Ombilics d'un hyperboloïde. — Soit

l'équation d'un plan cyclique. Le diamètre conjugué a pour équations

Cette droite coupe l'hyperboloïde à une nappe en des points imaginaires ; elle coupe, au contraire, l'hyperboloïde à deux nappes en des points réels ayant pour coordonnées

ac /b-^ — a'^ , ac , /b^

Plans cycliques d'un cône. — On peut obtenir les plans cycliques du cône défini par l'équation

de la même façon que pour les hyperboloïdes.

On peut aussi procéder de la manière suivante. Nous allons chercher les plans cycliques menés par le point ayant pour coordonnées o, o, c.

Soit ABC (Jig. 40 la trace d'un plan perpendiculaire au plan xOz mené par G ; si la section ^ du cône par ce plan est un cercle, on aura

CB.CA=—b\

Le point B est donc à l'intersection de l'arête OB et de la figure inverse de OA par rapport à G, la puissance d'inversion étant égale à — b^. Il suffit d'abaisser GD perpendiculaire sur OA et de prendre, sur le prolongement

de DG, un segment CE tel que DG.GE = b*; le point B est à l'intersection de OB et du cercle décrit sur GE comme diamètre. On obtiendra ainsi deux points d'intersection B, B' et, par suite, deux plans cycliques ayant pour traces BA, B'A', pourvu qu'on suppose a < 6. Nous laissons au lecteur le soin de faire la discussion.