a' — V- — 2iv2( 3(;(^ j wu — 2 w — (i^ -h i = o
DÉTERMINATION DES QUADRIQUES.
Nombre de conditions déterminant une quadrique. Conditions linéaires.
Ail . L'équation la plus générale du second degré à trois variables, /(^5 JK, -s) = o, renferme dix coefficients, et, par suite, neuf paramètres. Il faut donc neuf conditions pour déterminer une quadrique. Lorsqu'une condition s'exprime par une équation du premier degré entre les coefficients de l'équation générale, nous dirons que cette condition est linéaire. D'après cela, donner neuf conditions linéaires, c'est donner neuf équations du premier degré, homogènes par rapport aux dix inconnues A, A', . . . , D. On sait qu'un pareil système admet toujours des solutions non toutes nulles; mais pour qu'une solution convienne il faut encore que l'un au moins des
DÉTERMINATION DES QUADRIQUES. 4oi
coefficients des termes du second degré soit différent de zéro, si l'on rejette les quadriques dégénérées en système de deux plans dont l'un au moins soit le plan de l'infini. Les choses étant entendues ainsi^ on voit que, si l'on cherche une quadrique assujettie à neuf conditions linéaires, trois cas peuvent se présenter : i" le problème est impossible; 2° a une seule solution ou 3" une infinité de solutions. Si le déterminant principal du système des équations linéaires données est du neuvième degré, les rapports de neuf des coefficients au dixième sont déterminés, et l'on peut former une seule équation du second degré qui vérifie les conditions données ; mais il peut arriver, comme nous l'avons fait remarquer, que cette équation ne représente pas une quadrique proprement dite. Si le déterminant principal est du huitième degré, deux des coefficients peuvent être pris arbitrairement et les huit autres sont des fonctions linéaires et homogènes de ces deux coefficients arbitraires; on peut former une infinité d'équations vérifiant les conditions données et la solution la plus générale est représentée par une équation de la forme
fi et yij désignant deux polynômes déterminés et ).,, ).2 deux arbitraires. Si le déterminant principal est du septième degré, la solution la plus générale contiendra trois arbitraires et sera de la ïovmi
et ainsi de suite.
Tout ce qui précède s'applique à l'équation en coordonnées tangentielles F(m, v, w, /•) = o; il convient de se rappeler que les dégénérescences sont alors des coniques ou des points.
Les considérations précédentes s'appliquent aux équations de tous les degrés. L'équation à trois variables du degré n renferme
— -^ coeihcients ; on voit donc qu il tant
conditions linéaires pour déterminer une surface d'ordre n.
418. Théorî:me fondamental. — Il y a une seule quadrique passant par neuf points donnés ou il y en a une infinité.
NiEWKNGLOWSKI. — G. an., III. 26
En effet, l'équation qui exprime qu'une quadrique passe par un point donné est linéaire par rapport aux coefficients de l'équation du second degré; on a donc, puisque l'on donne neuf points, neuf équations de la forme
kx"- -+- A'j? -!- A" 3? -+- 2 BjK; Zi -\- 1 WziXi ■+- 1 B"xiyi
-i-iCxi -hiC'yi -+- -iCzi-h D = o,
où l'indice i prend les valeurs i , a, 3, . . . , 9.
D'ailleurs, les coefficients des termes du second degré ne peuvent être tous nuls que si les neuf points donnés sont dans un même plan, puisque, si ces coefficients étaient nuls, il y aurait un système de valeurs non toutes nulles G, G', G", D telles que les équations
iCxi-T- aC'jj-H "iCzi H- D = o (t = I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
fussent vérifiées par les coordonnées des neuf points donnés. S'il en était ainsi, on pourrait former une infinité d'équations du second degré satisfaisant aux conditions données, puisqu'il suffirait de multiplier le polynôme aGjc-f- aG'j" -f-aG"^ -h D par un polynôme linéaire quelconque ; l'équation
{o.Cx -h aC'jK-H 2G"s -f- D)(Xia7-i- Xjj -+- Xjz-l- X4) = o
représenterait une infinité de quadriques dégénérées passant par les neuf points donnés. On voit ainsi que le problème n'est jamais impossible. Donc on peut toujours faire passer une seule quadrique ou une infinité de quadriques par neuf points donnés.
419. Autre méthode. — Supposons que l'on puisse construire un tétraèdre ayant pour sommets quatre des neuf points donnés, par exemple A, B, G, D ; si l'on prend ce tétraèdre pour tétraèdre de référence, l'équation d'une quadrique passant par ces quatre points est de la forme
axy -+- bxz -\- cxt -\- dyz -+- eyt -\-fzt = o
€t, réciproquement, toute équation de cette forme représente une quadrique circonscrite au tétraèdre de référence. Il reste à déterminer les coefficients a, b, . . ., f de façon que cette équation soit vérifiée par les coordonnées des cinq autres points, ce qui donne cinq équations du premier degré, homogènes par rapport aux coefficients inconnus. Supposons que parmi ces points il y en ait au moins trois qui ne soient pas dans le plan d'une face du tétraèdre ABCD, et, en outre, forment, avec le sommet opposé à cette face, un té-
DÉTERMINATION DES QUADRIQCES. ^oS
traèdre; dans ce cas, le degré du déterminant principal sera au moins égal à trois. En effet, si les points E, F, G ont pour coordonnées a7i,^i, zj, ?i ; ^2) y-îi ^2i h ) ^3) y3i -*^3) '3 6t si aucun de ces points ne se trouve dans la face BGD ayant pour équation 37= o, le déterminant des coefficients de a, b, c, c'est-à-dire
ri -I ^1
^1^2 ^3 y 2 -32 tî
yz -^s ^3
sera différent de zéro, si l'on suppose en outre que les quatre points A, E. F, G ne soient pas dans un même plan.
Si ces conditions sont remplies (et, en particulier, elles le seront si quatre quelconques des neuf points donnés ne sont pas dans un même plan), ou bien il y aura une seule quadrique passant par les neuf points donnés, ce qui arrivera si le degré du déterminant principal est égal à cinq; ou s'il y a une infinité de quadriques répondant à la question, le nombre des paramètres arbitraires sera au plus égal à deux, et, dans ce cas, l'équation générale des quadriques passant par les neuf points donnés sera de la forme
X,, ).2, X3 étant des coefficients arbitraires et fi, f^, /s trois polynômes déterminés. Dans ce cas, les quadriques passant par les sept points A, B, G, D, E, F, G passeront par les deux autres.
420. Théorîîme corrélatif. — H y o. une seule quadrique tangente à neuf plans donnés ou il y en a une infinité.
La condition pour qu'une quadrique soit tangente à un plan donné (i^,, (^), W(, /•» ) s'exprime en écrivant que l'équation langentielle du second degré F(w, t^, w, '') = o est vérifiée quand on y remplace les coordonnées tangentielles courantes parcelles du plan donné; donner neuf plans tangents c'est donc donner neuf conditions linéaires par rapport aux coefficients de l'équation langentielle.
Le problème est de même nature que le précédent, mais on peut le ramener à ce dernier par la méthode des polaires réciproques. S'il existe une quadrique Q tangente à neuf plans P,, P2, . . ., Pg, sa polaire réciproque Q' par rapport à une quadrique D passera par les pôles/?», />2, . . .,/?9 de ces neuf plans, par rapport à D, et réciproquement.
Il peut arriver que Q' soit un cône; dans ce cas, la quadrique cherchée Q dégénère en une conique ; si Q' est un système de plans, Q dégénère en un système de points.
4o4 CHAPITRE XXVII.
421. Cas particuliers. — L'équation d'un cône de second degré ne renferme que huit paramètres arbitraires, car H = o. D'ailleurs A est différent de zéro, donc l'équation H = o permet de déterminer D en fonction rationnelle des autres coefficients. 11 faudra donc huit conditions pour déterminer un cône du second degré; en particulier il y a, en général, un nombre déterminé de cônes du second degré passant par huit points donnés. En écrivant que l'équation du second degré est vérifiée par les coordonnées de ces huit points, si le déterminant principal est du degré huit, on pourra résoudre le système des huit équations obtenues au moyen de deux arbitraires \^ y., et il restera à écrire la condition H = o, ce qui donnera une équation du
quatrième degré en - ; le problème, qui revient à trouver les cônes
du second degré passant parles points communs à deux quadriques, admet donc, en général, quatre solutions. Donner comme conditions qu'une quadrique passe par huit points et soit un cône, c'est bien donner neuf conditions ; mais ces conditions n'étant pas toutes linéaires le problème peut avoir plus d'une solution, le nombre des solutions étant fini.
L'équation d'un paraboloïde renferme huit paramètres, puisque A = o.
L'équation d'un paraboloïde hyperbolique dont l'axe n'est pas parallèle à l'axe des x^ peut s'écrire
{x -\- b y -\- c z){x -\- b' y -+- c'^) + iGx -^ ^G'jk -f- iC z -i- D = o
et renferme huit paramètres; si l'on demande un paraboloïde passant par huit points donnés, le problème est déterminé et a, en général, plus d'une solution. En écrivant que l'équation du second degré est vérifiée par les coordonnées des huit points, on exprimera les coefficients de l'équation en fonction linéaire et homogène de deux paramètres X, [x, et en écrivant la condition A = o, on aura
une équation du troisième degré en - • Le problème, qui revient à
faire passer un paraboloïde par les points communs à deux quadriques, a donc en général trois solutions.
Le paraboloïde est tangent au plan de l'infini; d'une manière plus générale, il y a trois quadriques passant par huit points et tangentes à un plan, et, corrélativement , trois quadriques tangentes à huit plans et passant par un point.
DÉTERMINATION DES QUADRIQl'ES. 4o5
Il convient de remarquer que l'équation générale d'une quadriquc d'espèce déterminée peut renfermer, en apparence, un nombre surabondant de paramètres. Ainsi l'équation
(ax -\- bj -h c zy -h z(a' X ■+■ b'y-i- c'z)^ -+- aCar-t- aC'^-i- aCz -h D = o
représente un paraboloïde quelconque; il semble qu'elle renferme neuf paramètres; mais il est évident que les coefficients de l'ensemble <f{x,y, z) des termes du second degré ne sont pas arbitraires, puisque le discriminant de cp est nul.
L'équation d'un cylindre à centres ne doit renfermer que sept paramètres, puisque H = o, A = o. Donc sept points suffisent pour déterminer un cylindre.
L'équation d'un système de deux plans qui se coupent ne doit renfermer que six paramètres, de même que l'équation d'un cylindre parabolique.
L'équation d'une quadrique de révolution ne renferme que sept paramètres; on peut, en effet, la mettre sous la forme
S (372 -+-^2+ z^-) + 2Cx -h 7.Cy -h ïC" Z -+- D ■+■ (ux -h t'y -h w z)^- = 0,
ou encore
{x — a)^-\-(y — ù)--r-(z — c)2 = (ux 4- i'y-+- wz-\- hy.
Conditions multiples. Éléments remarquables.
422. On appelle élément remai'quable d^ une quadrique : un point, un plan, une droite, une courbe, une surface qui sont déterminés quand la quadrique est donnée. Exemples : un centre, un sommet, un plan tangent au sommet, un plan principal, un plan cyclique mené par le centre, un axe, une génératrice rectiligne passant par un sommet; une section principale, le cône asymptote, la sphère de Monge sont des éléments remarquables. Si pour déterminer un élément remarquable il faut p équations de conditions, donner cet élément, c'est donner/? conditions.
Si un élément n'est pas entièrement déterminé quand la quadrique est donnée et si sa détermination complète exigeant/? conditions il en manque q^ la connaissance de cet élément ne vaudra évidemment que p — rj conditions. Nous allons indiquer combien de conditions valent les principaux éléments d'une quadrique.
Un point, un plan tangent valent chacun une condition ; mais un plan tangent et son point de contact valent trois conditions. Eln
4o6 CHAPITRE XXVII.
effet, si l'on prend le point de contact pour origine des coordonnées, l'axe des z étant la normale en ce point, l'équation de la quadrique peut se mettre sous la forme cp(^, y, ;;) 4- s= o, et ne renferme plus que six paramètres arbitraires.
Une tangente vaut une condition qu'on obtient, par exemple, si les équations de la droite sont x = az -\-p, y = bz -{- q., en écrivant que l'équation /(a j5 -f-/?, bz -\- q, z)=o a une racine double.
Le centre vaut trois conditions, qu'on obtient en écrivant que les plans du centre passent par ce point donné. Un sommet, un plan principal, un plan langent en un sommet (sans le sommet) valent trois conditions.
Les équations d'une droite dépendant de quatre paramètres, toute droite remarquable, un axe par exemple, vaut quatre conditions.
Une génératrice du cône asymptote ne vaut que trois conditions, car il faut pour la déterminer donner encore une condition. Un diamètre ne vaut que deux conditions : on les obtiendra en écrivant que les coordonnées du centre vérifient les deux équations données de ce diamètre.
La sphère de Monge vaut quatre conditions.
Une conique, tracée sur la quadrique, vaut cinq conditions; car, pour qu'une quadrique passe par une conique, il est nécessaire et suffisant qu'elle en contienne cinq points. Pour le voir analjtiquement, prenons pour plan des x, y le plan de celte conique. L'équation de la quadrique sera alors de la forme
{ax -{-by -\- cz -\- d)z-\-f{x, y) = o,
f{oc^y) étant un polynôme du second degré donné. Cette équation ne renferme que quatre paramètres; donc la conique donnée vaut cinq conditions. Un cercle tracé sur la quadrique vaut aussi cinq conditions, comme une conique quelconque ; les axes étant choisis comme plus haut, l'équation de la quadrique sera
{ax -^ by + c z -+- d) z -+- x'^-hy^— R- = o,
si, pour simplifier, l'axe des x et l'axe des y sont deux diamètres rectangulaires du cercle donné. D'une manière générale, si le cercle est défini par l'intersection d'une sphère et d'un plan donné, l'équation de la quadrique peut s'écrire
DÉTERMINATION DES QUADRIQUES. [\0')
<T et P étant donnés et Q étant un poljnome linéaire arbitraire, et, par suite, renfermant quatre paramètres.
Un plan cyclique ne vaut que deux conditions, car cela revient à donner deux points : les points d'intersection de ce plan et du cercle de l'infini. Si on prend le plan donné pour plan des x^ y, les axes étant rectangulaires, les deux équations A = A', B" = o expriment que ce plan coupe la quadrique suivant le cercle.
Un ombilic, avec le plan tangent correspondant, vaut cinq conditions; prenons, en effet, l'ombilic donné pour origine des coordonnées, le plan des x,y étant le plan tangent en ce point; l'équation de la surface sera, les axes étant supposés rectangulaires,
cc^-^y--+- z (ax -h h y H-c3-l-c?) = o:
elle contient donc quatre paramètres arbitraires. On peut remarquer que ax H- by -\- cz -\- d=^o représente la direction des plans cycliques associés au plan ;; = o. En écrivant ainsi l'équation précédente :
^2 l ^2 i ^2 -\- z{ax -+- by -\- c' z -^r d) = o,
et en faisant un changement de plans de coordonnées, si Xq, yo, ^o sont les coordonnées de l'ombilic dans le nouveau système, l'équation de la surface sera de la forme
{x — .To)'^-h(y —yoY- 4- (^ — 3o)-
^[a{x — Xo)-^ ?(r— ro)-t-Y(^ — '2o)]P = o,
P étant un polynôme du premier degré, arbitraire. Si le plan tangent en l'ombilic n'est pas donné, l'équation précédente renferme six paramètres; donc un ombilic seul vaut trois conditions. Un plan directeur d'un paraboloïde vaut deux conditions; il en vaut trois s'il passe par l'axe. Mais si l'on n'a pas encore exprimé que la surface est un paraboloïde, pour exprimer que ux-h i'y -h wz = o est un plan directeur, il faudra exprimer que (^(x, y, z) est divisible par ux -h vy -{- wz^ ce qui exige trois conditions.
Le cône des directions asymptotiques vaut cinq conditions, puisque si l'on connaît le cône des directions asymptotiques d'une quadrique on connaît l'ensemble des ternies du second degré de son équation. D'ailleurs, donner le cône des directions asymptotiques, c'est donner une conique dans le plan de l'infini.
4o8 CHAPITRE XXVII.
Le cône asymptote vaut huit conditions, car si Ton prend le sommet pour origine, l'équation de la quadrique est cp(a:,y, z) -\-'k^= o, le polynôme cp étant donné et "k étant un paramètre arbitraire.
423. Le nombre de conditions fournies par plusieurs éléments n'est pas toujours la somme des nombres de conditions correspondant à chacun de ces éléments donnés séparément.
Ainsi le centre et un axe ne valent que cinq conditions et non pas sept, car le centre étant donné il ne reste plus à donner que la direction d'un axe pour déterminer cet axe. D'ailleurs, si l'on prend pour axe des x l'axe donné, l'origine étant le centre, l'équation de la quadrique sera, les axes étant rectangulaires,
Ax^-+- \'y^ -+- A"^^ |. -iByz -i- D = o.
Cette équation renferme quatre paramètres arbitraires.
Une génératrice rectiligne vaut trois conditions, puisqu'il suffit d'exprimer que trois points d'une droite sont sur une quadrique pour que la droite tout entière y soit contenue. Deux génératrices du même système valent, d'après cela, six conditions; mais deux génératrices de systèmes différents, ayant un point commun, ne valent plus que cinq conditions (c'est le cas d'un ombilic, qui équivaut à deux génératrices isotropes de systèmes différents). Dès qu'on a exprimé que l'une de ces droites est sur la quadrique, la seconde ayant déjà un point sur la quadrique, il n'y a plus qu'à exprimer qu'elle en a deux autres.
Trois génératrices du même système valent neuf conditions; nous savons d'ailleurs que la quadrique est alors déterminée.
Deux génératrices d'un système et une génératrice du second système ne valent que sept conditions, puisque cette dernière génératrice rencontre les deux premières.
Quatre génératrices, dont deux de chaque système, valent huit conditions.
Trois diamètres conjugués, donnés en position seulement, valent six conditions; si l'on donne en outre leurs longueurs, cela fait en tout neuf conditions, car la quadrique est alors déterminée.
Cherchons combien valent de conditions une conique et une droite, une conique et deux droites.
Nous remarquerons d'abord que : une droite et une conique si-
DÉTERMINATION DES QUADRIQUES. ^Og
tuées sur une quadrique ont un point commun. En effet, le point de rencontre de la droite et du plan de la conique est évidemment sur la conique, puisque cette courbe est le lieu des points de la quadrique qui sont situés dans son plan. Si la droite D était parallèle au plan P de la conique, la section de la quadrique par le plan parallèle à P mené par D étant homothélique à la quadrique, et d'autre part, celle section se composant de la droite D et d'une seconde droite, D est parallèle à l'une des asymptotes de la conique, et, par conséquent, rencontre cette conique à l'infini. Remarquons enfin que la droite ne peut être dans le plan de la conique.
La démonstration par le calcul est immédiate.
Il résulte de là qu'une conique et une génératrice recliligne valent sept conditions.
Une conique et deux génératrices de même système valent neuf conditions; mais si les deux génératrices sont de systèmes différents elles ne valent plus que huit conditions. Il convient de remarquer que toutes les quadriques qui passent par une conique G et par deux droites coupant cette conique en A et B et se rencontrant en M, ont trois plans tangents communsdontles points decontactsontles points A, B, M. Si les deux droites coupent la conique en un même point, la tangente en ce point à la conique et les deux droites doivent être dans un même plan. L'ensemble vaut donc encore huit conditions.
Deux coniques tracées sur une même quadrique ont deux points communs, qui sont les points d'intersection de la quadrique et de la droite commune aux plans de ces coniques; donc deux coniques données, devant avoir deux points communs pour être sur une quadrique, valent seulement huit conditions.
Paramètres de grandeur. Paramètres de position.
424. Quand une surface est déterminée en grandeur, il faut, en général, six paramètres pour déterminersa position par rapport à un système donné d'axes. En effet, considérons un trièdre lié invariablement à celle surface; il suffira de connaître la position de ce trièdre par rapport au trièdre des axes pour connaître la position de la surface elle-même. Or il faut six paramètres pour fixer la position d'un trièdre, savoir : i°les trois coordonnées de son sommet, les angles que l'une de ses arêtes fait avec deux des axes de coordonnées et l'angle qu'une seconde arête fait avec l'un de ces axes. S'il faut/) paramètres pour déterminer la surface en grandeur et position, on en conclut que le nombre de ses paramètres de grandeur est égal à /> — 6, C'est ce que l'on
4lO CHAPITRE XXVII.
vérifie pour une quadrique à centre dont la grandeur dépend de trois paramètres qui sont les longueurs de ses trois axes, ou encore pour un paraboloïde dont la grandeur ne dépend que de deux paramètres qui sont les paramètres des deux sections principales. Mais le nombre de paramètres de positions peut s'abaisser; c'est ce qui arrive dans les cas, et seulement dans les cas où une translation ou une rotation laissent la figure invariable.
Il s'abaisse d'une unité pour les surfaces de révolution et les cylindres, de deux unités pour le cylindre de révolution, de trois unités pour la sphère.
Ainsi, pour déterminer en position une surface de révolution de grandeur donnée, cinq paramètres suffisent, car il suffit de connaître la position de l'axe et un point de cet axe lié à la surface. Pour une sphère, trois paramètres de position suffisent, qui sont les coordonnées de son centre.
Conditions pour qu'une équation du second degré représente une quadrique d'espèce déterminée.
425. Nous connaissons déjà les conditions pour que l'équation représente un paraboloïde, un cône, un cylindre; nous avons, en effet, résolu ces questions en faisant la classification des quadriques. Nous allons compléter ce qui a été dit à cet égard.
1° Cylindres. — Nous savons que si l'on suppose AA' — B"^^ o, les conditions pour que l'équation du second degré représente un cylindre sont A = o, A, = o (227). Il convient de montrer que ces conditions sont équivalentes à A = o, H = o.
En effet, on peut déterminer les nombres x et jk, tels que
S.X -¥- B" y 4- B' = o, B'x + A> + B = o, B'x-h By -\- A" = o,
puisqu'on suppose le déterminant de ce système nul et AA' — B"^ ^ o. Or, on peut poser
G G' Ga;-HG'7 + G" D
=—{Gcp-hCy-hC")^l,
donc l'équation ^^ = o entraîne H = o. Réciproquement, si l'on suppose A z= o, H = o, on a nécessairement A, = o; en effet, si le
DÉTKRMI.NATION DES QUADRIQUES. 4n
coefficient Cx ■+- C'y + C" était nul, on aurait
A.X -+- B"y-h- B' = o, B"x-h X'y-h B = o, Gx +G>-hG"=o,
d'où l'on tirerait encore A, = o.
2" Deux plans gui se coupent. — Pour exprimer que l'équation du second degré représente deux plans qui se coupent, on exprime que les plans du centre ont une droite commune à distance finie et que cette droite est sur la quadrique.
Si l'on suppose A.A' — B"- ^ o, les conditions sont
Al = o
et
La dernière condition s'obtient en écrivant que les coordonnées d'un centre quelconque vérifient l'équation/^ = o.
3° Cylindre parabolique. — On écrit que l'équation en S a une racine double égale à zéro : si BB'B"^ o, les conditions sont donc
Si, par exemple, B' = B"=o, et il faudra poser encore : A = o,
4° Deux plans parallèles. — Il suffit d'écrire que les plans du centre sont confondus. Si l'on suppose A ^ o, on obtient ainsi pour conditions
AA'— B"'î=o, AB — B'B" = o, AG'— GB''=o, AA*— B'2 = o, AG"-B'G = o.
On peut, quand BB'B"7Z^ o, écrire ces conditions sous forme plus
symétrique
(i) A g-=0' ^ ôT =0,
