATION NUMÉRIQUE DU SECOND DEGRÉ. HSg
Supposons D, ^ o ; il esl très commode le plus souvent de décomposer le polynôme 'f(x,y, z) en carres. On peut aussi procéder de la manière suivante, si l'un au moins des coefficients des carrés est différent de zéro ; soit, par exemple, A" yé o. Dans ce cas, en résolvant par rapport à z, on met l'équation de la surface sous la forme
^ = — '^ ^-^ '^r ^ ' v/^B'a:-t-B^)î— A"'(Aa;2-i- A>»-H2B'r7+D,) ; ce qu'on peut écrire
z = — -''^-TT, — '— ± TT' Z'^"* -^ '■ fii^y -+- py^ — A" D 1 .
L'équation
Ix* -1- inixy -h py^ — Â'D, = o
représente le cylindre circonscrit à la surface et dont les génératrices sont parallèles à l'axe des z; on voit, en effet, que la courbe de contact de ce cylindre est définie par les équations
/{x,y,z) = o, /; = o; c'est-à-dire
s = p — ■— > Ix^ ->r imxy -^py- — A Dj = o.
La dernière de ces équations représente, dans le plan des x, y, la projection sur ce plan, faite parallèlement à l'axe des z, de la courbe de contact du cylindre circonscrit considéré, c'est-à-dire la projection du contour apparent de la surface relativement à la direction de l'axe des :;. C'est la discussion de la nature de ce contour apparent qui va nous permettre de reconnaître la nature de la quadrique. Pour que z soit réel, il faut et il suffit que l'inégalité
(i) Ix^ -^'iinry -irpy^— A" ïiito
soit vérifiée. Nous sommes ainsi conduits à distinguer trois cas, suivant que la courbe de contour apparent est une ellipse réelle, une ellipse imaginaire ou une hyperbole.
i" Ellipse réelle. — Si A"D, < o, l'inégalité (i) est vérifiée pour tous les points situés à l'intérieur du contour apparent; la quadrique est donc un ellipsoïde.
SgO CHAPITRE XXVI.
Si A"D, >» o, la quadrique se projette à l'extérieur de l'ellipse; c'est un hjperboloïde à une nappe.
2° Ellipse imaginaire. — Si A"D, << o, la projection delà quadrique sur le plan xOy couvre ce plan tout entier; cette quadrique ne peut être qu'un hyperboloïde à deux nappes.
Si A"D, > o, -S est imaginaire pour les valeurs réelles de x et de y ; la quadrique est un ellipsoïde imaginaire.
3° Hyperbole. — Si A"D, << o, la projection de la quadrique couvre toute la région du centre; c'est donc un hyperboloïde à une nappe.
Si A"D| >> o, la projection de la quadrique couvre les deux régions distinctes du plan qui constituent V intérieur de l'hyperbole, projection du contour apparent : on a donc affaire à un hyperboloïde à deux nappes.
Remarque. — La nature de la quadrique est déterminée par l'ombre qu'elle projetterait sur le plan des x,y si les rayons lumineux venaient de l'infini dans la direction de l'axe des z. On peut arriver aux conclusions précédentes d'une manière un peu différente. L'axe des z est le diamètre conjugué au plan du contour apparent que nous avons considéré; or, ce diamètre est réel ou imaginaire, suivant que A"Di est < o ou > o. Si le contour apparent est une ellipse réelle et si l'on suppose A"Di < o, on voit que la surface a une infinité de systèmes de trois diamètres conjugués réels : c'est [donc un ellipsoïde réel. Si, au contraire, A"Di > o, deux diamètres conjugués du contour apparent forment avec l'axe des z un système de trois diamètres conjugués, dont deux seulement sont réels; la quadrique est donc un hyperboloïde à une nappe, et ainsi de suite.
413. La méthode précédente ne s'applique pas si A = A'= A"= o.
L'équation
ayz -+- bzx -h cxy -f- <i = o,
dans laquelle les coefficients a, è, c, d sont tous supposés différents de zéro, représente une quadrique ayant pour centre unique l'origine des coordonnées et dont le cône asymptote est réel; c'est donc un hyperboloïde. Pour reconnaître la nature de cet hyperboloïde, on peut faire usage de la décomposition en carrés; il est plus simple de procéder ainsi. L'axe des^ est une génératrice du cône asymptote; il en résulte que l'hyperboloïde est à une ou deux nappes, suivant qu'il contient ou non des droites parallèles à l'axe des z. Cherchons donc si l'on peut déterminer a et j3 de façon que
l'équation
{a^ -i- bcL)z-\r 0%^ -\- d = o
ÉQUATION NUMÉRIQUE DU SECOND DEGRÉ. SqI
soit vérifiée quel que soit z\ ce qui donne
rt^-l-^x = o, ca[3-+-rf = o, d'où
— aï — rf = o.
Le système d'équations en a et ^ n'aura de solutions réelles que si abcd'^ o. Donc, deux cas :
1° abcdy- o , hypcrboloïde à une nappe; 9° abcd <Co , hyperboloïde à deux nappes.
Les conclusions précédentes ne subsistent pas si quelque coefficient s'annule; par exemple, si a = o, l'équation représente un cylindre hyperbolique. Si c^= o, on a un cône et deux plans.
Équation résolue par rapport à l'une des variables.
414. L'équation de la quadrique résolue par rapport à z, en supposant que z entre au second degré, prend la forme
z = ax-^by-^c± \Jj\x,y),
f{x,y) étant au plus du second degré.
L'équation
z = ax -\- by -\- c
représente le plan diamétral conjugué à l'axe des 5, el/{x,y) = o est l'équation du cylindre circonscrit parallèle à l'axe des z. Cette équation représente donc aussi la projection Cj sur le plan des^r,^, faite parallèlement à l'axe des z, de la courbe C de contact de ce cylindre.
C'est encore la nature de cette conique qui déterminera la nature de la quadrique.
1° C est une conique à centre. — La quadrique est alors de la première classe, puisqu'elle est coupée par un plan diamétral suivant une conique à centre. Pour que z soit réel, il faut et il suffit que x Gl y vérifient l'inégalité y"(x,jK) = o. On fera donc la même discussion que dans le n" 412; on pourra aussi étudier la nature du diamètre parallèle à l'axe des z et qui a pour équations, comme on s'en assure aisément, f'^ = o,/^ = o. On connaîtra ainsi la nature d'un système de trois diamètres conjugués et, par suite, on connaîtra l'espèce de la quadrique.
D'ailleurs /(a^,^) == sPï 4- î'Q2 -H £"/i2, donc l'équation de la quadrique est de la forme
(z — acc — /jj — cy — zF^ — z'q^' — z"h^ =: o:
on connaît ainsi immédiatement la nature de cette surface.
2" G est un système de droites concourantes. — La quadrique est un cône; si les deux droites sont réelles, ce cône est réel. Si les deux droites sont imaginaires, il faudra étudier les sections par les plans de coordonnées.
On a, dans ce cas, /(a:, j') ^ PQ ; l'équation de la surface est
{z — ax — by — cy- — Y (l = o ,
P, Q, 3 — ax — by — c sont des polynômes distincts : donc l'équation représente bien un cône.
3** G est un système de deux droites parallèles, — La surface est un cylindre.
On ^f{oc,y) = a'P2 -4- 6'P -f- c' ; l'équation est donc
(z — ax — by — cy- — a'P^ — 6'P — c' = o ;
c'est bien l'équation d'un cylindre.
4° G est une parabole. — La quadrique étant coupée par un plan diamétral suivant une parabole est un paraboloïde. Les sections par les plans de coordonnées permettront de déterminer la nature du paraboloïde.
D'ailleurs le paraboloïde elliptique se projette à l'intérieur de Ci, et le paraboloïde hyperbolique à l'extérieur.
f{x,y) = tP'^+ Q : donc l'équation de la quadrique est
{z — ax — by — c) — eP^ — Q = o;
c'est un paraboloïde elliptique si s < o, hyperbolique si s > o.
5° G se réduit à une seule droite. — La quadrique est nécessairement un cylindre parabolique ou un système de deux plans.
D'ailleurs /(iF, 7) ^ P, P étant un polynôme de premier degré en x,y; l'équation de la quadrique est
(z — ax — by — cy — P = 0.
6" f{x,y) est une constante. — L'équalion représente deux plans parallèles.
415. Supposons enfin que l'une des coordonnées, z par exemple, n'entre qu'au premier degré, de sorte qu'on puisse mettre l'équation de la quadrique sous la forme
z — . iLJ où P = aa; -f- ^v -t- c.
Le système /(j:',y) = G, P= o représente deux droites situées sur la surface, et il faut remarquer que, si ces droites sont à distance finie, la surface ne peut être un cylindre, car les génératrices étant parallèles à l'axe des z, l'équation ne devrait pas contenir z. La nature de la quadrique sera déterminée par la nature de ces deux droites.
Nous supposerons que l'intersection du plan P et de la quadrique soit :
1° Deux droites réelles. — La quadrique est un hyperboloïde à une nappe, parce qu'on peut y placer deux droites parallèles et réelles.
Dans le plan xOy l'équation f{x,y) = o représente une conique G, P = o représente une sécante. Si U = o, V= o sont les équations des tangentes à G aux points d'intersection par cette sécante, on a
/(:r,7)^aP2 + pUV,
l'équation de la quadrique peut s'écrire
P(5 — aP)=:pUV;
c'est donc bien un hyperboloïde à une nappe.
2" Deux droites imaginaires conjuguées. — La quadrique est un hyperboloïde à deux nappes, puisque le plan asymptote P la coupe suivant deux droites parallèles imaginaires conjuguées.
3° Deux droites confondues. — Le plan P est alors un plan tangent coupant la quadrique suivant une droite double; on a donc un cône.
On peut poser
/(r,7)sPQ-f-Rî,
donc l'équation est
4" Une seule droite à distance finie. — Le plan P est un plan asjmptote coupant la quadrique suivant une seule droite à distance finie : cette surface est un paraboloïde hyperbolique.
Si/(a:, ^) = o représente une hyperbole, P =o doit représenter une parallèle à une asymptote, et, dans ce cas,
l'équation de la quadrique devient
P(z-Q)-aQ-4-p.
Siy"(^,^) = o représente une parabole, on a
/(^,j.) = aP2-HQ,
et la quadrique a pour équation
P(5 — aP)=Q.
5° Deux droites à V infini. — La quadrique est alors un cylindre hyperbolique.
On le voit aisément ainsi :
/(^,j) = PQ + a,
donc la quadrique a pour équation
Dans tout ce qui précède, le polynomey"(^, y") est supposé du second degré et indécomposable; mais il peut se faire que f{x,y) soit un produit de deux facteurs, ou que son degré s'abaisse. On a donc à examiner encore un certain nombre de cas. Si/(^, jv") 6st le produit de deux facteurs Q, R distincts de P, on se trouve de nouveau dans le premier cas. Nous pouvons donc laisser ce cas de côté et supposer y(^, j^) HE PQ. Nous aurons ainsi à considérer les cas suivants :
P 0 6° ;; = — j^ ou mieux P(5 — Q) = o : deux plans.
7° ^== p ou Pi; = Q : paraboloïde hyperbolique.
8° ^= p ou P;5 = a, a étant une constante : cylindre hyperbolique.
P peut se réduire à une constante; l'équation est, dans ce cas,
ÉQUATION NUMÉRIQUE DU SECOND DEGRÉ. SqS
Le polynôme /(.r, jk) est alors nécessairement du second degré et l'on peut avoir encore les cas suivants :
9° z = £{Q- -^ K-) -\- h : paraboloïde elliptique.
lo" z = Q^ — R- + A : paraboloïde hyperbolique.
Il" c = £Q2 -I- R : cylindre parabolique.
Exemple. — Considérons l'équation
x^ -+- 0. V>yz = h ou
Deux cas : 1° /* > o; x^ — h = o représente deux plans parallèles au plan yOz. Ces plans sont coupés par le plan xOz suivant deux droites parallèles à l'axe des -S, qui appartiennent à la surface; cette surface est donc un hyperboloïde à une nappe. Le plan jOz coupe la surface suivant une hyperbole ayant pour asymptotes l'axe des y et l'axe des z, et les plans parallèles à zOx donnent des paraboles.
1" h < o. La surface est un hyperboloïde à deux nappes.
Discussion d'une équation tangentielle du second degré ( ' ).
-416. Nous ferons d'abord la remarque suivante : Sohf(x,y, z, t) = o l'équation ponctuelle à coefficients réels d'une quadrique; on obtient son équation tangentielle au moyen de la substitution linéaire
Donc, en vertu de la loi d'inertie d'Hermite, les premiers membres /(a?, ^,5, t) et F(k, V, w, r) de l'équation ponctuelle et de l'équation tangentielle d'une même quadrique présentent le même nombre de carrés positifs et de carrés négatifs.
Cela posé, on sait que les coordonnées du pôle du plan {u,v, w, r), par rapport à la quadrique représentée par l'équation F( if, c, tp, /•) = o, sont proportionnelles à F,',, Y'^,, F,'^„ F^; il en résulte que les coordonnées du centre sont c, c', c", a"', si l'on pose
F(«, V, w, r)^au^-^ a'v'^-^ a" w--\- a" r^ -\- '>.bvw -{- ib' wu -\- ib" uv
-h leur -h ic' vr ->r- ic' wr.
L'équation du centre est \ F'^ = o.
On sait que l'équation F(a, v, w, r) = o représente la polaire réciproque
C) Voir Leçons de l'Agrégation classique de Mathématiques, par G. kcBMOs; Paris, Ilermann.
396 CHAPITRE XXYI.
de la quadrique (dégénérée ou non) représentée par l'équation ponctuelle F(x, y, z, t) = o, par rapport à la quadrique imaginaire représentée par l'équation
Soit H le discriminant de la forme F(x,y, z, t). Si H ^ o, l'équation V{x, y, z^ t) = o représente une quadrique qui peut être un ellipsoïde, un hyperboloïde ou un paraboloïde; il en est donc de même de l'équation
Si a"'=o, cette équation représente un paraboloïde; il est facile de savoir s'il s'agit d'un paraboloïde elliptique ou hyperbolique. En effet, si une surface est réglée, sa polaire réciproque est aussi réglée, les génératrices correspondantes des deux surfaces étant des droites conjuguées par rapport à la quadrique directrice. Il suffira donc de décomposer la forme F(u, p, w, r) en carrés; s'il y a deux carrés positifs et deux négatifs, le paraboloïde sera hyperbolique; dans les autres cas, il sera elliptique. La direction de l'axe du paraboloïde a pour paramètres directeurs c, c', c", lesquels ne peuvent être nuls tous les trois; car dans ce cas, a'" étant nul aussi, H serait nul.
Soit en second lieu a'" ^ o. En appliquant la méthode de décomposition en carrés de Gauss, on a
F( »,(',»',/•) = ^{^ F'^jV *(«,(>, w),
<!>(«, c, iv) est une forme quadratique, somme de trois carrés. Le cône asymptote a pour équations
puisque les plans tangents à ce cône sont les plans tangents à la quadrique, menés par son centre.
Si 4>(m, V, w) est la somme de trois carrés de même signe, le cône asymptote étant imaginaire, la quadrique est un ellipsoïde réel ou imaginaire, suivant que le signe de ces carrés est celui de — a" ou celui de a'".
Si <ï>(m, c, w) est la somme de carrés de signes contraires, F = o représente un hyperboloïde. Ce sera un hyperboloïde à une nappe si F est la somme de deux carrés positifs et de deux carrés négatifs, car, F(x, y, z, t) =0 représentant alors une surface réglée, il en est de même de sa polaire réciproque; si F contient trois carrés de même signe, c'est un hyperboloïde à deux nappes.
Supposons maintenant H = o. L'équation F{ce, y, z. t)=o représentant un cône, F(tt, c, w,r) = o représente alors une conique dont le plan est le plan polaire du sommet du cône.
Le centre de la conique a pour coordonnées c, c', c", a". En effet, les plans tangents parallèles au plan ux -\- t'y -h wz = o sont déterminés par les valeurs de /' qui sont les racines de F(«, v, w, /•) = o; si r' et r" sont les deux
racines de cette équation, le plan équidistant des deux plans tangents parallèles au plan donné a pour équation
c'est-à-dire
ux -h vy -h n-z -\ = o,
cu-^ c v-^ r w ux -\- vy -\- wz — ;„ =: o ;
c c c or ce plan passe par le point fixe ayant pour coordonnées — ;=> sa —s' Ce
point étant à égale distance de tous les couples de plans tangents parallèles
est le centre de la quadrique ou de la courbe représentée par l'équation
Il est facile de déterminer la nature de la conique en cherchant les plans tangents issus de son centre. Il suffit de procéder comme dans le cas d'une quadrique proprement dite. En supposant a'"^ o, nous emploierons encore la méthode de Gauss et nous poserons
F(«, V, IV, r) = ■^, (-^ Flj + ^(u, V, w);
Il étant supposé nul, F est la somme de trois carrés au plus. Si nous supposons qu'un au moins des mineurs du premier ordre de H soit difi"érent de zéro, nous voyons que la forme *ï*(m, v, w) sera la somme de deux carrés. Si ces carrés sont de même signe, la conique est une ellipse réelle si le signe de a'" est différent de celui de 4>, une ellipse imaginaire dans le cas contraire. Si * est la différence de deux carrés, la conique est une hyperbole.
Si a"' = o, la courbe est tangente au plan de l'infini, c'est donc une parabole dont l'axe a pour paramètres directeurs c, c', c" .
Mais il pourrait arriver que c = c' = c" = a" = o; dans ce cas particulier, la fonction F ne dépend plus de r; F';, est donc nul, et, par suite, le point de contact de tout plan tangent est à l'infini ; la conique est dans le plan de l'infini, ce que nous savons d'autre part (206). Cette conique est imaginaire, si les trois carrés en lesquels F se décompose ont le même signe, et réelle dans le cas contraire.
Supposons maintenant que F(m, f, w, r) soit la somme de deux carrés; si ces carrés sont de même signe, l'équation F =0 représente deux points imaginaires conjugués, et si les carrés sont de signes contraires, deux points réels.
Enfin, si F(«, v, iv, r) est un carré, l'équation représente un point unique.
On peut dresser le Tableau suivant qui résume la discussion :
H = o, mais un mineur du premier ordre est différent de zéro. .
tous les mineurs du premier ordre sont nuls, un mineur du deuxième ordre est différent de zéro. .
tous les mineurs du second ordre sont nuls, F est un carré.
CUAl'lTHE XXVI.
<P somme de trois carrés du même signe
que a'"
1 »1> somme de trois carrés du même signe
que — a'"
*ï> somme de deux carrés du signe a'" et
I d'un carré de signe contraire
4> somme d'un cari-é du signe de a'" et
deux carrés de signe contraire
' F somme de deux carrés positifs et de
de deux carrés négatifs
F somme de trois carrés de même signe
et d'un carré de signe contraire
4> somme de deux carrés du même signe
que a'"
<I> somme de deux carrés du même signe
que — a'"
4> somme de deux carx'és de signes contraires.
' c, c', c" non tous nuls
F somme de trois carrés
de même signe
F somme de trois carrés ayant des signes contraires
«I> est un carré du même signe que a'".. . 4> est un carré du même signe que — a'" . .
Ellipsoïde imaginaire
Ellipsoïde réel.
Hyperboloïde à deuj nappes.
1 Hyperboloïde à un< ) nappe.
) Paraboloïde hyperbo ( lique.
Paraboloïde elliptique j Ellipse imaginaire.
I Ellipse réelle.
c, c', c" non tous nuls.
Hyperbole.
Parabole.
Conique imaginaire i l'infini.
Conique réelle à l'in fini.
Deux points imagi naires conjugués.
Deux points réels.
( Un point à l'infini e I un point à distanci ( finie.
Deux points à l'infini
( Un point à distanci ( finie.
Un point à l'infini.
Il convient de rappeler qu'une seule équation F(m, v, w, /•) = o ne peut jamais représenter ni un cône ni un cylindre.
EXERCICES
1. Reconnaître la nature des quadriques représentées par les équations suivantes :
